Vídeo: Determinando o Produto Escalar entre Vetores

Dado que as coordenadas de 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são (2, −4, −2), (−2, 3, 3) e (4, 2, 5), respectivamente, determine 𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐶.

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Dado que as coordenadas de 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são dois e menos quatro, menos dois; menos dois, três, três; e quatro, dois, cinco, respectivamente, determine o valor do produto escalar de 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶.

Queremos encontrar o produto escalar dos vetores 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶. E para fazer isso, precisaremos de suas magnitudes e da medida do ângulo entre eles ou precisaremos de suas componentes. Não recebemos nenhum conjunto de informações diretamente na pergunta.

No entanto, recebemos as coordenadas dos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. E a partir dessas coordenadas, podemos calcular as componentes dos vetores 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶. Nossos pontos têm três coordenadas e, portanto, estão no espaço tridimensional. E assim nossos vetores também serão tridimensionais.

A componente 𝑥 de 𝐴𝐵 nos diz até que ponto precisamos nos mover na direção 𝑥 do ponto inicial 𝐴 para o ponto terminal 𝐵. Olhando para as coordenadas de 𝐴 e 𝐵, vemos que nosso valor inicial de 𝑥 é dois e nosso valor de terminal é menos dois. E assim devemos ter movido quatro unidades negativas.

Fazemos o mesmo cálculo para a componente 𝑦, começamos com menos quatro e passamos para três. Então nós andamos sete unidades. Para ir de dois a menos três, nossa componente 𝑧 devem ser cinco.

Nós fazemos o mesmo para encontrar as componentes do vetor 𝐴𝐶. A componente 𝑥 é quatro menos dois é igual a dois. O componente 𝑦 é dois menos menos quatro, que é seis. E a componente 𝑧 é cinco menos menos dois, que é sete.

Tendo encontrado suas componentes, calculamos o produto escalar da maneira normal. É o produto das componentes 𝑥 mais o produto das componentes 𝑦 mais o produto das componentes 𝑧. Calculando isso, descobrimos que o produto escalar é 69.

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