Lesson Video: Deformação de Molas

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Dada uma mola, digamos, uma das molas que vemos aqui, é possível esticar a mola para aumentá-la ou comprimir para torná-la mais curta. Isso é conhecido como deformação da mola. Mas antes de falar sobre deformação, vamos considerar o que as molas fazem naturalmente quando não há força atuando sobre elas.

Digamos que temos esta mola bem aqui presa a uma parede. No momento, sem nada preso a sua extremidade livre, sem força empurrando ou puxando, a mola tem um comprimento que chamamos de comprimento natural da mola. Esse comprimento mede o comprimento de uma mola sem ser comprimida ou esticada. Este é o comprimento que a mola está sempre tentando voltar. Poderíamos chamá-lo de comprimento preferido da mola.

Então, temos esta mola no seu comprimento natural, mas depois dizemos que agarramos a extremidade livre dela e começamos a puxar. Como resultado dessa tração, a mola se estende a uma distância que podemos chamar de 𝑥. Ao aplicar uma força à mola, o que fizemos foi mudar sua forma. Nós deformamos a mola. Para manter a mola por esse comprimento, sabemos que teremos de continuar aplicando a mesma força, vamos chamá-la de 𝐹, até o final da mola. Se repentinamente deixássemos de aplicar essa força, a mola retornaria ao seu comprimento natural.

Mas vamos imaginar que, em vez de largar a mola, na verdade colocamos mais força nela. Dobramos a força. Se puxarmos duas vezes mais, dobraremos a extensão da mola. Adicionamos uma extensão de 𝑥 para que agora a extensão total combinada da mola de seu equilíbrio, ou comprimento natural, seja de dois 𝑥. E desde que nossa mola seja mecanicamente capaz de lidar com toda essa extensão, podemos aumentar a força e aumentar a extensão. A relação entre essas duas quantidades, a força que aplicamos a uma mola e o quanto ela se estende ou comprime em seu comprimento natural, é chamada lei de Hook.

A lei de Hook nos diz que a força que atua sobre uma mola é diretamente proporcional a extensão ou à compressão da mola 𝑥 a partir de seu comprimento natural. Estamos vendo evidências da lei de Hook à medida que dobramos nossa força e aumentamos o dobro em extensão de nossa mola. Agora, a maneira como escrevemos essa lei 𝐹 é diretamente proporcional a 𝑥 é uma maneira de dizê-la. Mas há outra maneira matematicamente equivalente de escrever isso. Também poderíamos dizer que a força que atua em uma mola é igual a uma constante de proporcionalidade, que chamaremos de 𝑘, multiplicada por 𝑥.

Vamos pensar por um momento sobre essa constante e o que ela faz fisicamente. Quando esticamos esta mola, quando a tornamos mais longa que seu comprimento natural, a mola resiste a esse estiramento. Se estivermos segurando o final livre da mola com a mão, sentiremos a mola puxando-a para trás. Essa constante de proporcionalidade 𝑘 é uma medida de quanto uma mola específica resiste a extensão ou à compressão. Por esse motivo, o nome que normalmente damos a 𝑘 é a constante da mola. As unidades desta constante de mola, as unidades de 𝑘, são newtons por metro. Ou seja, unidades de força divididas por unidades de distância.

A constante de mola de uma mola está essencialmente dizendo que se queremos esticar ou comprimir uma determinada mola a uma distância de um metro, eis a quantidade de força em newtons que precisamos aplicar para fazer isso. Algumas molas são muito rígidas e têm altas constantes de mola. É preciso muita força para esticá-las ou compactá-las a alguma distância. Outras molas têm constantes de mola muito baixas. Elas oferecem muito pouca resistência à deformação. Mas em todos os casos, independentemente da mola, a mola tem uma constante de mola, que resiste à deformação a partir de seu comprimento natural.

Agora, aqui está algo interessante sobre constante de mola. Digamos que trazemos nossa mola de volta ao seu comprimento natural, o comprimento que originalmente tinha. Partindo dessa posição de equilíbrio, digamos que esticamos nossa mola a uma distância de um metro. E vamos dizer ainda que a constante específica da mola com a qual estamos trabalhando é de 100 newtons por metro. Isso significa que, para esticar nossa mola a uma distância de um metro, precisamos aplicar 100 newtons de força a ela.

Então, digamos que esticamos nossa mola mais longe para que agora a mola fique assim. E digamos que a mola seja tão comprida que agora a estamos puxando com uma força de 400 newtons. Se marcássemos um metro adicional desse comprimento esticado de nossa mola e puxássemos a mola ainda mais para cobrir essa lacuna. Uma pergunta é: quanta força adicional é necessária para que nossa mola estenda esse metro em relação a esse metro original de extensão?

