Lesson Video: Somas de Riemann e Notação Sigma

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Neste vídeo, aprenderemos como podemos estimar a área entre uma curva e o eixo 𝑥 dividindo a região em retângulos. Isso é chamado de aproximação da soma de Riemann. Descobriremos como esses cálculos podem ser bastante simplificados usando a notação sigma e consideraremos como podem surgir fórmulas de soma mais complicadas.

Vamos supor que estamos procurando encontrar a área entre a curva de 𝑦 igual a 𝑥 ao cubo, o eixo 𝑥 e as retas verticais 𝑥 igual a um e 𝑥 igual a três. Agora, existem maneiras de calcular a área exata. Mas é pouco fora do escopo desta lição. Em vez disso, consideraremos como podemos aproximar a área entre a curva e o eixo 𝑥. Para fazer isso, temos várias opções. Vamos usar algo chamado somas de Riemann ou aproximações da soma de Riemann. Nesse caso, dividimos a área sob a curva em retângulos e encontramos a área de cada um. E há três maneiras de fazer isso. Podemos encontrar a altura dos retângulos usando o valor da função na extremidade esquerda de cada retângulo, na extremidade direita de cada retângulo ou no ponto médio de cada retângulo.

Ok, então vamos imaginar que queremos dividir nossa área em quatro subintervalos, quatro retângulos do mesmo tamanho. O número de subintervalos ou retângulos é indicado pela letra 𝑛. Então aqui, vamos deixar que 𝑛 seja igual a quatro. Para encontrar a largura de cada retângulo, encontramos a diferença entre os limites da nossa área. E compartilhamos isso em 𝑛 partes, onde 𝑛 é o número de subintervalos. Aqui, são três menos um dividido por quatro, que é igual a 0.5. E cada subintervalo, que chamamos de 𝛥𝑥, deve ter 0.5 unidades de largura. Formalmente, dizemos que a largura de cada retângulo 𝛥𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛, onde 𝑏 e 𝑎 são as extremidades do nosso intervalo.

Começaremos usando a extremidade direita de cada subintervalo para nossa estimativa. Em outras palavras, encontraremos a altura do retângulo considerando o valor da função na extremidade direita de nossos subintervalos. Vimos que cada retângulo tem 0.5 unidades de largura. Então, adicionamos 0.5 a um. Então vemos que a altura do nosso retângulo é igual ao valor da função quando 𝑥 é igual a 1.5. Vamos chamar isso de 𝑓 de 𝑥 um. E isso é 𝑓 de 1.5. Agora, nossa função é 𝑥 ao cubo. Então 𝑓 de 1.5 é 1.5 ao cubo, que é 3.375. Essa é a altura do nosso retângulo. A área do retângulo é encontrada multiplicando a base pela altura. Isso é 𝛥𝑥 vezes o valor de nossa função 𝑓 de 𝑥 um. Isso é 0.5 multiplicado por 3.375, que é igual a 1.6875 unidades quadradas.

Vamos repetir esse processo para o nosso próximo subintervalo. Adicionamos outros 0.5 a 1.5. Isso nos diz que a altura do nosso segundo retângulo é o valor da função quando 𝑥 é igual a dois. Desta vez, diremos que 𝑓 de 𝑥 dois, que é dois ao cubo. Dois ao cubo, é oito. Portanto, a altura desse retângulo é oito unidades. Desta vez, a área do retângulo é 𝛥𝑥 vezes esse valor da função. São 0.5 vezes oito, que são quatro unidades quadradas. Repetindo esse processo mais uma vez, vemos que precisamos calcular a função quando 𝑥 é igual a 2.5. Isso é 2.5 ao cubo. E então a altura deste terceiro retângulo é de 15.625 unidades. Sua área mais uma vez é 𝛥𝑥 vezes esse valor da função. Isso é 0.5 multiplicado por 15.625, que dá 7.8125 unidades quadradas.

Adicionando mais 0.5 e chegamos ao nosso quarto valor de 𝑥; é três. Esse é o 𝑛 do nosso intervalo e o quarto retângulo, conforme necessário. Desta vez, 𝑓 de 𝑥 quatro ou 𝑓 de três é três ao cubo, que é 27. Sua área será dada por sua base multiplicada pela sua altura. Isso é 𝛥𝑥 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 quatro ou 0.5 multiplicado por 27, que é 13.5. A área total desses retângulos e, portanto, uma estimativa da área entre a curva e o eixo 𝑥 delimitada pelas retas 𝑥 é igual a um e 𝑥 é igual a três é a soma desses quatro valores. Isso dá uma área de 27 unidades quadradas. Agora, nossos retângulos são todos um pouco maiores que a área necessária. Então, estaríamos esperando uma superestimação. É claro que poderíamos tornar nossas aproximações mais precisas dividindo os retângulos em subintervalos menores.

