Vídeo: Aplicações do Teorema de De Moivre às Identidades Trigonométricas

Neste vídeo, aprenderemos como aplicar o teorema de De Moivre para descobrir identidades trigonométricas.

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Transcrição do vídeo

Nesta aula, aprenderemos como usar o teorema de De Moivre para provar as identidades trigonométricas. Há uma boa chance de você ter usado algumas dessas identidades por um período de tempo significativo sem realmente perceber de onde elas vêm. E esta aula lhe dará algumas dicas sobre isso. Começaremos recapitulando como aplicar o teorema de De Moivre e o teorema binomial para distribuir parênteses antes de derivar várias identidades e analisar como usá-las para resolver equações que envolvam funções trigonométricas.

Lembre-se que o teorema de De Moivre diz que para valores inteiros de 𝑛, um número complexo escrito na forma polar 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 elevado a potência de 𝑛 é igual a 𝑟 à potência de 𝑛 vezes cos 𝑛𝜃 mais 𝑖 sen 𝑛𝜃. Da mesma forma, o teorema binomial nos mostra como calcular 𝑎 mais 𝑏 tudo elevado a 𝑛. Você também pode conhecer a série binomial como a expansão de um mais 𝑥 elevado a 𝑛 embora não seja possível aplicar esse método durante esse vídeo. Vamos ver como podemos usar esses dois conceitos para derivar a fórmula de vários ângulos.

1) Use o teorema de De Moivre para expressar o sen de cinco 𝜃 em termos de potências de sen de 𝜃. 2) Considerando as soluções do sen de cinco 𝜃 igual a zero, encontre uma representação exata para o quadrado do sen de 𝜋 sobre cinco.

Para responder à parte 1) desta questão, usaremos o inverso do teorema de De Moivre para calcular cos de cinco 𝜃 mais 𝑖 sen de cinco 𝜃. De acordo com o teorema de De Moivre, isso é igual a cos de 𝜃 mais 𝑖 sen de 𝜃 todos elevado a cinco. Então, vamos usar o teorema binomial para distribuir esses parênteses. Vamos comparar cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 elevado a cinco para o teorema binomial. Vemos que 𝑎 é igual a cos 𝜃, 𝑏 é igual a 𝑖 sen 𝜃, e 𝑛 é igual a cinco.

O primeiro termo na expansão de cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 elevado a cinco é, portanto, cos 𝜃 elevado a cinco. O segundo termo é combinação de cinco um a um vezes cos 𝜃 elevado a quatro vezes 𝑖 sen 𝜃. O terceiro termo é combinação de cinco dois a dois cos ao cubo 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 ao quadrado. E podemos calcular os termos restantes conforme mostrado. Então, lembramos que combinação de cinco um a um é cinco, combinação de cinco dois a dois é 10, combinação de cinco três a três é 10 novamente e combinação de cinco quatro a quatro também é cinco. Nós também sabemos que 𝑖 ao quadrado será menos um, 𝑖 ao cubo será menos 𝑖, 𝑖 elevado a quatro será um, e 𝑖 elevado a cinco será 𝑖. E nossas expressões simplificam como mostrado.

E desde que inicialmente dissemos que cos de cinco 𝜃 mais 𝑖 sen de cinco 𝜃 era igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 à potência de cinco, podemos equacionar essa expressão inteira para cos de cinco 𝜃 mais 𝑖 sen de cinco 𝜃. Agora, lembre-se de que estamos tentando encontrar uma expressão para o sen de cinco 𝜃. Então, vamos equacionar as partes imaginárias em cada lado da nossa equação. No lado esquerdo, isso é simplesmente sen de cinco 𝜃. E à direita, é cinco cos 𝜃 elevado a quatro vezes sen 𝜃 menos 10 cos ao quadrado 𝜃 sen ao cubo 𝜃 mais sen 𝜃 elevado a cinco.

Vamos precisar limpar um pouco de espaço aqui. E neste estágio, vamos nos lembrar do fato de que o sen ao quadrado 𝜃 mais cos ao quadrado 𝜃 é sempre igual a um. Reorganizando isto, vemos que cos ao quadrado 𝜃 é igual a um menos sen ao quadrado 𝜃. E nós fizemos isso porque nos permitirá substituir cos ao quadrado 𝜃 e cos 𝜃 elevado a quatro em nossa expressão, porque estamos tentando escrevê-lo em termos de potências de seno.

E quando o fazemos, vemos que o sen de cinco 𝜃 é igual a cinco vezes um menos sen ao quadrado 𝜃 ao quadrado vezes sen 𝜃 menos 10 vezes um menos sen ao quadrado 𝜃 sen ao cubo 𝜃 mais sen 𝜃 elevado a cinco. E distribuindo estes parênteses e simplificando, vemos que sen de cinco 𝜃 é igual a 16 sen de 𝜃 à potência de cinco menos 20 sen ao cubo 𝜃 mais cinco sen 𝜃.

Agora que temos sen de cinco 𝜃, expresso em termos de potências de sen 𝜃, podemos responder à parte 2 desta questão. Precisamos considerar as soluções de sen de cinco 𝜃 igual a zero. Sabemos que sen 𝜃 é igual a zero tem soluções inteiras em múltiplos de 𝜋. Portanto, isso deve significar que sen de cinco 𝜃 igual a zero tem soluções quando 𝜃 é igual a 𝑛𝜋 sobre cinco ou inteiros múltiplos de 𝜋 sobre cinco. Agora, comparando isso com a nossa equação na parte um, vemos que 16 sen 𝜃 elevado a cinco menos 20 sen ao cubo 𝜃 mais cinco sen 𝜃 igual a zero também deve ter soluções quando 𝜃 é igual a 𝑛𝜋 sobre cinco.

