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Vídeo da aula: Funções Injetivas Mathematics

Neste vídeo, aprenderemos como determinar se uma função é uma função um-para-um (injetiva).

18:00

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como determinar se uma função é injetiva ou um-para-um. Recordamos que a definição de uma função requer que cada elemento do seu domínio seja associado a exatamente um elemento do seu contradomínio. Para que uma função seja injetiva, esta também deve satisfazer a afirmação com os papéis do seu domínio e do seu contradomínio trocados. Começaremos por considerar uma definição formal desta.

Uma função é injetiva ou um-para-um se cada elemento do contradomínio da função corresponder a exatamente um elemento do domínio. Em conjunto com o requisito de ser uma função, podemos dizer que há uma correspondência um-para-um entre cada elemento do domínio e um único elemento do contradomínio de uma função injetiva. É por isso que também nos referimos a uma função injetiva como uma função um-para-um. Na figura desenhada, duas funções, 𝑓 e 𝑔, são descritas pelos seus diagramas sagitais. A função 𝑓 tem dois elementos quatro e cinco no seu contradomínio. Enquanto o elemento quatro do contradomínio tem exatamente uma seta apontada a si correspondendo ao elemento três do domínio, o elemento cinco do contradomínio tem duas setas diferentes correspondentes aos elementos um e dois do domínio.

Como cada elemento do contradomínio deve corresponder exatamente a um elemento do domínio para uma função injetiva, podemos dizer que 𝑓 não é injetiva. Por outro lado, cada elemento do contradomínio da função 𝑔 tem exatamente uma seta apontada para si, correspondendo a exatamente um elemento do domínio. Podemos, portanto, concluir que a função 𝑔 é injetiva. Vamos agora considerar um exemplo em que utilizamos diagramas sagitais de funções para determinar a sua injetividade.

Verdadeiro ou falso: se 𝑓 e 𝑔 são funções injetivas, então 𝑓 mais 𝑔 deve ser uma função injetiva.

Para provar que esta afirmação é verdadeira, devemos provar que é verdadeira para todas as funções possíveis neste caso. No entanto, para provar que uma afirmação é falsa, podemos fazê-lo por meio de um contra-exemplo. Começamos por lembrar que uma função é injetiva se cada elemento do contradomínio da função corresponder a exatamente um elemento do domínio. Nos diagramas sagitais, isto significa que cada elemento do contradomínio tem exatamente uma seta a apontar para si.

Vamos considerar as funções 𝑓 e 𝑔 representadas pelos diagramas sagitais apresentados. Vemos que ambas as funções 𝑓 e 𝑔 são injetivas ou um-para-um porque cada elemento do contradomínio tem exatamente uma seta do domínio apontada a si. Quando adicionamos 𝑓 e 𝑔 como pedem, obtemos o diagrama seguinte. Observando que todas as três linhas no contradomínio dão o mesmo número, podemos redesenhar o diagrama sagital. Como o elemento 10 do contradomínio tem três setas a apontar para si, este elemento do contradomínio corresponde a mais do que um dos elementos do domínio. Podemos, portanto, concluir que a função 𝑓 mais 𝑔 não é injetiva. Utilizando um contra-exemplo, provámos que a afirmação “se 𝑓 e 𝑔 são funções injetiva, então 𝑓 mais 𝑔 deve ser uma função injetiva” é falsa.

Podemos reconhecer facilmente funções injetivas a partir dos seus diagramas sagitais, mas como reconhecê-las nos seus gráficos no plano 𝑥O𝑦?

Sabemos que o contradomínio de uma função é dado pela parte do eixo vertical utilizada pelo seu gráfico, enquanto o domínio é dado pela parte do eixo horizontal utilizada pelo seu gráfico. Como uma função injetiva deve associar cada elemento do seu contradomínio a um único elemento do seu domínio, deve haver exatamente um ponto no eixo horizontal dentro do domínio associado a cada ponto da função dentro do seu contradomínio no eixo vertical. Podemos testar esta condição desenhando uma reta horizontal para cada elemento do contradomínio e verificando quantas vezes o gráfico interseta a reta. Se houver mais do que uma interseção entre a reta horizontal e o gráfico da função, esse elemento do contradomínio será associado a mais do que um elemento do domínio. Neste caso, a função não será injetiva. Vamos considerar dois exemplos, como se mostram.