Também é importante lembrar que, se a função assumir valores positivos e negativos, como mostrado aqui, a soma de Riemann é a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo 𝑥 e os negativos das áreas dos retângulos que estão abaixo dele. Embora simplesmente calculando a função nesses pontos, teremos valores negativos e, portanto, valores negativos para a área. Então está tudo certo e bem. Mas existe uma maneira de formalizarmos isso de alguma maneira? Bem, sim, existe. Vamos dar uma olhada no que acabamos de fazer.

Cada vez que multiplicamos o valor de 𝛥𝑥 pelo valor da função na extremidade amostral. Aqui, era a extremidade direita, mas poderíamos ter escolhido a extremidade esquerda. E veremos como isso muda nossa notação em um momento. Podemos escrever uma expressão geral para a aproximação da área total entre a curva e o eixo 𝑥 como 𝛥𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥 um mais 𝛥𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥 dois, até 𝛥𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥 𝑛. Já vimos aqui que 𝛥𝑥 é igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Também podemos dizer 𝑥 um é 𝑎 mais 𝛥𝑥, 𝑥 dois é 𝑎 mais duas vezes 𝛥𝑥, todo o caminho até 𝑥 𝑛, que é 𝑎 mais 𝑛 vezes 𝛥𝑥.

Mas tudo isso ainda é um pouco confuso. Então, vamos introduzir um novo símbolo. Este símbolo é sigma e realmente significa “a soma de”. E isso nos ajudará a arrumar as coisas um pouco. Vamos dizer que uma estimativa para a área é a soma de todos 𝛥𝑥s vezes que todos os 𝑓 de 𝑥 𝑖s. Agora, vimos que 𝑖 deve começar em um e vimos que termina em 𝑛. Então formalizamos um pouco mais e dissemos que 𝑥 𝑖 é igual a 𝑎 mais 𝑖 vezes 𝛥𝑥. Portanto, esta é a estimativa para a área quando usamos a soma de Riemann à direita. Mas e quando usamos uma soma de Riemann à esquerda? Bem, quando escrevemos uma soma de Riemann à direita, tomamos valores de 𝑖 de um para 𝑛 e quando escrevemos uma soma de Riemann à esquerda, tomamos valores de 𝑖 de zero a 𝑛 menos um. Isso nos dá essencialmente o valor de nossa função na extremidade à esquerda de cada retângulo. Agora, examinaremos uma aplicação simples dessas fórmulas antes de considerar como isso pode nos ajudar a estimar a área sob uma curva.

Represente a área sob a curva da função 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥 menos dois no intervalo fechado de 3 a 5 na notação sigma usando uma soma de Riemann à direita com 𝑛 subintervalos.

Lembre-se, quando escrevemos uma soma de Riemann à direita, tomamos valores de 𝑖 de um a 𝑛. A área é aproximadamente igual à soma de 𝛥𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥 𝑖 para valores de 𝑖 entre um e 𝑛. 𝛥𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛, onde 𝑎 e 𝑏 são as extremidades inferior e superior do nosso intervalo, respectivamente. E 𝑛, é claro, é o número de subintervalos. Então 𝑥 𝑖 é 𝑎 mais 𝑖 vezes 𝛥𝑥. Sempre começamos a calcular 𝛥𝑥. Vemos que nosso intervalo fechado é de três a cinco. Então, seja 𝑎 igual a três e 𝑏 igual a cinco. 𝛥𝑥 é, portanto, cinco menos três sobre 𝑛, que é, dois sobre 𝑛.

