Vídeo: Raízes Arbitrárias de Números Complexos

Neste vídeo, aprenderemos como usar o teorema de Moivre para encontrar as 𝑛-ésimas raízes de um número complexo e explorar suas propriedades.

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Nesta aula, aprenderemos como usar o teorema de De Moivre para encontrar a 𝑛-ésima raiz de um número complexo e explorar suas propriedades. Nesse ponto, você deve se sentir à vontade para encontrar as 𝑛-ésimas raízes da unidade. E esta aula procura estender esses conceitos para encontrar a 𝑛-ésima raiz de qualquer número complexo.

Também vamos considerar a relação entre as 𝑛-ésimas raízes de um número complexo e as raízes da unidade, antes de olhar para uma interpretação geométrica e aplicação para essas raízes. Vamos começar lembrando o teorema de De Moivre para as raízes. Diz que, para um número complexo da forma 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, as raízes são dadas por 𝑟 à potência de um sobre 𝑛 vezes cos de 𝜃 mais dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen 𝜃 mais dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛. E estas são para valores inteiros de 𝑘 entre zero e 𝑛 menos um.

Neste vídeo, vamos usar este teorema para ambas as raízes na forma polar e exponencial. Então, vamos ver um exemplo de como usar a fórmula para resolver uma equação que envolve encontrar as raízes de um número complexo.

1) Resolva 𝑧 elevado a cinco é igual a 16 raiz de dois mais 16𝑖 raiz de dois. 2) Desenhando as soluções em um diagrama de Argand ou de outra maneira, descreva as propriedades geométricas das soluções.

Para a primeira parte, precisamos resolver uma equação que envolve encontrar as raízes para um número complexo escrito em forma algébrica. Lembre-se, no entanto, o teorema de De Moivre para raízes usa a forma polar e exponencial de um número complexo em vez da forma algébrica. Então, precisamos começar calculando o módulo e o argumento de um número complexo que é denotado 𝑧 elevado a cinco.

A parte real deste número complexo é 16 raiz de dois. E da mesma forma, sua parte imaginária é também 16 raiz de dois. Portanto, o módulo é bastante simples de calcular. É a raiz quadrada da soma dos quadrados dessas duas partes. Essa é a raiz quadrada de 16 raiz de dois ao quadrado mais 16 raiz de dois ao quadrado, que é simplesmente 32. Assim, o módulo de 𝑧 à potência de cinco é 32.

Na forma exponencial, esse é o valor de 𝑟. Seu argumento também é bastante direto. O número complexo tem partes reais e imaginárias positivas. Portanto, deve estar no primeiro quadrante no diagrama de Argand. Isso significa que podemos usar a fórmula arctg de 𝑏 dividido por 𝑎, onde 𝑏 é a parte imaginária e 𝑎 é a parte real, para encontrar o argumento de 𝑧 elevado a cinco. Isso é arctg de 16 raiz de dois sobre 16 raiz dois.

Bem, na verdade, 16 raiz de dois dividido por 16 raiz de dois é um. Então, precisamos encontrar o arctg de um. E este é um valor que devemos saber de cor. Sabemos que tg de 𝜋 sobre quatro é um. Então o arctg de um deve ser 𝜋 sobre quatro. E o argumento de 𝑧 elevado a cinco é 𝜋 sobre quatro. E podemos dizer, na forma exponencial, que podemos escrever essa equação como 𝑧 à potência de cinco igual a 32𝑒 elevado a 𝜋 sobre quatro 𝑖.

Para resolver essa equação, precisamos encontrar a raiz quinta de ambos os lados. Agora a quinta raiz de 𝑧 à potência de cinco é simplesmente 𝑧. E podemos dizer que a raiz quinta de 32𝑒 elevado a 𝜋 sobre quatro 𝑖 é 32𝑒 elevado a 𝜋 sobre quatro 𝑖 elevado a um sobre cinco. Comparando isso com a fórmula do teorema de De Moivre, vemos que 𝑟, o módulo, é 32. 𝜃, o argumento é 𝜋 sobre quatro. E 𝑛 deve ser igual a cinco, o que significa que 𝑘 vai assumir os valores de zero, um, dois, três e quatro.