Para a função 𝑓 no primeiro diagrama, podemos desenhar uma reta horizontal para o elemento dois do contradomínio, que interseta o gráfico de 𝑓 mais do que uma vez. Mais precisamente, o elemento dois do contradomínio corresponde a três elementos distintos do domínio - dois, zero e três. Existem três pontos de interseção da reta horizontal e a função em menos dois, dois; zero, dois; e três, dois. Podemos, portanto, concluir que a função 𝑓 não é injetiva. Por outro lado, podemos ver que qualquer reta horizontal desenhada no gráfico 𝑔 no segundo diagrama interseta o gráfico em exatamente um ponto. Ao deslizar uma régua horizontalmente para cima e para baixo no gráfico, podemos verificar que não há uma reta horizontal que intersete o gráfico mais do que uma vez. Isto significa que cada elemento do contradomínio de 𝑔 corresponde a exatamente um elemento do domínio. E podemos concluir que a função 𝑔 é injetiva ou um-para-um.

Este processo é chamado de teste da reta horizontal. Uma função é injetiva ou um-para-um se cada reta horizontal interseta o gráfico de uma função no máximo uma vez. Por outro lado, uma função não é injetiva ou um-para-um se houver uma reta horizontal que intersete o seu gráfico mais do que uma vez. Este é semelhante ao teste da reta vertical que é utilizado para verificar a definição de uma função. No lugar de retas verticais, utilizamos retas horizontais para verificar se uma função satisfaz a definição de injetiva ou um-para-um.

Vamos agora considerar um exemplo em que utilizamos o teste da linha horizontal para determinar se uma função é ou não injetiva.

Qual das curvas apresentadas no gráfico embaixo é uma função injetiva?

Para responder a esta questão, recordemos o teste da reta horizontal, que afirma que uma função é um-para-um ou injetiva se e só se o seu gráfico intersetar cada reta horizontal no máximo uma vez. Vamos começar com o gráfico vermelho. O nosso objetivo é desenhar, se possível, uma reta horizontal que intersete o gráfico mais do que uma vez, indicando que a função não é injetiva. Uma maneira de fazer isto será desenhar a reta horizontal com a equação 𝑦 igual a menos 10. Vemos que esta linha horizontal interseta o gráfico vermelho duas vezes. Podemos, portanto, concluir que a função representada pelo gráfico a vermelho não é injetiva.

Podemos repetir este processo para o gráfico verde desenhando uma reta horizontal com a equação 𝑦 igual a 10. Esta reta horizontal interseta o gráfico verde três vezes. Portanto, também podemos concluir que a função representada pelo gráfico verde não é injetiva. Também podemos repetir este processo para o gráfico amarelo, desenhando uma reta horizontal com a equação 𝑦 igual a dois. Esta reta horizontal interseta o gráfico amarelo duas vezes. Portanto, pelo teste da reta horizontal, a função representada pelo gráfico amarelo não é injetiva. Como provámos que os gráficos vermelho, verde e amarelo não representam funções injetivas, isto sugere que o gráfico azul representa uma função injetiva. Ao limpar primeiro as outras retas horizontais que desenhámos, vamos considerar esta função isoladamente.

Começamos por desenhar várias retas horizontais, neste caso, em 𝑦 igual a 20, 30, 40 e 50. Cada uma destas retas horizontais interseta o nosso gráfico azul uma vez e apenas uma vez. Podemos verificar se isto é verdade para o gráfico todo deslizando uma régua horizontal para cima e para baixo no gráfico. Cada reta horizontal que pode ser desenhada no gráfico interseta o gráfico azul no máximo uma vez. Podemos, portanto, concluir pelo teste da reta horizontal que a função representada pelo gráfico azul é um-para-um ou injetiva. Esta é a única das quatro curvas que representa uma função injetiva.

Neste exemplo, utilizamos o teste da reta horizontal para determinar se um determinado gráfico representa uma função injetiva ou um-para-um. Se tivermos as expressões algébricas para funções, em vez dos seus gráficos, o teste da reta horizontal não é o método ideal a ser aplicado porque requer um gráfico preciso. Vamos agora considerar o que podemos fazer em tais circunstâncias. Começaremos por considerar o teste da reta horizontal, que foi aplicado à função 𝑓 no gráfico apresentado. Como a reta horizontal interseta o gráfico em três pontos distintos, existem três valores 𝑥 índice um, 𝑥 índice dois e 𝑥 índice três para um único valor 𝑦 zero tal que 𝑓 de 𝑥 um é igual a 𝑦 zero, 𝑓 de 𝑥 dois é igual a 𝑦 zero e 𝑓 de 𝑥 três também é igual a 𝑦 zero.