Agora estamos prontos para descobrir quem é 𝑥 𝑖. É 𝑎, que sabemos ser três, mais 𝛥𝑥, que é dois sobre 𝑛, vezes 𝑖. Vamos escrever isso como três mais dois 𝑖 sobre 𝑛. Agora, obviamente, para nossa soma, precisamos saber 𝑓 de 𝑥 𝑖. 𝑓 de 𝑥 𝑖 deve ser 𝑓 de três mais dois 𝑖 sobre 𝑛. Então, vamos substituir três mais dois 𝑖 sobre 𝑛 em nossa fórmula. Isso dá um sobre três mais dois 𝑖 sobre 𝑛 menos dois que, quando distribuímos nossos parênteses, é simplesmente um mais dois 𝑖 sobre 𝑛. Isso ainda não é particularmente agradável. Então, o que vamos fazer é simplificar o denominador.

Vamos escrevê-lo como um sobre um mais dois 𝑖 sobre 𝑛. E então multiplicaremos o numerador e o denominador de um sobre um por 𝑛. Isso cria um denominador comum de 𝑛 e significa que podemos adicionar os numeradores. E terminamos com 𝑛 mais dois 𝑖 sobre 𝑛. Agora, aqui estamos trabalhando em um dividido por 𝑛 mais dois 𝑖 sobre 𝑛. Bem, outra maneira de pensar sobre isso é pensar em sua recíproca. O inverso de 𝑛 mais dois 𝑖 sobre 𝑛 é 𝑛 sobre 𝑛 mais dois 𝑖. E agora temos tudo o que precisamos para escrever nossa soma de Riemann à direita. É uma soma de Riemann à direita, então começamos em 𝑖 igual a um e terminamos em 𝑛. 𝛥𝑥 é dois sobre 𝑛. E multiplicamos isso por 𝑓 de 𝑥 𝑖, que acabamos de descobrir que é 𝑛 sobre 𝑛 mais dois 𝑖. Vemos então que esses 𝑛s se cancelarem. E temos a soma de Riemann à direita usando a notação sigma. É a soma de dois sobre 𝑛 mais dois 𝑖 para valores de 𝑖 entre um e 𝑛.

No próximo exemplo, usaremos a notação sigma para nos ajudar a calcular a área.

Calcule a soma de Riemann à esquerda para 𝑓 de 𝑥 igual a um sobre 𝑥 ao quadrado mais dois no intervalo fechado de menos três a três, considerando que existem seis subintervalos de largura igual. Aproxime sua resposta para duas casas decimais.

Lembre-se de que quando escrevemos uma soma de Riemann à esquerda, assumimos valores de 𝑖 de zero a 𝑛 menos um. E isso nos dá o valor de 𝑓 na extremidade esquerda de cada retângulo. A fórmula é a soma de 𝛥𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥 𝑖 para valores de 𝑖 de zero a 𝑛 menos um em que 𝛥𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Lembre-se 𝑎 e 𝑏 são os limites inferior e superior do nosso intervalo, respectivamente, e 𝑛 é o número de subintervalos. Então 𝑥 𝑖 é 𝑎 mais 𝑖 vezes 𝛥𝑥. É sensato começar calculando primeiro 𝛥𝑥. Podemos ver que nosso intervalo fechado é de menos três a três. Então, seja 𝑎 igual a menos três e 𝑏 igual a três.

Estamos interessados ​​em seis subintervalos. Então, seja 𝑛 igual a seis. Então 𝛥𝑥 é três menos menos três sobre seis, que é simplesmente um. Em seguida, calcularemos o que é 𝑥 𝑖. É 𝑎, que sabemos ser menos três, mais 𝛥𝑥, que é um, vezes 𝑖. Claro que são menos três mais 𝑖. Estamos procurando descobrir quem é 𝑓 de 𝑥 𝑖. 𝑓 de 𝑥 𝑖 deve, portanto, ser 𝑓 de menos três mais 𝑖. Então, vamos substituir 𝑥 é igual a menos três mais 𝑖 em nossa função. Isso nos dá um sobre menos três mais 𝑖 ao quadrado mais dois. E quando distribuímos os parênteses, no denominador, obtemos 𝑖 ao quadrado menos seis 𝑖 mais 11.

E agora estamos prontos para realizar algumas substituições. Estamos encontrando a soma e pegando valores de 𝑖 de zero a 𝑛 menos um. Agora, 𝑛 é seis. Então, 𝑛 menos um é cinco. 𝛥𝑥 é um e 𝑓 de 𝑥 𝑖 é um sobre 𝑖 ao quadrado menos seis 𝑖 mais 11. Mas, é claro, não precisamos realmente escrever multiplicado por um. Então, precisamos calcular essa soma. Para fazer isso, vamos substituir valores de 𝑖 de zero a cinco nessa função e encontrar a soma deles.

