Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como determinar os limites de funções trigonométricas. Utilizaremos algumas regras para nos ajudar. Vamos começar por recordar-nos do que é um limite. Se o limite de 𝑓 de 𝑥 quando 𝑥 tende para 𝑎 existir, podemos dizer que é igual a
uma constante 𝐿. E o que isso significa é que 𝑥 tende para 𝑎. A função 𝑓 de 𝑥 tende para 𝐿.
Ao determinar os limites de funções trigonométricas, existem algumas funções que
podem ser determinadas utilizando a substituição direta, por exemplo, os limites de
sen 𝑥 e cos 𝑥. Algumas funções requerem o uso de identidades trigonométricas, como a apresentada
aqui, para manipulá-las de uma forma em que possamos utilizar a substituição
direta.
No entanto, existem alguns casos em que a substituição direta não funciona. Um desses casos é o limite quando 𝑥 tende para zero de sen 𝑥 sobre 𝑥. Ao tentarmos utilizar a substituição direta aqui, obtemos sen de zero sobre zero, que
também é igual a zero sobre zero. E isto não está definido. E aqui chegamos à primeira regra que utilizaremos para nos ajudar a determinar os
limites das funções trigonométricas. Temos que o limite quando 𝑥 tende para zero de sen 𝑥 sobre 𝑥 é igual a um.
Agora, a demonstração desta regra está um pouco além do âmbito deste vídeo. No entanto, se pensarmos sobre esta regra de uma certa maneira, podemos obter uma
visão intuitiva sobre por que funciona. Se pensarmos nas nossas aproximações a ângulos pequenos, sabemos que quando 𝑥 é
muito muito pequeno, o sen de 𝑥 é aproximadamente igual a 𝑥. No nosso limite, estamos a considerar o limite quando 𝑥 tende para zero. Portanto, isto significa que 𝑥 estará a ficar cada vez menor. E, portanto, faz sentido utilizarmos a nossa aproximação a ângulos pequenos aqui. Obtemos que o limite quando 𝑥 tende para zero do sen 𝑥 sobre 𝑥 é aproximadamente
igual a 𝑥 sobre 𝑥. Anulando os 𝑥s nas partes superior e inferior da fração nos deixa com um.
Outra maneira de pensar intuitivamente sobre este limite é desenhar o gráfico do sen
𝑥 sobre 𝑥. Podemos ver na representação do gráfico que a linha tende para um em zero. Obteríamos um resultado semelhante considerando uma tabela de valores para o sen de
𝑥 sobre 𝑥. Agora vamos considerar um exemplo utilizando esta identidade.
Calcule o limite quando 𝑥 tende para zero de sen de 𝑥 sobre sen de 𝑥 sobre
dois.
Primeiro, podemos tentar resolver este limite utilizando a substituição direta. Substituímos 𝑥 igual a zero na nossa equação. No entanto, isso deixa-nos com zero sobre zero, o que não está definido. Precisamos de determinar este limite por outros meios. Vamos tentar utilizar a regra de que o limite quando 𝑥 tende para zero de sen 𝑥
sobre 𝑥 é igual a um.
Para obter algo desta forma, precisamos de multiplicar o numerador e o denominador do
nosso limite por 𝑥. Ao fazer isto, permite-nos escrever o nosso limite como o limite quando 𝑥 tende para
zero do sen 𝑥 sobre 𝑥 multiplicado por 𝑥 sobre sen de 𝑥 sobre dois.
Em seguida, utilizaremos a regra de limite, que nos diz que o limite de um produto de
funções é igual ao produto dos limites das funções. Obtemos isto. Observamos que o limite à esquerda do produto é idêntico ao limite na nossa
regra. E então podemos dizer que este limite é apenas um.
Para calcular o outro limite, vamos reescrever a nossa regra de que, em vez de
escrever 𝑥, escreveremos 𝑥 sobre dois. 𝑥 sobre dois tende para zero é o mesmo que 𝑥 a tender para zero. Pelo que podemos escrever isso aqui. Em seguida, podemos multiplicar o numerador e o denominador por dois. Isso deixa-nos com o limite quando 𝑥 tende para zero de dois sen de 𝑥 sobre dois
sobre 𝑥 é igual a um.