Aplicando este teorema com 𝑛 é igual a cinco, obtemos 𝑧 igual a 32 elevado a um quinto vezes 𝑒 elevado a 𝜋 sobre quatro mais dois 𝜋𝑘 sobre cinco 𝑖. 32 elevado a um quinto é dois. E substituindo 𝑘 é igual a zero na equação, vemos que a primeira solução deve ser dois 𝑒 elevado a 𝜋 sobre 20𝑖.

Nossa segunda solução é dois 𝑒 elevado a nove 𝜋 sobre 20𝑖. Quando 𝑘 é igual a dois, temos dois 𝑒 elevado a 17𝜋 sobre 20𝑖. Substituindo 𝑘 é igual a três em nossa equação e, em seguida, subtraindo dois 𝜋 do argumento de modo que esteja dentro do intervalo para o argumento principal, vemos que a quarta solução é dois 𝑒 elevado a menos três 𝜋 sobre quatro 𝑖. E da mesma forma, a solução final é dois 𝑒 elevado a menos sete 𝜋 sobre 20𝑖.

E assim nós temos as cinco soluções para a equação 𝑧 elevado a cinco é igual a 16 raiz de dois mais 16𝑖 raiz de dois. E nós as expressamos na forma exponencial.

Para a parte dois, precisamos desenhar essas soluções em um diagrama de Argand. Agora, uma maneira de fazer isso seria converter esses números de volta na sua forma algébrica. Uma vez que conhecemos suas partes reais e imaginárias, podemos desenhá-las facilmente no diagrama de Argand. Alternativamente, podemos ver que seu módulo é dois e depois usar seus argumentos para desenhar as raízes. De qualquer forma, vemos que elas formam os vértices de um pentágono regular, inscritos em um círculo de raio dois, cujo centro é a origem.

Geometricamente, podemos dizer que as 𝑛-ésimas raízes de um número complexo, muito parecidas com as 𝑛-ésimas raízes da unidade, formam os vértices de um polígono regular com 𝑛 lados, um 𝑛-polígono regular. Agora existem outras relações entre essas raízes arbitrárias e as raízes da unidade. Vamos dar uma olhada com mais detalhes nessas propriedades.

1) Encontre as soluções para a equação 𝑧 elevado a seis é igual a 125𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre três 𝑖. Quais são as suas propriedades geométricas? 2) Indique as seis raízes da unidade. E 3) Qual é a relação entre as raízes sextas da unidade e as soluções para a equação 𝑧 elevado a seis é igual a 125𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre três 𝑖?

Aqui temos uma equação envolvendo encontrar as raízes de um número complexo. Para resolver essa equação, precisamos obter a raiz sexta de ambos os lados. E para fazer isso, precisamos aplicar o teorema de De Moivre para as raízes. Isso nos diz que as soluções para essa equação são dadas por 125 elevado a um sexto vezes 𝑒 à potência de dois 𝜋 sobre três mais dois 𝜋𝑘 sobre seis 𝑖, onde 𝑘 toma valores de zero a cinco.

Substituindo esses valores de 𝑘 em nossa fórmula e subtraindo múltiplos de dois 𝜋 quando necessário do argumento para expressar o argumento dentro do intervalo para o argumento principal. E vemos que nossas soluções para a equação são raiz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nove 𝑖, raiz de cinco 𝑒 elevado a quatro 𝜋 sobre nove 𝑖, raiz de cinco 𝑒 elevado a sete 𝜋 sobre nove 𝑖, raiz de cinco 𝑒 elevado a menos oito 𝜋 sobre nove 𝑖, raiz de cinco 𝑒 elevado a menos cinco 𝜋 sobre nove 𝑖 e raiz de cinco 𝑒 elevado a menos dois 𝜋 sobre nove 𝑖.

