Lesson Video: Introduzindo Progressões Geométricas

Video Transcript

Neste vídeo, vamos ver progressões geométricas e vamos ver como escrever uma fórmula geral para uma progressão geométrica específica. Então, vamos continuar e responder a algumas perguntas típicas. Então vamos começar com a definição. Uma sequência de números é chamada de progressão geométrica se cada termo é multiplicado pela mesma razão comum para obter o próximo termo. Por exemplo, temos uma sequência de números três, seis, doze, vinte e quatro e assim por diante. E neste caso, três é o nosso primeiro termo. E, em cada caso, para obter o próximo número na sequência, estamos simplesmente duplicando cada termo. Então a razão comum é dois. Para obter um termo, simplesmente multiplicamos o termo anterior por dois.

Em outro exemplo, a progressão dez, quinze, vinte e dois vírgula cinco, trinta e três vírgula sete cinco, e assim por diante, o primeiro termo na progressão é dez. E preciso multiplicar cada termo na sequência por um vírgula cinco para obter o próximo termo. Então minha razão comum é um vírgula cinco.

Outro exemplo seria a progressão sete, sete décimos, sete centésimos, sete milésimos e assim por diante. Agora, para esta progressão, meu primeiro termo será sete. E preciso multiplicar cada termo por um décimo para obter o próximo termo. Então minha razão comum é um décimo.

E outro exemplo seria a progressão trinta e dois, menos dezesseis, oito, menos quatro. E neste caso, o primeiro termo será trinta e dois. E preciso multiplicar cada termo por menos um meio para obter o próximo termo. Então minha razão comum seria menos um meio. Então minha razão comum então pode ser positiva, pode ser negativa, pode ser inteira, fração, decimal. Há todo tipo de possibilidades para isso.

Agora, dependendo de onde você mora, existem vários estilos diferentes de notação que são comumente usadas ​​para progressões geométricas. Por exemplo, algumas pessoas chamam o primeiro termo 𝑎 ou 𝑎 um ou 𝑢 um ou 𝑡 entre parênteses um ou 𝑡 um. Mas neste vídeo, vou usar a convenção 𝑎 um como o primeiro termo. E da mesma forma, existem maneiras diferentes pelas quais as pessoas expressam o 𝑛-ésimo termo. Pode ser 𝑎 𝑛; pode ser 𝑢 𝑛, 𝑡 𝑛 ou 𝑡 𝑛 escrito assim. Eu vou usar esse aqui neste vídeo. Mas, felizmente, a maioria das pessoas parece usar 𝑟 para representar a razão comum. Então, novamente, é isso que vou usar.

Então, vamos anotar os primeiros cinco termos de uma progressão geométrica com o primeiro termo, 𝑎 um é igual a doze, e uma razão comum, 𝑟 é igual a um terço. Bem nós dissemos que o primeiro termo é doze. Então vamos escrever isso; o primeiro termo é doze. Agora a razão comum é um terço; isso significa que eu tenho que multiplicar cada termo por um terço para obter o próximo termo. Então, para obter o segundo termo, preciso multiplicar doze por um terço. E um terço de doze é quatro.