E agora temos uma constante dentro do nosso limite, que é dois. Pelo que podemos fatorizar essa constante fora do nosso limite. E simplesmente dividimos os dois membros da equação por dois. O limite à esquerda da equação aqui parece muito próximo do limite que estamos a
tentar calcular. A única diferença é que as frações nos dois limites são inversas.
Para tornar estes dois limites idênticos, utilizaremos o facto de que o limite de um
inverso é igual ao inverso do limite. O que isto significa é que o limite quando 𝑥 tende para zero de 𝑥 sobre sen de 𝑥
sobre dois é igual a um sobre o limite quando 𝑥 tende para zero de sen de 𝑥 sobre
dois sobre 𝑥. Acabámos de descobrir que este limite é igual a um meio. Então, podemos substituir isso aqui. E isso dá-nos um sobre um meio, o que é simplesmente igual a dois.
E aqui determinamos o valor do limite que estamos a tentar calcular. E podemos substituir isso de volta na nossa equação. Isso diz-nos que o limite quando 𝑥 tende para zero de sen 𝑥 sobre sen de 𝑥 sobre
dois é igual a um multiplicado por dois, dando-nos uma solução de dois.
Um método alternativo para resolver esta questão é utilizar uma identidade
trigonométrica. Utilizaremos o facto de que o sen de dois 𝜃 é igual a dois sen 𝜃 cos 𝜃. Se 𝜃 for igual a 𝑥 sobre dois, obtemos que o sen de 𝑥 é igual a dois sen de 𝑥
sobre dois multiplicado por cos de 𝑥 sobre dois. E podemos substituir este valor do sen de 𝑥 no numerador do nosso limite. Ao fazer isto, obtemos o limite quando 𝑥 tende para zero de dois sen de 𝑥 sobre
dois multiplicado por cos de 𝑥 sobre dois tudo sobre sen de 𝑥 sobre dois.
E assim podemos anular o sen de 𝑥 sobre dois nas partes superior e inferior da
fração. Isso deixa-nos com o limite quando 𝑥 tende para zero de dois cos de 𝑥 sobre
dois. E aqui podemos simplesmente aplicar a substituição direta. E como cos de zero é igual a um, obtemos a mesma solução anterior de dois.
Neste último exemplo, vimos como podemos adaptar o limite quando 𝑥 tende para zero
do sen de 𝑥 sobre 𝑥 igual a um para mostrar que o limite quando 𝑥 tende para zero
de 𝑥 sobre o sen de 𝑥 sobre dois igual a dois. Vamos considerar o caso geral do limite quando 𝑥 tende para zero de sen de 𝑎𝑥
sobre 𝑥.
Tomando a nossa regra original e substituindo 𝑎𝑥 por 𝑥, obtemos isto. No entanto, como 𝑎 é uma constante, se 𝑎𝑥 se está a aproximar de zero, isto deve
significar que 𝑥 está a aproximar-se de zero. E então, em vez de escrever 𝑎𝑥 tende para zero, podemos simplesmente escrever 𝑥
tende para zero, pois estas duas coisas são equivalentes.
Em seguida, podemos fatorizar o 𝑎 no denominador da nossa fração. A nossa fração torna-se um sobre 𝑎 multiplicada pelo sen de 𝑎𝑥 sobre 𝑥. Como um sobre 𝑎 é apenas uma constante, podemos fatorizá-lo e retirá-la do nosso
limite.
Para nossa etapa final aqui, multiplicamos os dois lados por 𝑎. E isso deixa-nos com uma nova regra. Temos que o limite quando 𝑥 tende para zero do sen de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 é igual a
𝑎. Podemos adaptar ainda mais essa regra para determinar o limite quando 𝑥 tende para
zero de tan de 𝑎𝑥 sobre 𝑥. Começamos por escrever tan de 𝑎𝑥 como sen de 𝑎𝑥 sobre cos de 𝑎𝑥.
Em seguida, utilizaremos o facto de que o limite de um produto de funções é igual ao
produto do limite dessas funções. E obtemos isto. E podemos ver que o limite no primeiro membro é equivalente à regra que acabámos de
derivar. E, portanto, é igual a 𝑎. E podemos utilizar a substituição direta para determinar o limite no segundo
membro. Como cos de zero é apenas um, obtemos que isto é igual a 𝑎. E assim determinámos uma nova regra. Esta é o limite quando 𝑥 tende para zero de tan 𝑎𝑥 sobre 𝑥 é igual a 𝑎. Agora estamos prontos para seguir para o próximo exemplo.