Como esperado, quando as desenhamos em um diagrama de Argand, vemos que elas formam os vértices de um hexágono regular. E este hexágono está inscrito dentro de um círculo cujo centro é a origem e cujo raio é a raiz de cinco.

Agora, à medida que avançamos e respondemos a parte dois e três da pergunta, deixamos o diagrama de Argand no lugar. Vai ser útil para nós daqui a pouco. De um modo semelhante, poderíamos usar o teorema de De Moivre para encontrar as raízes sextas da unidade. Ou podemos simplesmente lembrar que elas são um, 𝑒 elevado a 𝜋 sobre três 𝑖, 𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre três 𝑖, menos um, 𝑒 elevado a menos dois 𝜋 sobre três 𝑖, e 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre três 𝑖.

Então, para encontrar a relação entre as raízes sextas da unidade e as soluções para a nossa equação, vamos relembrar a interpretação geométrica das raízes sextas da unidade. As raízes sextas da unidade são representadas geometricamente pelos vértices de um hexágono regular. Desta vez, esse hexágono está inscrito dentro de um círculo unitário. E mais uma vez, seu centro é a origem. E podemos ver que podemos transformar as raízes sextas da unidade nas raízes de nossa equação por um fator de escala de ampliação de raiz de cinco e uma rotação anti-horária de 𝜋 sobre nove radianos.

Outro modo de pensar sobre isso é o mesmo que multiplicá-los por um número complexo cujo módulo é a raiz quadrada de cinco e cujo argumento é 𝜋 sobre nove, em outras palavras, raiz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nove 𝑖. Isto significa que se chamarmos as raízes sextas da unidade um, 𝜔, 𝜔 ao quadrado até 𝜔 elevado a cinco, então as raízes da nossa equação podem ser expressas como raiz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nove 𝑖, 𝜔 vezes raiz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nove 𝑖, todo o caminho até 𝜔 elevado a cinco vezes raiz de cinco 𝑒 elevado a 𝜋 sobre nove 𝑖. E estes resultados teriam ficado se tivéssemos usado qualquer uma das outras raízes de 𝑧 elevado a seis é igual a 125 𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre três 𝑖.

Vamos olhar para generalizar isso. Se 𝑧 um é a raiz da equação 𝑧 elevado a 𝑛 menos 𝑤 é igual a zero e um, 𝜔, 𝜔 ao quadrado, todo o caminho até 𝜔 elevado a 𝑛 menos um são as 𝑛-ésimas raízes da unidade, as raízes de 𝑧 à potência de 𝑛 menos 𝑤 igual a zero são 𝑧 um, 𝑧 um multiplicado por 𝜔, 𝑧 um multiplicado por 𝜔 ao quadrado, até 𝑧 um multiplicado por 𝜔 elevado a 𝑛 menos um.

Podemos pensar nisso geometricamente. Sabemos que a multiplicação por um número complexo cujo módulo é um representa uma rotação no sentido anti-horário pelo argumento desse número complexo. Então, se começarmos com uma raiz de 𝑧 até a potência de 𝑛 menos 𝑤 igual a zero, cada rotação por um ângulo de dois 𝜋 sobre 𝑛 transformará o vértice dessa raiz nos outros vértices que representam as outras raízes. Vamos dar uma olhada em um exemplo dessa interpretação geométrica.

Encontre as coordenadas dos vértices de um pentágono regular centralizado na origem com um vértice em três, três.

Como estamos lidando com um pentágono, vamos ver como podemos vinculá-lo as raízes quintas de um número complexo. Sabemos que, em um diagrama de Argand, as raízes quintas da unidade formam um pentágono regular. Esse pentágono está inscrito dentro de um círculo unitário cujo centro é a origem. E um dos vértices está no ponto cujas coordenadas cartesianas são um, zero. Então, vamos considerar o plano cartesiano como um diagrama de Argand contendo nosso pentágono regular.