A constante de mola 𝑘 nos diz que é preciso tanta força adicional para esticar este metro quanto para esticar nosso metro original a partir do equilíbrio. Ou seja, agora estaremos puxando com uma força de 400 mais 100 ou 500 newtons, para obter na mola esse comprimento. Em outras palavras, não importa o quanto estiquemos ou comprimimos a mola, a constante da mola é realmente uma constante.

Nem sempre é esse o caso. Em raras ocasiões, encontraremos constantes de mola que mudam dependendo de quão longe a mola foi esticada ou comprimida. Mas, a menos que nos digam o contrário, é sempre seguro assumir que a constante da mola é realmente uma constante. Não importa a que distância a nossa mola seja deformada em relação ao seu comprimento de equilíbrio, a constante da mola nos fornecerá um valor definido para quanta força será necessária para mover a mola um metro a mais. Agora, que consideramos a constante de mola na equação da lei de Hook, há outros dois pontos sobre essa expressão que devemos mencionar.

O primeiro tem a ver com essa variável 𝑥. É importante perceber que 𝑥 é o deslocamento de uma mola do seu comprimento natural ou de equilíbrio, e não do comprimento natural em si. Por exemplo, considerando esta mola, o comprimento natural dessa mola seria essa distância. Aqui, podemos chamar isso de 𝐿. Mas digamos que colocamos uma massa no topo da mola, que a comprimiu de seu comprimento de equilíbrio. É a distância que chamaríamos de 𝑥 em vez do comprimento original 𝐿 da mola.

E enquanto pensamos sobre isso, isso faz sentido. Se uma mola já tiver seu comprimento natural, ela não experimentará nenhuma força para restaurá-la ao seu comprimento natural, pois já está lá. É apenas deformando a mola, esticando ou comprimindo, que trazemos uma força restauradora 𝐹. Então, isso é uma coisa a lembrar sobre essa equação.

A outra coisa a lembrar é que, às vezes, vemos um sinal de menos na frente do lado direito, na frente de 𝑘 vezes 𝑥. A razão para isso é que essa força 𝐹 é uma força restauradora. É uma força exercida pela mola para retornar ao seu comprimento natural ou de equilíbrio. Quando esticamos uma mola, como fizemos neste caso, a força que estamos exercendo na mola está na direção do deslocamento 𝑥. Mas a força exercida pela mola é oposta a essa direção. Nesse caso, a força exercida na mola está à direita. Mas a força que a mola exerce é para a esquerda.

Como a força em uma mola está na direção do deslocamento, enquanto a força de uma mola aponta para o lado oposto, a lei de Hook é escrita com um sinal de mais ou menos, dependendo de qual das duas forças iguais mas opostas estamos considerando. Então, quando vemos um sinal de menos na lei de Hook, isso significa que estamos falando da força da mola, que é o deslocamento oposto. Vamos agora colocar essas ideias em prática através de alguns exemplos.

Qual das seguintes fórmulas mostra corretamente a relação entre a força aplicada a uma mola, a mudança no comprimento da mola Δ𝑥 e a constante da mola, também conhecida como rigidez da mola, 𝑘? A) 𝐹 é igual a 𝑥 dividido por Δ𝑘. B) 𝐹 é igual a 𝑘 dividido por Δ𝑥. C) 𝐹 é igual a metade de 𝑘 vezes 𝑥 ao quadrado. D) 𝐹 é igual a 𝑘 vezes Δ𝑥. E) 𝐹 é igual a um dividido por 𝑘 vezes Δ𝑥.

Então, neste exercício, estamos procurando uma relação matemática que conecte corretamente três quantidades, a força aplicada a uma mola, a mudança no comprimento da mola Δ𝑥 e a constante da mola chamada 𝑘. Vamos começar anotando essas três variáveis. Vamos chamar a força 𝐹, a mudança no comprimento da mola é Δ𝑥 e, em seguida, a constante da mola é 𝑘.

Se considerarmos as unidades de cada um desses três termos, colocar esses colchetes ao redor do termo significa que estamos falando das unidades dessa variável. Então, podemos dizer que dentro do sistema SI, a unidade base da força é o newton, a unidade base de uma mudança de comprimento, ou comprimento para esse assunto, é o metro e as unidades da constante de mola 𝑘 são newtons por metro.