Determine o limite quando 𝑥 tende para zero do sen ao quadrado de sete 𝑥 mais três
tan ao quadrado de três 𝑥 sobre oito 𝑥 ao quadrado.
Se tentássemos a substituição direta, obteríamos zero sobre zero, o que não está
definido. Vamos tentar determinar este limite utilizando estas regras. Também utilizaremos o facto de que o limite de uma soma de funções é igual à soma dos
limites das funções. Portanto, podemos escrever o nosso limite como a soma destes dois limites. Percebemos que podemos tirar um fator de um oitavo do primeiro limite e um fator de
três oitavos do segundo limite.
Em seguida, notamos que os numeradores e os dois denominadores são quadrados, o que
nos permite escrever os nossos limites desta maneira. Agora podemos utilizar o facto de que o limite do quadrado de uma função é igual ao
quadrado do limite da função. Ao fazê-lo, ficamos com isto. E percebemos que os nossos limites parecem muito semelhantes aos que escrevemos no
início.
Substituindo 𝑎 é igual a sete na primeira regra de limite, vemos que o nosso
limite à esquerda deve ser igual a sete. E substituindo 𝑎 igual a três na segunda regra dos limites, vemos que o nosso
limite à direita deve ser igual a três. Obtemos um oitavo multiplicado por sete ao quadrado mais três oitavos multiplicado
por três ao quadrado. Simplificando isto, obtemos uma solução de 19 sobre dois.
Em seguida, examinaremos uma regra diferente, útil para determinar os limites das
funções trigonométricas de outra forma. A regra que utilizaremos é o limite quando 𝑥 tende para zero de um menos cos 𝑥
sobre 𝑥 é igual a zero. Agora, a prova desta regra está novamente fora do âmbito deste vídeo. No entanto, podemos pensar sobre esta regra intuitivamente considerando a aproximação
a ângulos pequenos de cos.
Temos que, para pequenos valores de 𝑥, cos de 𝑥 é aproximadamente igual a um menos
𝑥 ao quadrado sobre dois. Assim, quando 𝑥 tende para zero, cos de 𝑥 estará a aproximar-se de um menos 𝑥 ao
quadrado sobre dois. Obtemos que o limite quando 𝑥 tende para zero de um menos cos de 𝑥 sobre 𝑥 é
aproximadamente igual ao limite quando 𝑥 tende para zero de um menos um menos 𝑥 ao
quadrado sobre dois tudo sobre 𝑥, o que simplifica o limite quando 𝑥 tende para
zero de 𝑥 sobre dois. Utilizando a substituição direta, vemos que isto é igual a zero, o que concorda com a
regra que declaramos no início.
Outra maneira de ver isto intuitivamente é considerar o gráfico de um menos cos de 𝑥
sobre 𝑥. Podemos ver no gráfico que, à medida que o valor de 𝑥 tende para zero, a linha do
gráfico também tende para zero. Veríamos um resultado semelhante utilizando uma tabela de valores. Vamos agora considerar outro exemplo.
Determine o limite quando 𝑥 tende para zero de nove menos nove cos de sete 𝑥 sobre
três 𝑥.
Primeiro, percebemos que podemos anular um fator de três das partes superior e
inferior desta fração, deixando-nos com este limite. Em seguida, percebemos que podemos fatorizar três e retirá-lo do limite. Se tentarmos fazer substituição direta neste ponto, veremos que obtemos zero sobre
zero, o que não está definido.
Em vez disso, vamos utilizar o facto de que o limite quando 𝑥 tende para zero de um
menos cos de 𝑥 sobre 𝑥 é igual a zero. De facto, podemos adaptar esta fórmula para descobrir que o limite quando 𝑥 tende
para zero de um menos cos de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 é igual a zero, onde 𝑎 é apenas uma
constante. Podemos fazer isto substituindo 𝑎𝑥 por 𝑥 na primeira regra. Obtemos que o limite como 𝑎𝑥 vai a zero de um menos cos de 𝑎𝑥 sobre 𝑎𝑥 é igual
a zero.