Podemos transformar este pentágono em um pentágono regular centrado na origem com um vértice em 𝑧 um, multiplicando cada uma das raízes quintas da unidade por 𝑧 um. E isso é o equivalente a encontrar a raiz quinta de 𝑧 um elevado a cinco.

Agora podemos usar o teorema de De Moivre ou simplesmente lembrar que as raízes quintas da unidade são um, 𝜔, 𝜔 ao quadrado, 𝜔 ao cubo e 𝜔 à potência de quatro, onde 𝜔 é 𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre cinco 𝑖. Como um dos vértices do nosso pentágono se encontra no ponto três, três, que representa o número complexo três mais três 𝑖, podemos dizer que 𝑧 um é igual a três mais três 𝑖.

Agora sabemos que se 𝑧 um é uma raiz para a equação 𝑧 𝑛 menos 𝑤 é igual a zero e um 𝜔 até 𝜔 elevado a 𝑛 menos um são as 𝑛-ésimas raízes da unidade, então as raízes de 𝑧 elevado a 𝑛 menos 𝑤 igual a zero são 𝑧 um, 𝑧 um vezes 𝜔, 𝑧 um vezes 𝜔 ao quadrado, todo o caminho até 𝑧 um vezes 𝜔 elevado a 𝑛 menos um. Assim, podemos encontrar as coordenadas de todos os vértices do nosso pentágono regular, multiplicando o nosso 𝑧 um pelas raízes quintas da unidade.

Antes de fazermos isso, precisamos escrevê-lo de forma exponencial. O módulo de 𝑧 um é a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária. Essa é a raiz quadrada de três ao quadrado mais três ao quadrado, que é três raiz de dois. E como as partes real e imaginária são positivas, sabemos que está no primeiro quadrante. Portanto, seu argumento é o arctg de três dividido por três, que é 𝜋 sobre quatro. E podemos dizer que 𝑧 um é igual a três raiz de dois 𝑒 elevado a 𝜋 sobre quatro 𝑖.

O resto das raízes e, portanto, os outros vértices do nosso pentágono serão dados por 𝑧 um vezes 𝜔, 𝑧 um vezes 𝜔 ao quadrado, e todo o caminho até 𝑧 um vezes 𝜔 elevado a quatro. Para encontrar 𝑧 um vezes 𝜔, isto é três raiz de dois 𝑒 elevado a 𝜋 sobre quatro 𝑖 vezes 𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre cinco 𝑖. E lembre-se, para multiplicar números complexos na forma exponencial, multiplicamos seus módulos e depois adicionamos seus argumentos. Isto significa que a nossa segunda raiz é três raiz de dois 𝑒 elevado a 13𝜋 sobre 20𝑖.

Agora, como estamos tentando encontrar as coordenadas, precisamos representar isso na forma algébrica. E para converter da forma exponencial para a algébrica, primeiro convertemos para a forma polar. Isso é três raiz de dois vezes cos 13𝜋 sobre 20 mais 𝑖 sen de 13𝜋 sobre 20. Distribuindo os parênteses, vemos que isso é o mesmo que três raiz de dois cos de 13𝜋 sobre 20 mais três raiz de dois 𝑖 sen de 13𝜋 sobre 20. E nós podemos ver que o segundo vértice do nosso pentágono estará no ponto com coordenadas cartesianas três raiz de dois cos de 13𝜋 sobre 20, três raiz de dois sen de 13𝜋 sobre 20.

Repetimos esse processo com o terceiro vértice. E subtraímos dois 𝜋 do argumento para que possamos expressar o argumento dentro do intervalo para o argumento principal. E vemos que a terceira solução é três raiz de dois 𝑒 elevado a menos 19 sobre 20𝜋𝑖. Mais uma vez, representando isso na forma polar e distribuindo os parênteses, nós achamos que as coordenadas aqui são três raiz de dois cos de menos 19𝜋 sobre 20, três raiz de dois sen de menos 19𝜋 sobre 20.

