Video Transcript
Neste vídeo, vamos usar alguma álgebra básica para provar que um é igual a dois. Bem, talvez.
Primeiro de tudo, vamos definir duas variáveis, 𝑝 e 𝑞. E nós diremos que o valor de 𝑝 é igual ao valor de 𝑞. Agora, isso nos dá a equação 𝑝 é igual a 𝑞. Agora vamos pegar essa equação e multiplicar ambos os lados por 𝑝. Então, 𝑝 vezes 𝑝 é igual a 𝑝 vezes 𝑞 ou simplesmente 𝑝𝑝 é igual a 𝑝𝑞. Mas espere! 𝑝𝑝 significa apenas 𝑝 vezes 𝑝 ou 𝑝 ao quadrado, então podemos dizer que 𝑝 ao quadrado é igual a 𝑝 vezes 𝑞 ou 𝑝𝑞.
E agora vamos subtrair 𝑞 ao quadrado de cada lado dessa equação. Então, fizemos a mesma coisa em ambos os lados dessa equação, então ainda é uma equação. E 𝑝 ao quadrado menos 𝑞 ao quadrado é igual a 𝑝𝑞 menos 𝑞 ao quadrado. Agora, quando temos uma coisa quadrada menos outra coisa quadrada, chamamos isso de diferença de dois quadrados. E podemos fatorar essa expressão assim: 𝑝 ao quadrado menos 𝑞 ao quadrado é igual a 𝑝 menos 𝑞 vezes 𝑝 mais 𝑞.
Então, vamos apenas verificar que: mais 𝑝 vezes mais 𝑝 é mais 𝑝 quadrado; mais 𝑝 vezes mais 𝑞 é mais 𝑝𝑞; menos 𝑞 vezes mais 𝑝 é menos 𝑞𝑝; e menos 𝑞 vezes mais 𝑞 é menos 𝑞 ao quadrado. Agora 𝑝𝑞 significa 𝑝 vezes 𝑞 e 𝑞𝑝 significa 𝑞 vezes 𝑝. Mas a multiplicação é comutativa, e isso significa que não importa em que ordem você multiplica as coisas. Assim, 𝑝 vezes 𝑞 lhe dá o mesmo resultado de 𝑞 vezes 𝑝, e isso significa que eu posso reescrever 𝑞𝑝 como 𝑝𝑞.
Então, nossa expressão agora se lê 𝑝 ao quadrado mais 𝑝𝑞 menos 𝑝𝑞 menos 𝑞 ao quadrado. E 𝑝𝑞 menos 𝑝𝑞 é zero. E ao multiplicar 𝑝 menos 𝑞 vezes 𝑝 mais 𝑞, provei que essas duas coisas são de fato iguais. E isso significa que posso escrever o lado esquerdo da minha equação assim. Então eu tenho agora 𝑝 menos 𝑞 vezes 𝑝 mais 𝑞 é igual a 𝑝𝑞 menos 𝑞 ao quadrado.
Então eu fatorei o lado esquerdo da nossa equação. Mas à direita, podemos ver que ambos os termos têm um fator comum de 𝑞 também, então eu posso fatorar esse lado também. Então agora temos 𝑝 menos 𝑞 vezes 𝑝 mais 𝑞 é igual a 𝑞 vezes 𝑝 menos 𝑞. Agora você notará que temos 𝑝 menos 𝑞 em ambos os lados da nossa equação, então se eu dividir ambos os lados por 𝑝 menos 𝑞, terei 𝑝 menos 𝑞 no numerador e no denominador em ambos os lados e posso cancelá-los.
𝑝 menos 𝑞 dividido por 𝑝 menos 𝑞 no lado esquerdo é um e também do lado direito. Então, do lado esquerdo, tenho uma vez 𝑝 mais 𝑞 sobre um, que é apenas 𝑝 mais 𝑞. E no lado direito, tenho 𝑞 vezes um sobre um, o que é só 𝑞. E isso me deixa com 𝑝 mais 𝑞 é igual a 𝑞.
Agora lembre-se, no início, dissemos que 𝑝 era igual a 𝑞, e isso significa que eu posso substituir 𝑝 por 𝑞 em minha equação, o que nos dá 𝑞 mais 𝑞 é igual a 𝑞. Bem 𝑞 mais 𝑞 é igual a dois 𝑞. Então agora dois 𝑞 é igual a 𝑞. Agora eu posso dividir os dois lados por 𝑞; e à esquerda, 𝑞 dividido por 𝑞 é um; e à direita, da mesma forma, 𝑞 dividido por 𝑞 é um. E isso nos deixa duas vezes um sobre um no lado esquerdo, que é apenas dois, e um dividido por um do lado direito, que é apenas um.
Então só temos isso! Dois é igual a um, ou, na verdade, um é igual a dois. Bem, está aí; nós quebramos a matemática! Não há muito sentido em continuar! Ok, pause o vídeo, dê uma olhada através de linha por linha e veja se você pode encontrar algum erro em nossa lógica.
Bem, obviamente, um não é igual a dois. Se fosse, acho que já teríamos ouvido as notícias agora. Então, vamos passar por nosso trabalho linha por linha e ver se podemos descobrir o que aconteceu. Bem, definindo duas variáveis 𝑝 e 𝑞 e deixando que elas sejam iguais, não há problema com isso. E é perfeitamente correto multiplicar ambos os lados da nossa equação pela mesma coisa 𝑝. E sim, 𝑝 ao quadrado é igual a 𝑝 vezes 𝑝, então isso é correto.
Subtrair a mesma coisa de cada lado da nossa equação mantém-na igual, de modo que está tudo bem também. Agora, analisamos a fatoração da diferença de dois quadrados em alguns detalhes anteriormente, e também está tudo bem. E fatorando o fator comum 𝑞 no lado direito, está tudo bem.
Agora, ao passar da etapa seis para a etapa sete, dividimos os dois lados da equação por 𝑝 menos 𝑞. Bem, isso normalmente poderia estar bem, mas nós dissemos no começo que 𝑝 era igual a 𝑞. Então, 𝑝 menos 𝑞 é igual a algo menos ele mesmo; isso é zero. Então, estamos dividindo os dois lados da nossa equação por zero. Agora isso é um problema. Por exemplo, o que é um dividido por zero? Bem, não importa quantas vezes você adicione zero a si mesmo, você nunca chegará a um.
Qualquer coisa dividida por zero é indefinida. Então, quando você divide as coisas em equações, você realmente precisa verificar se o que você está dividindo não é igual a zero. Ok, vamos ver de uma maneira um pouco diferente. Na linha seis, temos 𝑝 menos 𝑞 vezes 𝑝 mais 𝑞, mas 𝑝 menos 𝑞 é zero. Portanto, o lado esquerdo realmente significa zero vezes 𝑝 mais 𝑞, e 𝑝 menos 𝑞 é zero no lado direito, de modo que se torna 𝑞 vezes zero.
Então, estamos dizendo que zero vezes algo é igual a algo vezes zero. Bem, zero vezes algo é zero, e algo vezes zero é zero, então aqui estamos dizendo que zero é igual a zero. E sim, isso é verdade. Mas isso não significa que as coisas que estamos multiplicando por zero também são iguais. Então, da linha de seis para sete, não sabemos que 𝑝 mais 𝑞 é igual a 𝑞. Sabemos apenas que zero vezes 𝑝 mais 𝑞 é igual a zero vezes 𝑞. E isso significa que tudo isso está errado; nós não provamos que um é igual a dois, nós provamos que zero vezes um é igual a zero vezes dois. Viva! Parece que o mundo da matemática está seguro, afinal.