Embora possa ser verdade, como neste caso, que existem mais de dois valores de 𝑥 correspondentes a um único valor de 𝑦, precisamos apenas de determinar dois desses pontos, pois se dois valores de 𝑥 corresponderem ao mesmo valor de 𝑦, então a função dada não é um-para-um ou injetiva. Isto pode ser formalmente enunciado da seguinte maneira. Dada uma expressão algébrica de uma função 𝑓, se houver dois valores de 𝑥 diferentes no domínio 𝑥 índice um e 𝑥 índice dois, tais que 𝑓 de 𝑥 índice um é igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois, então 𝑓 não é injetiva. Por outro lado, 𝑓 é injetiva se as condições de que 𝑓 de 𝑥 índice um é igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois e que 𝑥 um e 𝑥 dois pertencem ao domínio implicam que 𝑥 índice um é igual a 𝑥 índice dois.

No nosso exemplo final, utilizaremos esta definição para identificar funções injetivas das suas expressões algébricas.

Qual das opções a seguir é uma função injetiva? É (A) 𝑓 de 𝑥 igual ao módulo de 𝑥, (B) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado, (C) 𝑓 de 𝑥 igual a cinco ou (D) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 mais dois?

Começamos por recordar que 𝑓 de 𝑥 não é uma função injetiva se houver dois valores diferentes de 𝑥 no domínio, 𝑥 índice um e 𝑥 índice dois, que satisfazem 𝑓 de 𝑥 índice um é igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois. Vamos considerar cada opção possível em relação a esta condição. A opção (A) é a função de valor absoluto. E sabemos que dois números do mesmo tamanho, mas com sinais opostos, têm módulo igual. Por exemplo, se 𝑥 índice um for igual a menos dois e 𝑥 índice dois for igual a dois, então 𝑓 de 𝑥 índice um é igual ao módulo de menos dois que é igual a dois e 𝑓 de 𝑥 índice dois, o módulo de dois, também é igual a dois. Como 𝑓 de menos dois é igual a 𝑓 de dois, a função do módulo de 𝑥 não é um para um.

Podemos repetir este processo para a opção (B), onde 𝑓 de 𝑥 é a função ao quadrado. Assim como na função módulo, dois números do mesmo tamanho, mas com sinais opostos, têm o mesmo valor ao quadrado. Se mais uma vez 𝑥 índice um for menos dois e 𝑥 índice dois for dois, então 𝑓 de 𝑥 índice um e 𝑓 de 𝑥 índice dois são ambos iguais a quatro. O quadrado de menos dois e o quadrado de dois são iguais a quatro. Mais uma vez, como 𝑓 de 𝑥 índice um é igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois, a função não é injetiva.

Vamos agora considerar a terceira opção, 𝑓 de 𝑥 igual a cinco. Esta é uma função constante. Qualquer que seja o número que inserirmos numa função constante, a imagem será sempre a mesma. Neste caso, não importa os valores que escolhemos para 𝑥 índice um e 𝑥 índice dois. 𝑓 de 𝑥 índice um e 𝑓 de 𝑥 índice dois serão sempre iguais a cinco. Isto significa que 𝑓 de 𝑥 igual a cinco não é uma função injetiva.

Vamos agora considerar a opção (D) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 mais dois. Para provar que esta função é injetiva, lembramos que uma função é injetiva se as condições 𝑓 de 𝑥 índice um é igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois e que 𝑥 índice um e 𝑥 índice dois pertencem ao domínio de 𝑓 implicam que 𝑥 índice um é igual a 𝑥 índice dois. Se 𝑓 de 𝑥 índice um é igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois para a função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 mais dois, então 𝑥 índice um mais dois deve ser igual a 𝑥 índice dois mais dois. Subtraindo dois de ambos os membros desta equação, vemos que 𝑥 índice um é igual a 𝑥 índice dois. Isto diz-nos que 𝑓 de 𝑥 índice um é igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois só é possível quando 𝑥 índice um é igual a 𝑥 índice dois.

Podemos, portanto, concluir que 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 mais dois é um para um. A única das funções da lista que é um-para-um ou injetiva é a opção (D).

Embora esteja fora do âmbito deste vídeo, isto leva-nos ao facto de que todas as funções lineares são injetivas se o coeficiente da variável for diferente de zero.

Vamos agora recapitular os pontos principais deste vídeo. Uma função é injetiva ou um-para-um se cada elemento do contradomínio da função corresponder a exatamente um elemento do domínio. O teste da reta horizontal afirma que uma função é injetiva ou um-para-um se e só se cada reta horizontal intersetar o gráfico de uma função no máximo uma vez. Uma função 𝑓 é injetiva se as condições 𝑓 de 𝑥 índice um igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois e 𝑥 um e 𝑥 dois pertencem ao domínio de 𝑓 implicam que 𝑥 índice um é igual a 𝑥 índice dois. Finalmente, 𝑓 não é injetiva se pudermos determinar 𝑥 índice um e 𝑥 índice dois no domínio que satisfazem 𝑓 de 𝑥 índice um é igual a 𝑓 de 𝑥 índice dois.

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