Examinando agora nossas cinco opções de resposta, vemos que, no lado esquerdo de cada uma, temos a força 𝐹 por si só. Em outras palavras, independentemente da opção de resposta escolhida, o lado esquerdo dessa opção terá unidades de newtons. Fisicamente, sabemos que, para que a equação seja verdadeira, qualquer que seja a equação, acabamos escolhendo as unidades do lado direito também deve ser igual a newtons. Somente as opções de resposta que atendem a esse critério podem estar corretas. Então, começando com a opção de resposta A, vamos ver o que as unidades no lado direito dessas expressões se resumem.

Para a opção A, temos 𝑥, uma distância, no numerador. Então, ele tem unidades de metros. E então, essa distância é dividida por uma constante de mola, que possui unidades de newtons por metro. Para limpar um pouco isso, podemos multiplicar as partes superior e inferior pelas unidades de metros, o que levará ao cancelamento desse termo em nosso denominador. E isso nos deixa com as unidades gerais de metros quadrados por newton. Isso não é igual às unidades básicas de força, newtons. Sabemos que a opção de resposta A não pode ser nossa escolha.

Passando para a opção B, aqui, temos uma constante de mola em unidades de newtons por metro dividido por uma mudança de comprimento com as unidades de metros. Se dividirmos o numerador e o denominador dessa expressão por metros, terminaremos com unidades finais de newtons por metro quadrado. Isso também não é uma correspondência para unidades de newtons. Portanto, a opção de resposta B também não é nossa escolha.

Então, chegamos à opção C. Aqui um meio não tem unidade; isso é apenas uma constante. Assim, multiplicamos as unidades da constante da mola 𝑘 newtons por metro pelas unidades de comprimento da mola, metros quadrados. Um newton multiplicado por um metro quadrado dividido por um metro fornece-nos unidades finais de metros newton. Mais uma vez, isso não é unidades de newtons. Portanto, a opção C também não está correta.

Passando para a opção D, aqui, temos uma constante de mola com as unidades de newtons por metro multiplicada por uma mudança no comprimento da mola com unidades de metros. Aqui, vemos que os metros no denominador e numerador são cancelados, deixando-nos simplesmente com unidades de newtons. Este é bom sinal. Isso significa que a opção D é candidata a correta relação entre força, constante da mola e comprimento da mola. Para ver se é a única candidata. Vamos seguir para a opção E e avaliá-la.

As unidades do lado direito da opção de resposta E são um sobre newton por metro multiplicado por metro. Mais uma vez, nossas unidades de metros são canceladas. Mas desta vez não terminamos com unidades de newtons, mas com unidades de um sobre newtons. Isso não corresponde às unidades do lado esquerdo da nossa expressão. Portanto, a opção de resposta E não é candidata. Isso nos diz que a opção D é a nossa escolha correta. A força é igual a 𝑘 vezes Δ𝑥. Esta é a única opção de resposta para a qual as unidades no lado esquerdo são iguais às unidades no lado direito.

Vamos ver agora um segundo exemplo que envolve a deformação da mola.

A mola mostrada no diagrama tem uma constante de 50 newtons por metro. Qual é a massa do objeto anexada a ele? Responda ao grama mais próximo.

Dando uma olhada em nosso diagrama, vemos no primeiro caso nossa mola não esticada, a mola sem massa ligada a ela. Esta mola tem um comprimento de equilíbrio de 15 centímetros. Mas então, quando unimos uma massa ao final de nossa mola e podemos chamá-la de massa 𝑚, vemos a mola se esticar e esse trecho é dado a uma distância de 2,5 centímetros. A partir desta informação, queremos calcular a massa do objeto preso à mola.

Quando começamos a fazer isso, é útil perceber que, uma vez que a massa é anexada à mola e a mola é esticada, esse sistema de mola em massa fica em equilíbrio. Isso significa que a força para cima na massa é igual à força para baixo dela. E para ver exatamente o que essas forças são, vamos esboçar um diagrama de corpo livre dessa massa. Como qualquer massa de objeto, essa massa está sujeita à força da gravidade. E sabemos que essa força é igual à massa do nosso objeto multiplicada pela aceleração devida à gravidade.

Agora, se essa fosse a única força vertical atuando em nossa massa, estaria acelerando para baixo. Mas não é a única força, há a força restauradora da mola que atua na massa também. E para saber qual é essa força, será útil lembrar a lei de Hook. Esta lei diz que a força restauradora fornecida por uma mola esticada ou comprimida é igual à constante da mola 𝑘 multiplicada pelo deslocamento da mola do equilíbrio.