E para obter o terceiro termo, preciso multiplicar o segundo termo por um terço. Então, isso é quatro vezes um terço, que é quatro sobre três, quatro terços. E para obter o quarto termo, preciso multiplicar isso por um terço. E quatro terços vezes um terço são quatro nonos. Então meu quarto termo é quatro nonos e depois vamos fazer isso mais uma vez. Quatro nonos vezes um terço são quatro vinte e sete avos. E esse processo continua para sempre. Essa progressão geométrica continua por quantas vezes você quiser anotar. Apenas repassando um pouco a notação, lembre-se de que a um, o primeiro termo, é doze, 𝑎 dois, o segundo termo, quatro, 𝑎 três, o terceiro termo, quatro terços, 𝑎 quatro, o quarto termo, é quatro nonos, 𝑎 cinco, o quinto termo, é quatro vinte e sete avos e assim por diante. Agora, para obter o segundo termo, tomamos o primeiro termo e o multiplicamos pela razão comum. E para obter o terceiro termo, tomamos o segundo termo e o multiplicamos pela razão comum. Então, 𝑎 três é 𝑎 dois vezes 𝑟. Mas lembre-se 𝑎 dois é 𝑎 um vezes 𝑟. Então eu posso substituir 𝑎 dois aqui com 𝑎 um vezes 𝑟. Então, 𝑎 dois é 𝑎 um vezes 𝑟. E então multiplicamos isso por 𝑟 para obter 𝑎 três. Agora, para obter 𝑎 quatro, tomamos 𝑎 três e multiplicamos isso pela razão comum. Então lembre-se 𝑎 três é 𝑎 um vezes 𝑟 vezes 𝑟. Então multiplicamos isso por 𝑟 para obter a quatro. E da mesma forma multiplicamos isso por 𝑟 novamente para obter o próximo termo. Então, 𝑎 cinco é 𝑎 um vezes 𝑟 vezes 𝑟 vezes 𝑟 vezes 𝑟. Agora podemos escrever isso no formato de potência. Então, em vez de escrever 𝑟 vezes 𝑟 vezes 𝑟 vezes 𝑟, podemos escrever 𝑟 elevado a quatro. Então, 𝑎 um é apenas doze ou 𝑎 um, 𝑎 dois é 𝑎 um vezes 𝑟 elevado a um, 𝑎 três é 𝑎 um vezes 𝑟 elevado a dois, 𝑎 quatro é 𝑎 um vezes 𝑟 elevado a três, e assim por diante.

Então, vou completar essa progressão dizendo: 𝑎 um é apenas 𝑎 um vezes um. Mas em vez de apenas escrever um, direi 𝑟 elevado a zero. Lembre-se que qualquer coisa elevado a zero é um. Então agora temos um padrão. O primeiro termo é apenas o primeiro termo vezes 𝑟 elevado a zero, o segundo termo é o primeiro termo vezes 𝑟 elevado a um, o terceiro termo é o primeiro termo vezes 𝑟 elevado a dois, o quarto termo é o primeiro termo vezes 𝑟 elevado a três, e o quinto termo é o primeiro termo vezes 𝑟 elevado a quatro. Portanto, o expoente de 𝑟 é um a menos que a posição do termo na progressão. Então, se eu disser 𝑛 é a posição na progressão, o 𝑛-ésimo termo 𝑎 𝑛 é simplesmente o primeiro termo vezes 𝑟 a potência de um a menos que 𝑛. Então, isso é 𝑎 𝑛 igual a 𝑎 um vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um, um a menos que 𝑛.

Então agora temos uma pequena fórmula que nos diz qualquer termo na progressão. Então não precisamos mais multiplicar por um terço. Podemos ir direto para esse termo na progressão. Então, vamos ver um exemplo disso. Então, vamos usar a fórmula geral para encontrar o valor do sétimo termo nesta progressão específica. Bem, se o termo geral 𝑎 𝑛 é igual a 𝑎 um vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um. Esse é o primeiro termo que a razão comum - vezes a razão comum elevado a 𝑛 menos um. Bem, nosso primeiro termo era doze; nos disseram na pergunta. Então, 𝑎 um é doze. E a nossa razão comum era um terço. Portanto, nossa fórmula geral para essa progressão específica é 𝑎 para o 𝑛 é igual a doze vezes um terço à potência de 𝑛 menos um. Então, para encontrar o sétimo termo, nós substituímos 𝑛 é igual a sete. E 𝑎 sete, o sétimo termo, será doze vezes um terço elevado a sete menos um. Bem, sete menos um é seis. Portanto, o sétimo termo será doze vezes um terço elevado a seis. E um terço elevado a seis é um sobre setecentos e vinte e nove. Então, será doze sobre um sobre setecentos e vinte e nove, que são quatro sobre duzentos e quarenta e três.