Agora, como 𝑎 é uma constante e 𝑎𝑥 está a ir para zero, isso significa que 𝑥
também está a ir para zero. Em vez de escrever 𝑎𝑥 chega a zero, podemos simplesmente escrever 𝑥 vai para
zero. A seguir, notamos que temos um fator de 𝑎 no denominador desta fração. E assim podemos fatorizá-lo e removê-lo do limite.
Em seguida, podemos multiplicar os dois membros da equação por 𝑎. Como o segundo membro é zero, zero vezes 𝑎 dá-nos zero. Portanto, o segundo membro permanece zero. E agora descobrimos que o limite quando 𝑥 chega a zero de um menos cos de 𝑎𝑥 sobre
𝑥 é zero, que é o que estávamos a tentar mostrar. Ao substituir 𝑎 igual a sete nesta fórmula, podemos ver que o nosso limite aqui é
simplesmente zero. E como três multiplicado por zero é simplesmente zero, descobrimos que a solução aqui
é simplesmente zero.
A seguir, vejamos um exemplo um pouco mais complicado.
Determine o limite quando 𝑥 vai para 𝜋 sobre dois de dois menos dois sen de 𝑥
sobre quatro 𝑥 menos dois 𝜋.
Primeiro, tentamos resolvê-lo por substituição direta. No entanto, atingiremos zero sobre zero, o que não está definido. Portanto, devemos determinar este limite por outros meios. Vamos começar por anular um fator de dois no numerador e no denominador da
fração. Agora vamos considerar algumas das regras que conhecemos. Ao considerar a primeira regra aqui, notamos que o valor dentro do seno deve ser o
mesmo que o valor no denominador da função. No nosso limite, temos sen de 𝑥 no numerador. No entanto, no denominador, temos dois 𝑥 menos 𝜋. E estas duas coisas não são iguais. Portanto, não podemos utilizar esta primeira regra.
Para utilizar a segunda regra, precisamos de um cos 𝑥 no numerador. No entanto, no nosso limite, atualmente temos um seno. Aqui, utilizaremos uma identidade para mudar o seno para cosseno. Temos que o sen de 𝑥 é igual a cos de 𝑥 menos 𝜋 sobre dois. E podemos substituir isso no nosso limite. Fatorizando o denominador da fração aqui, podemos ver que isso agora é de uma forma
muito semelhante à regra que conhecemos.
Nesta fase, precisamos de realizar uma substituição. Substituiremos em 𝑢 é igual a 𝑥 menos 𝜋 sobre dois. No entanto, primeiro precisamos de considerar o que acontecerá ao nosso limite. Então, é 𝑥 a tender para 𝜋 sobre dois. Bem, consideraremos simplesmente o que acontece com o valor de 𝑢 quando 𝑥 tender
para 𝜋 sobre dois. O nosso valor de 𝑢 tende para 𝜋 sobre dois menos 𝜋 sobre dois, que é simplesmente
zero. E agora estamos prontos para substituir 𝑢 igual a 𝑥 menos 𝜋 sobre dois no nosso
limite. Obtemos o limite quando 𝑢 tende para zero de um menos cos de 𝑢 sobre dois 𝑢. Podemos remover um meio. E agora percebemos que o nosso limite é idêntico à nossa regra. E, portanto, deve ser igual a zero. E isso dá-nos uma solução de zero.
Neste último exemplo, vimos como devemos ter cuidado com os limites trigonométricos,
pois às vezes pode ser difícil identificar como resolvê-los. É muito importante manter em mente as identidades trigonométricas.
Agora, vamos recapitular alguns dos pontos principais deste vídeo. Pontos chave. O limite quando 𝑥 tende para zero do sen de 𝑥 sobre 𝑥 é igual a um. Isso dá-nos que o limite quando 𝑥 tende para zero do sen de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 é igual a
𝑎. E isso leva-nos ao limite quando 𝑥 tende para zero de tan de 𝑎𝑥 sobre 𝑥 é igual a
𝑎. Também temos que o limite quando 𝑥 tende para zero de um menos cos de 𝑥 sobre 𝑥 é
igual a zero, o que leva ao limite quando 𝑥 tende para zero de um menos cos de 𝑎𝑥
sobre 𝑥 também é igual a zero. E se não pudermos resolver um limite de uma função trigonométrica utilizando
substituição direta ou uma das regras acima, devemos tentar utilizar algumas
identidades trigonométricas, como as apresentadas aqui.
