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Neste vídeo, aprenderemos como determinar as probabilidades da interseção e da união de acontecimentos. Começaremos por considerar uma definição de união e de interseção de acontecimentos e como podem ser representados num diagrama de Venn.
A interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵, denotada por 𝐴 interseção 𝐵, é a coleção de todos os resultados que são elementos dos conjuntos 𝐴 e 𝐵. Por outras palavras, 𝐴 intersecção 𝐵 é o acontecimento em que os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 ocorrem. Isto pode ser representado num diagrama de Venn, como se mostra. Protegemos a região que está no círculo 𝐴 e no círculo 𝐵. A união dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵, denotada por 𝐴 união 𝐵, é a coleção de todos os resultados que são elementos de um ou outro dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 ou de ambos. Isto significa que 𝐴 união 𝐵 é o acontecimento em que 𝐴 ocorre, 𝐵 ocorre ou ambos ocorrem. Podemos demonstrar 𝐴 união 𝐵 num diagrama de Venn sombreando tudo no círculo 𝐴 ou no círculo 𝐵. Agora, veremos alguns exemplos em que podemos utilizar diagramas de Venn para determinar a interseção e a união de acontecimentos.
O diagrama representa o espaço de resultados 𝑆 e os acontecimentos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Determine a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵.
Recordamos que a interseção de dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são aqueles resultados que ocorrem no acontecimento 𝐴 e no acontecimento 𝐵. Num diagrama de Venn, isto é representado pela sobreposição do círculo 𝐴 e do círculo 𝐵. Podemos ver no diagrama de Venn que o espaço de resultados 𝑆 contém os números quatro, seis, oito, 16, 18 e 19. Isto é um total de seis resultados. Destes seis resultados, apenas um aparece na interseção do acontecimento 𝐴 e do acontecimento 𝐵, o número seis. Sabemos que a probabilidade de um acontecimento ocorrer pode ser escrita como o número de resultados pretendidos sobre o número de resultados possíveis. Isto significa que a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é um em seis. Há uma probabilidade de um em seis de selecionar um resultado que esteja no acontecimento 𝐴 e no acontecimento 𝐵.
A nossa próxima questão é um problema de probabilidade em contexto.
De um grupo de 100 pessoas, 46 têm cães, 41 têm gatos e 28 têm coelhos. 12 das pessoas têm cães e gatos, 10 têm gatos e coelhos e nove têm cães e coelhos. Oito das pessoas têm cães, gatos e coelhos. Esta questão tem quatro partes. Determine a probabilidade de selecionar ao acaso uma pessoa que tenha cães, gatos e coelhos. Determine a probabilidade de selecionar ao acaso uma pessoa que tenha apenas cães e coelhos. Determine a probabilidade de selecionar uma pessoa que tenha animais de estimação. E determine a probabilidade de selecionar uma pessoa que não tenha animais de estimação.
Em todas as quatro partes, pedem-nos para dar a nossa resposta como uma fração na sua forma irredutível. As duas primeiras partes podem ser respondidas diretamente na questão. Disseram-nos que o grupo contém 100 pessoas e oito delas têm cães, gatos e coelhos. Isto significa que a probabilidade de selecionar ao acaso uma pessoa que tenha cães, gatos e coelhos é de oito em 100. Dividindo o numerador e o denominador por quatro, isto simplifica para dois em 25 ou dois vinte cinco avos. Também nos é dito na questão que nove das pessoas têm cães e coelhos. Este é um subconjunto de cães, gatos e coelhos, aqueles que têm todos os três animais. E sabemos que oito pessoas têm cães, gatos e coelhos. Podemos, portanto, subtrair oito de nove para calcular o número de pessoas que têm apenas cães e coelhos. Isto é igual a um. E podemos, portanto, concluir que a probabilidade de selecionar ao acaso uma pessoa que tenha apenas cães e coelhos é de uma em 100.
Uma maneira alternativa de visualizar isto será utilizar um diagrama de Venn. Agora vamos abrir espaço para desenhar isto. O nosso diagrama de Venn tem três secções, uma para cães, uma para gatos e uma para coelhos. As partes do diagrama de Venn em que estas seções se sobrepõem representam as pessoas com dois ou mais animais de estimação. Como oito pessoas têm todos os três animais de estimação, podemos colocar um oito na interseção dos cães, gatos e coelhos. Como nove pessoas têm cães e coelhos e oito destas têm todos os três animais de estimação, apenas uma pessoa tem apenas um cão e um coelho. Da mesma forma, dizem-nos que 10 pessoas têm gatos e coelhos. Isto significa que duas pessoas têm apenas gatos e coelhos. Da mesma forma, como um total de 12 pessoas têm cães e gatos, quatro delas terão apenas cães e gatos.
A seguir, vemos que 28 pessoas têm coelhos. Isto significa que a soma dos números na secção dos coelhos deve ser igual a 28 e, portanto, há 17 pessoas que têm apenas coelhos. Repetindo isto para cães e gatos, vemos que 27 pessoas têm apenas gatos e 33 pessoas têm apenas cães. Para calcular o número de pessoas que têm animais de estimação, podemos determinar a soma dos sete números no diagrama de Venn atualmente. Isto é igual a 92, e isto significa que a probabilidade de selecionar ao acaso uma pessoa que tenha animais de estimação é 92 em 100. Como o numerador e o denominador são divisíveis por quatro, isto simplifica para 23 de 25. A probabilidade de selecionar uma pessoa que tenha animais de estimação é de vinte e três vinte cinco avos.