Vamos dar uma olhada em outra pergunta. Anote o primeiro termo e a razão comum para a seguinte progressão geométrica: dez, menos cinco, cinco sobre dois, menos cinco sobre quatro e assim por diante. Bem, claramente, o primeiro termo é igual a dez. Então, 𝑎 um é igual a dez; essa parte foi bem fácil. E a razão comum é o que devemos multiplicar cada termo para obter o próximo termo. Então, vou rotular todos os meus termos: 𝑎 um, 𝑎 dois, 𝑎 três, 𝑎 quatro e assim por diante. E então eu vou escrever uma pequena fórmula para como chegar de um período para o próximo. Bem, se eu multiplicar o primeiro termo pela razão comum, 𝑟, recebo o segundo termo. Se eu multiplicar o segundo termo pela razão comum, 𝑟, recebo o terceiro termo. Se eu multiplicar o terceiro termo pela razão comum, 𝑟, recebo o quarto termo, e assim por diante. Então, olhando para essa primeira equação, se eu dividir ambos os lados da equação por 𝑎 um, eu tenho que 𝑟 é igual a 𝑎 dois sobre 𝑎 um. Agora, se eu dividir ambos os lados da segunda equação por 𝑎 dois, eu tenho que 𝑟 é igual a 𝑎 três sobre 𝑎 dois e semelhante para a terceira equação. Então, para calcular o valor de 𝑟, apenas tomo o valor de um termo e o divido pelo valor do termo anterior.

Agora lembre-se em uma progressão geométrica, temos uma razão comum. Então não importa se eu pego o segundo e o primeiro termos ou o terceiro e o segundo ou o quarto e o terceiro. Contanto que eu pegue dois termos consecutivos, sempre encontrarei a mesma resposta para 𝑟. Bem, olhando para esses números aqui, o par mais fácil de usar será 𝑎 um e 𝑎 dois. Então, 𝑟 é igual a 𝑎 dois dividido por 𝑎 um. 𝑎 dois é menos cinco e 𝑎 um é dez. Assim, a razão comum é menos cinco dividido por dez e isso simplifica para menos um meio. Então, para ir de cada termo para o próximo termo, tenho que multiplicar por menos um meio. Dez vezes menos um meio é menos cinco, menos cinco vezes menos um meio é cinco sobre dois, e assim por diante. Então, esses dois fatos aqui 𝑎 um é igual a dez e 𝑟 é igual a menos um meio define essa progressão. Quando sabemos disso, podemos gerar todos os termos da progressão, se estivermos preparados para gastar tempo suficiente e multiplicar o suficiente.

Ok, vamos ver algumas progressões e tentar descobrir se elas são ou não geométricas. Bem, na verdade, essa pergunta diz que se a seguinte progressão é aritmética ou geométrica? Agora, se você se lembra, uma progressão aritmética é aquela em que cada termo tem uma diferença comum a fim de gerar o próximo termo. Então, para responder a essa pergunta, precisamos apenas ver o que adicionamos para passar de um termo para outro e ver se isso é constante e o que multiplicamos para passar de um termo para outro e ver se isso é constante. Então, neste conjunto específico de números, se eu adicionar um a cada vez, gerarei essa progressão. Mas para multiplicar um termo para obter o próximo termo, a razão continua mudando; não é uma razão comum. Então, o fato de termos uma diferença comum significa que esta é uma progressão aritmética.

Vamos tentar este então. A seguinte progressão é aritmética ou geométrica? Onze, trinta e três, noventa e nove, duzentos e noventa e sete e assim por diante. Bem, se estivéssemos adicionando, teríamos que adicionar números diferentes a cada vez para obter o próximo número na sequência. Mas se multiplicarmos cada termo por três, geramos o próximo termo. Então nós temos uma razão comum de três. Então o fato de termos uma razão comum em vez de uma diferença comum nos diz que temos uma progressão geométrica.