Podemos repetir esse processo por 𝑧 um vezes 𝜔 ao cubo e 𝑧 um vezes 𝜔 elevado a quatro. E encontramos os vértices do pentágono situados no ponto cujas coordenadas cartesianas são três, três; três raiz de dois cos 13𝜋 sobre 20, três raiz de dois sen 13 𝜋 sobre 20, três raiz de dois cos de menos 19 𝜋 sobre 20, três raiz de dois sen de menos 19𝜋 sobre 20. Temos três raiz de dois cos de menos 11𝜋 ​​sobre 20, três raiz de dois sen de menos 11𝜋 ​​sobre 20, e três raiz de dois cos de menos três 𝜋 sobre 20, três raiz de dois sen de menos três 𝜋 sobre 20. E existem algumas propriedades geométricas mais interessantes das 𝑛-ésimas raízes de números complexos. Vamos considerar mais um exemplo.

1) Encontre as raízes de 𝑧 elevado a oito mais 16 é igual a zero. 2) Os números complexos que representam as raízes de 𝑧 à potência de oito mais 16 igual a zero são cada uma elevada ao quadrado para formar os vértices de uma nova forma. Qual é a área da forma?

Vamos começar com a primeira parte. Para resolver essa equação, vamos subtrair 16 de ambos os lados para obter 𝑧 elevado a oito igual a menos 16. E então encontraremos as raízes oitavas de ambos os lados. Mas para aplicar o teorema de De Moivre para raízes, o menos 16 precisará ser expresso na forma exponencial ou polar.

Vamos escrever na forma exponencial. Seu módulo é 16. E como é um número puramente real, que estaria no eixo real negativo de um diagrama de Argand, seu argumento é 𝜋 radianos. E, portanto, as soluções para nossa equação são as raízes oitavas de 16𝑒 elevado a 𝜋𝑖. Aplicando o teorema de De Moivre e vemos que as raízes são dadas por 16 elevado a um oitavo vezes 𝑒 elevado a 𝜋 mais dois 𝜋𝑘 sobre oito 𝑖, onde 𝑘 assumi valores de zero a sete.

Então nossas raízes cujos argumentos são expressos no intervalo para o argumento principal são raiz de dois 𝑒 elevado a 𝜋 sobre oito 𝑖, raiz de dois 𝑒 elevado a três 𝜋 sobre oito 𝑖, todo o caminho até raiz de dois 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre oito 𝑖. E uma vez que estas são as raízes oitavas de um número complexo, segue-se que elas formarão os vértices de um octógono regular inscrito em um círculo cujo raio é a raiz de dois e o centro é a origem.

E a segunda parte? Bem, para elevar ao quadrado um número complexo na forma exponencial, nós elevamos o seu módulo e dobramos seu argumento. Observe como nossas raízes oitavas diminuíram para apenas quatro. Estas raízes representam os vértices de um quadrado desta vez, inscritos em um círculo de raio duas unidades. Sua área pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras. E isso irá gerar um comprimento de lado de dois raiz de dois unidades. Então, sua área é dois raiz de dois ao quadrado. Que são oito unidades quadradas.

Agora você previu o que pode acontecer quando elevamos as raízes ao quadrado? Na verdade, faz muito sentido que o número de raízes diminua pela metade. Essencialmente, é um pouco mais simples de encontrar as raízes da nossa equação original, que sabemos que formariam os vértices de um quadrado.

Neste vídeo, aprendemos que podemos usar o teorema de De Moivre para encontrar raízes arbitrárias de números complexos. Nós vimos que se 𝑧 um é uma das 𝑛-ésimas raízes de um número complexo, suas outras raízes são dadas por 𝑧 um 𝜔, 𝑧 um 𝜔 ao quadrado, até 𝑧 um 𝜔 elevado a 𝑛 menos um. E isso é quando 𝜔 é a raiz primitiva da unidade. Também vimos que podemos usar as propriedades geométricas das raízes de números complexos para nos ajudar a encontrar as coordenadas de polígonos regulares desenhados no plano.

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