Então, quando se trata da força ascendente em nossa massa, é igual à força fornecida pela mola. É igual aos tempos constantes da mola 𝑥, o deslocamento da mola de seu comprimento natural. E, como dissemos, essa massa é estacionária, pois fica no final da mola. Isso significa que essas duas forças são iguais em magnitude uma à outra. Em outras palavras, podemos escrever que 𝑘 vezes 𝑥 é igual a 𝑚 vezes 𝑔. Se isso não fosse verdade, se essas duas forças não fossem iguais em magnitude, a massa estaria se acelerando. Mas sabemos que não está. Então, 𝑘 vezes 𝑥 é igual a 𝑚 vezes 𝑔. E 𝑚 é a massa do nosso objeto que queremos calcular.

Para fazer isso, vamos dividir os dois lados da equação pela aceleração devido à gravidade 𝑔, fazendo com que esse termo seja cancelado à direita. E o que descobrimos é que a massa do objeto é igual a 𝑘 vezes 𝑥 dividido por 𝑔. Neste ponto, podemos lembrar que a aceleração devido à gravidade é de aproximadamente 9,8 metros por segundo ao quadrado. E então, observando o título do problema, vemos que a constante de mola 𝑘 da nossa mola é de 50 newtons por metro. A última coisa que queremos resolver e depois conectar à nossa equação é 𝑥.

E, neste ponto, precisamos ter um pouco de cuidado. Observe que em nosso diagrama, recebemos essa distância de 15 centímetros. Essa é a distância aqui, o comprimento da nossa mola não esticada. Mas 𝑥 na lei de Hook e o 𝑥 que estamos usando em nossa equação não é o comprimento natural de uma mola. Pelo contrário, é a extensão ou compressão dessa mola do equilíbrio. Em outras palavras, é o deslocamento da mola. E isso é dado como uma distância de 2,5 centímetros. Então, o 𝑥 em nossa equação é de 2,5 centímetros. 𝑘 é de 50 newtons por metro. E 𝑔 é 9,8 metros por segundo ao quadrado. Nesse ponto, com todos os nossos números conectados, estamos quase prontos para calcular a massa 𝑚.

Há duas coisas que devemos ter em mente. Primeiro, nosso deslocamento está em unidades de centímetros, enquanto as distâncias nos outros termos em nossa expressão estão em unidades de metros. Isso significa que os termos em nossa expressão não estão todos em pé de igualdade. E queremos garantir que eles estejam antes de combiná-los. Para fazer isso, vamos converter 2,5 centímetros para a mesma distância em metros. Como 100 centímetros é igual a um metro, isso indica que, se mudarmos a casa decimal duas casas para a esquerda nessa distância, obteremos a mesma distância em metros. São 0,025 metros. E agora, estamos prontos para multiplicar todos esses valores.

Quando o fazemos, obtemos essa resposta 0,12755 e assim por diante. Mas sabemos que queremos dar nossa resposta ao grama mais próximo. Como existem 1000 gramas em um quilograma, o que significa converter essa resposta em um número de gramas, queremos mudar a casa decimal três casas para a direita. Com isso, obtemos 127,55 três pontos gramas. E, finalmente, queremos arredondar essa resposta para o grama mais próximo. Isso significa que observamos esse valor à direita do ponto decimal e, como é igual ou superior a cinco, indica que, para arredondar essa resposta ao grama mais próximo, arredondaremos esse número por um. Em outras palavras, nossa resposta é 128 gramas. Essa é a massa do objeto anexado à mola ao grama mais próximo.

Vamos dedicar um momento para resumir o que aprendemos nesta aula. Primeiro, vimos que uma mola descomprimida e não esticada, como esta daqui, tem o que é chamado de comprimento natural ou de equilíbrio. Aprendemos que, quando uma mola é deformada, esticada ou comprimida, a mola exerce uma força restauradora para tentar retornar ao seu comprimento natural. Essa força de restauração 𝐹 é igual à chamada constante de mola 𝑘 multiplicada pelo deslocamento da mola do equilíbrio. Por exemplo, se essa mola fosse esticada nessa distância, essa distância além do ponto de equilíbrio seria 𝑥.

Além disso, vimos que a constante da mola 𝑘, que possui unidades de newtons por metro, indica a resistência de uma determinada mola a ser deformada. Quanto mais alto 𝑘, mais difícil é esticar ou comprimir uma mola. E, finalmente, vimos que, para uma determinada mola, 𝑘, a constante da mola pode ser assumida como um valor constante. Em outras palavras, não importa o quanto uma mola seja deformada, ela ainda exigirá a mesma quantidade de força para esticar ou comprimir a mola em um metro adicional.