Agora este aqui, a seguinte progressão é aritmética ou geométrica? Um, dois, quatro, sete, onze e assim por diante. Bem, eu tenho que adicionar um número diferente a cada vez para gerar o próximo termo. Então não é uma progressão aritmética. E eu preciso dobrar o primeiro para obter o segundo e dobrar o segundo para obter o terceiro. Mas depois disso eu não estou dobrando, estou tenho que multiplicar por números diferentes. Portanto, esta não é uma diferença comum e não é uma razão comum. Então não é nem aritmética nem geométrica. Então, uma sequência interessante, mas não é aritmética ou geométrica.

Ok um último destes então. A seguinte progressão é aritmética ou geométrica? Cinco vírgula dois, cinco vírgula dois, cinco vírgula dois, cinco vírgula dois, e assim por diante. O que você acha? É aritmética ou é geométrica? O que devo adicionar para passar de um termo para outro? Bem, não é nada em cada caso. Estou adicionando zero. Então eu tenho uma diferença comum de zero. Bem, isso é um pouco estranho. Mas essa é uma progressão aritmética. E o que eu tenho para multiplicar cada termo para obter o próximo termo? Bem, em cada caso, estou apenas multiplicando por um. Então, novamente, é uma progressão estranha. Mas é uma progressão geométrica porque temos uma razão comum de um. Então é um exemplo bem estranho que eu vou te conceder. Mas é tanto aritmética quanto geométrica se seguirmos essas regras estritas: a diferença comum é zero e a razão comum é um.

Agora vamos analisar outra questão. Encontre os próximos três termos na progressão geométrica: cem, menos dez, um, menos zero vírgula um, zero vírgula zero um, e assim por diante. Então, temos os cinco primeiros termos: 𝑎 um, 𝑎 dois, 𝑎 três, 𝑎 quatro e 𝑎 cinco. A primeira coisa que preciso fazer é descobrir qual é a razão comum. Pelo que eu preciso multiplicar 𝑎 um para obter 𝑎 dois e assim por diante? E se você se lembra da maneira como fazemos isso, dividimos um termo pelo termo anterior para descobrir qual é a razão. E olhando por aí, eu acho que o segundo e terceiro termos serão os mais fáceis de dividir. E, embora você receba a mesma resposta, não importa qual par consecutivo tenha dividido, essa é fácil, porque é um dividido por menos dez, que é menos um décimo. Então a razão comum é menos um décimo. Precisamos multiplicar cada termo por menos um décimo para obter o próximo termo. Então, para encontrar os próximos três termos, eu só preciso pegar o último termo que tivemos e multiplicar isso por menos um décimo, então multiplicar por menos um décimo e multiplicar por menos um décimo. Portanto, o sexto termo é o quinto termo vezes menos um décimo; isto é, zero vírgula zero um vezes menos um décimo, que é menos zero vírgula zero um. Então, multiplicar por menos um décimo é o mesmo porque está se dividindo por menos dez. Então, é relativamente fácil de fazer. Então, o sexto termo vezes menos um décimo, os dois negativos vão cancelar para torná-lo positivo. E o vírgula zero zero um dividido por dez é vírgula zero zero zero um. E fazendo o mesmo, o oitavo termo é zero vírgula zero zero zero zero um. Então, precisamos apenas escrever nossa resposta de forma clara e agradável.

