Vídeo: Reconhecendo Funções Inversas por Composição

Seja 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)/(3𝑥 − 2). Determine qual das seguintes funções 𝑔 é o inverso de 𝑓 verificando 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥. [A] 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 1)/(3𝑥 − 2) [B] 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 1)/(3𝑥 − 2) [C] 𝑔(𝑥) = −(𝑥 − 1)/(3𝑥 − 2)

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Transcrição do vídeo

Seja 𝑓 de 𝑥 igual a dois 𝑥 menos um dividido por três 𝑥 menos dois. Determine qual das seguintes funções 𝑔 é o inverso de 𝑓 verificando 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝑥.

Então, essencialmente, nós tomaremos 𝑔 de 𝑥 e substituindo-o em 𝑓 de 𝑥 e se conseguirmos 𝑥 como nossa resposta final, esse será nosso inverso. Então, vamos primeiro verificar a). Então aqui temos nossa função 𝑓 de 𝑥. E agora vamos tomar 𝑔 de 𝑥 para a opção a) e substituí-lo em nossas funções 𝑓 de 𝑥. Nós vamos substituir isso para 𝑥.

Então, podemos ver que nós substituímos dois 𝑥 menos um dividido por três 𝑥 menos dois em 𝑥 no numerador e denominador. Agora precisamos distribuir. Então, aqui podemos ver que nós distribuímos.

Agora preciso subtrair essas frações no numerador e subtrair as frações no denominador. Então um ou menos um é o mesmo que três 𝑥 menos dois sobre três 𝑥 menos dois. Então substituímos um com três 𝑥 menos dois sobre três 𝑥 menos dois e podemos substituir dois por seis 𝑥 menos quatro dividido por três 𝑥 menos dois. E agora estamos subtraindo essas frações. E quando você subtrai frações, você mantém o denominador e combina o numerador. Portanto, precisamos ter cuidado com esses sinais negativos.

Agora precisamos combinar termos semelhantes. Nós obtemos 𝑥 dividido por três 𝑥 menos dois no numerador e um dividido por três 𝑥 menos dois no denominador. Agora, ao dividir as frações, vamos pegar o fundo, o denominador, e vamos virar e multiplicar. Então, vamos multiplicar pelo inverso do denominador. Então, podemos ver que mantivemos nosso numerador e multiplicamos pelo inverso do denominador. O três 𝑥 menos dois são cancelados e ficamos com 𝑥, que é o que queremos. Então isso significa que 𝑔 de 𝑥 é igual a dois 𝑥 menos um dividido por três 𝑥 menos dois seria o inverso de 𝑥.

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