Como a soma de todos os nossos números no diagrama de Venn deve ser igual a 100, podemos calcular o número que está fora das três secções subtraindo 92 de 100. Há oito pessoas no grupo que não têm animais de estimação. Portanto, a probabilidade de selecionar ao acaso uma pessoa que não tenha animais de estimação é de oito em 100. Mais uma vez, esta fração pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador por quatro. A probabilidade de selecionar ao acaso uma pessoa que não tem animais de estimação é de dois vinte cinco avos.
Esta questão mostra-nos que desenhar um diagrama de Venn pode ser útil ao calcular a probabilidade de acontecimentos. Antes de examinarmos mais exemplos, consideraremos como a definição de união e de interseção de acontecimentos nos leva a uma regra geral. A regra da adição em probabilidade afirma que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Isto também pode ser mostrado utilizando diagramas de Venn. Ao adicionar a probabilidade do acontecimento 𝐴 à probabilidade do acontecimento 𝐵, adicionamos a interseção duas vezes. Isto significa que, subtraindo a probabilidade da interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵, temos a probabilidade da união dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵. Vamos agora considerar como esta regra é utilizada na prática.
Denote por 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos com probabilidades a probabilidade de 𝐴 ser 0.2 e a probabilidade de 𝐵 ser 0.47. Dado que a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é 0.18, determine a probabilidade de 𝐴 união 𝐵.
Para responder a esta questão, lembramos a regra da adição em probabilidade, que liga todos os quatro acontecimentos. Esta afirma que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Substituindo os valores desta questão, temos a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 ser igual a 0.2 mais 0.47 menos 0.18. Isto é igual a 0.49. É importante observar que também podemos representar isto utilizando diagramas de Venn, como se mostra.
Na nossa questão final, utilizaremos a regra da adição em probabilidade para resolver um problema contextualizado.
Os alunos de uma escola devem utilizar um moletão ou um blazer e podem utilizar os dois. Numa turma de 32 alunos, 12 alunos utilizam blazers e quatro dos alunos que utilizam blazer também utilizam moletão. Seja 𝐴 o acontecimento de selecionar ao acaso um aluno da turma que utiliza blazer e seja 𝐵 o acontecimento de selecionar ao acaso um aluno da turma que utiliza moletão. Esta questão tem quatro partes. Determine a probabilidade de 𝐴, determine a probabilidade de 𝐵, determine a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 e determine a probabilidade de 𝐴 união 𝐵.
Em todos os quatro casos, pedem-nos para dar a nossa resposta como uma fração na sua forma irredutível. Poderemos resolver a primeira e a terceira partes diretamente a partir da questão. É -nos dito que 12 dos 32 alunos utilizam blazers; portanto, a probabilidade de 𝐴 é 12 de 32. Como o numerador e o denominador são divisíveis por quatro, isto simplifica para três de oito ou três oitavos. Também nos é dito que quatro dos alunos que utilizam blazer também utilizam moletão. Isto significa que a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é quatro de 32, pois esta é a probabilidade de selecionar um aluno que utilize um blazer e um moletão. Mais uma vez, podemos dividir o numerador e o denominador por quatro, dando-nos um oitavo.
Uma palavra-chave na questão é “obrigatória”, pois dizem-nos que os alunos devem utilizar um moletão ou um blazer. Podemos utilizar este facto para escrever a probabilidade de 𝐴 união 𝐵. Como todos os alunos devem utilizar um moletão ou um blazer ou ambos, a probabilidade de 𝐴 união 32 é de 32 sobre 32, que é igual a um. É certo que um aluno selecionado ao acaso estará utilizando pelo menos um de um moletão ou um blazer.
Isto deixa-nos com a segunda parte da questão, o cálculo da probabilidade de 𝐵, o acontecimento de selecionar ao acaso um aluno que utiliza um moletão. Podemos responder a isto utilizando a regra da adição em probabilidade, que afirma que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Substituindo os valores que já conhecemos, temos um igual a três oitavos mais a probabilidade de 𝐵 menos um oitavo. O segundo membro simplifica para dois oitavos mais a probabilidade de 𝐵, que por sua vez é igual a um quarto mais a probabilidade de 𝐵. Subtrair um quarto de ambos os membros desta equação dá-nos a probabilidade de 𝐵 ser igual a três quartos.
Agora temos respostas para todas as quatro partes desta questão. São três oitavos, três quartos, um oitavo e um, respetivamente. Também poderemos representar as informações num diagrama de Venn, onde os números apresentados são o número de alunos em cada secção. Havia 12 alunos que vestem blazers, 24 alunos que vestem moletão e quatro alunos que vestem os dois. Os três números somam-se para nos dar um total de 32 alunos.
Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. A interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é a coleção de todos os resultados que são elementos de ambos os conjuntos 𝐴 e 𝐵. A união dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é uma coleção de todos os resultados que são elementos de um ou outro dos conjuntos 𝐴 e 𝐵 ou de ambos. Estas definições estão ligadas pela regra da adição de probabilidade, que afirma que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Isto pode ser representado utilizando diagramas de Venn, como se mostra.