Agora falamos um pouco sobre encontrar uma fórmula para um termo geral. Então, aqui está uma pergunta. Então vamos dar uma olhada nisso. Encontre uma fórmula para o termo geral da progressão geométrica três, quinze, setenta e cinco, trezentos e setenta e cinco, mil oitocentos e setenta e cinco. Bem, nosso primeiro termo é três. Então, essa parte é fácil e eu tenho que descobrir qual é a razão comum. Lembre-se, vamos fazer uma divisão de um termo dividido pelo seu termo anterior. E os números mais fáceis de trabalhar aqui, acho que serão esses dois: 𝑎 um é três e 𝑎 dois é quinze. Portanto, a razão comum é 𝑎 dois dividido por 𝑎 um que é quinze sobre três, que é cinco. Agora lembre-se que nos foi dito na pergunta que esta é uma progressão geométrica. Por isso, não importava qual par de termos — termos consecutivos — escolhíamos; nós teríamos a mesma resposta 𝑟 é igual a cinco. Mas apenas escolhendo estes dois primeiros termos, os números eram mais simples.

Então, sabemos que 𝑎 um, o primeiro termo, é três e a razão comum é cinco. Então podemos colocar isso na nossa fórmula. E lembre-se de calcular o valor de qualquer termo específico na progressão. O que nós fazemos é pegar o primeiro termo e vamos continuar multiplicando pela razão comum. Agora, o que temos que fazer se estivermos procurando pelo quinto termo, temos que multiplicar esse primeiro termo pela razão comum quatro vezes para conseguir isso. Então, qualquer que seja o termo que procuremos, é a razão comum elevado a esse termo menos um. E acabamos de descobrir que 𝑎 um era três e 𝑟 é cinco. Então, para calcular o valor do termo 𝑛 nessa progressão específica, será três vezes cinco elevado a qualquer termo que seja menos um, 𝑛 menos um.

Então, vamos dar um passo adiante agora. E temos que encontrar uma fórmula para o termo geral da progressão geométrica menos cinco um dois, um dois oito, menos trinta e dois, oito, menos dois e assim por diante. E nós vamos usar essa fórmula para encontrar o valor do décimo segundo termo da progressão ou podemos apenas ler o primeiro termo lá, menos quinhentos e doze. E agora temos que calcular a razão comum. Então, é qualquer par de termos consecutivos: um dividido pelo outro, o segundo dividido pelo primeiro. Então, eu irei escolher 𝑎 quatro e 𝑎 cinco neste caso, porque eles parecem os números mais fáceis de se trabalhar. Portanto, 𝑎 cinco é menos dois e 𝑎 quatro é oito. Portanto, a razão comum será menos dois sobre oito, que é menos um quarto. Então agora eu tenho essas duas partes importantes de informação. É muito fácil calcular a fórmula geral. Então, lembrando que 𝑎 𝑛 é igual a 𝑎 um vezes 𝑟 elevado a 𝑛 menos um, vamos substituir os valores 𝑛 por 𝑎, 𝑎 um e 𝑟. Portanto, minha fórmula geral é 𝑎 𝑛, o 𝑛-enésimo termo, é igual a menos quinhentos e doze vezes menos um quarto elevado a menos um. Então, estou tentando encontrar agora o décimo segundo termo. Então, 𝑛 é igual a doze, o que significa que o décimo segundo termo, 𝑎 doze, é igual a menos quinhentos e doze vezes menos um quarto elevado a doze menos um. Bem, doze menos um é onze. E quando eu calculo tudo isso, eu tenho 𝑎 doze é igual a um sobre oito mil cento e noventa e dois.

Então, vamos resumir rapidamente o que vimos. A progressão geométrica é quando você multiplica cada termo por uma razão comum para obter o próximo termo. Por exemplo, três, seis, doze, vinte e quatro, eu dobro cada termo para ter o próximo termo. E neste caso, a razão comum é dois e o primeiro termo era três. Para calcular a razão comum que chamamos de 𝑟, basta pegar um termo e dividi-lo pelo termo anterior. Em geral, o 𝑛-ésimo termo é simplesmente o primeiro termo multiplicado por 𝑟 e menos uma vez. Assim, no caso do nosso exemplo, o nosso 𝑛-ésimo termo será três vezes dois elevado a 𝑛 menos um.