Portanto, quando 𝑖 é igual a zero, temos um sobre zero ao quadrado menos zero mais 11. Quando 𝑖 é um, temos um sobre um ao quadrado menos seis mais 11. Quando 𝑖 é dois, temos um sobre dois ao quadrado menos 12 mais 11. E repetimos esse processo para 𝑖 é igual a três, 𝑖 é igual a quatro e 𝑖 é igual a cinco. A última coisa a fazer é calcular sua soma. Isso dá 1.5909 e assim por diante, que são corrigidos para duas casas decimais sendo 1.59. Calculamos a soma de Riemann à esquerda para nossa função nesse intervalo fechado, usando seis subintervalos.

Em nosso exemplo final, veremos como lidamos com somas um pouco mais complicadas.

Represente a área sob a curva da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado menos um no intervalo fechado de zero a três na notação sigma usando uma soma de Riemann à direita com 𝑛 subintervalos.

Lembre-se de que, quando encontramos a soma de Riemann à direita, encontramos a soma de 𝛥𝑥 vezes 𝑓 de 𝑥 𝑖 para valores de 𝑖 de um a 𝑛. 𝛥𝑥 é 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛 onde 𝑎 e 𝑏 são os limites inferior e superior do nosso intervalo, respectivamente, e 𝑛 é o número de subintervalos. 𝑥 𝑖 é 𝑎 mais 𝑖 vezes 𝛥𝑥. Sempre começamos calculando o que é 𝛥𝑥. No nosso caso, 𝑎 é igual a zero, 𝑏 é igual a três e, bem, 𝑛 é apenas 𝑛. Isso significa que 𝛥𝑥 é três menos zero sobre 𝑛 ou apenas três sobre 𝑛. Em seguida, vamos descobrir quem é 𝑥 𝑖. É 𝑎, que sabemos ser zero, mais 𝛥𝑥, que é três sobre 𝑛 vezes 𝑖. Vamos escrever isso como três 𝑖 sobre 𝑛.

Claro, queremos saber quem é 𝑓 de 𝑥 𝑖. Portanto, para encontrar 𝑓 de 𝑥 𝑖, encontramos 𝑓 de três 𝑖 sobre 𝑛. Vamos substituir três 𝑖 sobre 𝑛 em nossa fórmula. São três 𝑖 sobre 𝑛 todos ao quadrado menos um, que é nove 𝑖 ao quadrado sobre 𝑛 ao quadrado menos um. Agora estamos prontos para usar a fórmula da soma. Estamos calculando nossa soma para valores de 𝑖 de um a 𝑛. Seu 𝛥𝑥, que é três sobre 𝑛, multiplicado por nove 𝑖 ao quadrado sobre 𝑛 ao quadrado menos um. Distribuímos nossos parênteses e, em seguida, procuraremos criar um denominador comum. Podemos fazer isso multiplicando o numerador e o denominador da nossa segunda fração por 𝑛 ao quadrado. Isso dá três 𝑛 ao quadrado sobre 𝑛 ao cubo, deixando-nos apenas para simplesmente combinar os numeradores. Temos 27𝑖 ao quadrado menos três 𝑛 ao quadrado sobre 𝑛 ao cubo.

Agora, podemos simplificar um pouco isso. Os numeradores compartilham um fator de 27 e três. E é claro que eles têm um denominador comum de 𝑛 ao cubo. Ambos três e 𝑛 ao cubo são independentes de 𝑖. Isso significa que podemos tirar três sobre 𝑛 ao cubo para fora do símbolo sigma, e isso significa que terminamos. Representamos a área sob a curva da função em notação sigma com uma soma de Riemann à direita. São três sobre 𝑛 ao cubo vezes a soma de nove 𝑖 ao quadrado menos 𝑛 ao quadrado para valores de 𝑖 de um 𝑛.

Neste vídeo, aprendemos que podemos estimar a área entre a curva e o eixo 𝑥 dividindo a região em retângulos. Vimos que podemos usar o símbolo sigma para significar essa soma de, e isso nos fornece as fórmulas da soma de Riemann à direita e da soma de Riemann à esquerda. Lembre-se, quando estamos lidando com a soma de Riemann à direita, assumindo valores de 𝑖 de um a 𝑛. E quando lidamos com a soma de Riemann à esquerda, assumindo valores de 𝑖 de zero a 𝑛 menos um.