Vamos fazer alguma manipulação para a expressão no lado esquerdo da nossa equação, lembrando que nosso objetivo é encontrar o valor exato de sen ao quadrado de 𝜋 sobre cinco. Nós vamos começar fatorando sen 𝜃. E vemos que sen 𝜃 vezes 16 sen 𝜃 à potência de quatro menos 20 sen ao quadrado 𝜃 mais cinco deve ser igual a zero. E vamos supor que nosso valor para 𝜃 é 𝜋 sobre cinco. Em outras palavras, 𝑛 é igual a um. Sen de 𝜋 sobre cinco não é igual a zero. Portanto, para que o produto desses dois parênteses seja igual a zero, isso deve significar que 16 sen 𝜋 sobre cinco elevado a quatro menos 20 sen ao quadrado 𝜋 sobre cinco mais cinco é igual a zero. E note que isso parece um pouco com uma equação quadrática. Vamos definir 𝑥 como sen ao quadrado 𝜋 sobre cinco.

E nossa equação quadrática agora é 16𝑥 ao quadrado menos 20𝑥 mais cinco é igual a zero. E podemos resolver essa equação usando qualquer método que desejamos para resolver a equação quadrática, como completar o quadrado ou a fórmula de Bhaskara. E quando o fazemos, vemos que 𝑥 é igual a cinco mais ou menos raiz de cinco tudo dividido por oito. E, claro, dissemos que 𝑥 é igual a sen quadrado de 𝜋 sobre cinco. Portanto, nossas soluções para sen ao quadrado de 𝜋 sobre cinco são cinco mais ou menos raiz de cinco sobre oito. Agora, na verdade, se verificarmos isso na nossa calculadora, veremos que sen ao quadrado de 𝜋 sobre cinco é cinco menos a raiz de cinco dividido por oito. E nós respondemos à pergunta 2). A representação exata de sen ao quadrado de 𝜋 sobre cinco é cinco menos a raiz de cinco sobre oito.

Acabamos de ver como usar o teorema de De Moivre para calcular o sen de múltiplos de 𝜃. Mas também podemos usar o teorema para derivar identidades para sen 𝜃 elevado a 𝑛 e cos 𝜃 elevado a 𝑛. Digamos que temos um número complexo 𝑧 que é simplesmente cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃. Sabemos que o inverso de 𝑧 é 𝑧 elevado a menos um. E podemos usar o teorema de De Moivre para calcular isso. É cos de menos 𝜃 mais 𝑖 sen de menos 𝜃.

Agora, lembre-se que cosseno é uma função par. Então cos de menos 𝜃 é simplesmente o mesmo que cos de 𝜃. Seno, no entanto, é uma função ímpar. Então o sen de menos 𝜃 é o mesmo que menos sen de 𝜃. E podemos ver que o inevrso de 𝑧 pode ser escrito como cos 𝜃 menos 𝑖 sen 𝜃. Então, por que isso é útil? Bem, isso nos permite calcular 𝑧 mais o inverso de 𝑧. 𝑧 mais o inverso de 𝑧 é simplesmente dois cos 𝜃. Da mesma forma, nos permite calcular sua diferença. 𝑧 menos o inverso de 𝑧 é dois 𝑖 sen 𝜃. E nós podemos realmente generalizar isso para potências superiores de 𝑧.

Usando o teorema de De Moivre e aplicando as identidades par e ímpar para seno e cosseno, obtemos essas duas equações. Rearranjando estas dividindo a primeira equação por dois e a segunda por dois 𝑖 para um número complexo 𝑧 na forma exponencial, vemos que cos de 𝑛𝜃 é igual a um meio 𝑒 elevado a 𝑖𝑛𝜃 mais 𝑒 elevado a menos 𝑖𝑛𝜃. E sen 𝑛𝜃 é igual a um sobre dois 𝑖 multiplicado por 𝑒 elevado a 𝑖𝑛𝜃 mais 𝑒 elevado a menos 𝑖𝑛𝜃. Essas fórmulas são incrivelmente poderosas para derivar várias identidades trigonométricas. E elas devem estar gravadas na memória para fácil recuperação. Vamos dar uma olhada em alguns exemplos de onde isso pode ser útil.

Usando o teorema de De Moivre, encontre o valor exato da integral de sen 𝜃 elevado a sete em relação a 𝜃 entre os limites 𝜋 sobre dois e zero.

Começaremos expressando o sen 𝜃 elevado a sete em termos de múltiplos ângulos, já que esses são bastante simples de integrar. Também usaremos o fato de que 𝑧 menos o inverso de 𝑧 é igual a dois 𝑖 sen 𝜃. E já que estamos interessados ​​em sen 𝜃 elevado a sete, elevaremos toda essa equação a sete. É 𝑧 menos um sobre 𝑧 tudo elevado a sete e isso equivale a dois 𝑖 sen 𝜃 elevado a sete.

Dois elevado a sete é 128 e 𝑖 elevado a sete é menos 𝑖. Nós dividimos ambos os lados desta equação por menos 128𝑖. Vamos calcular um sobre 128𝑖 multiplicando o numerador e o denominador por 𝑖. Quando o fazemos, temos menos 𝑖 sobre 128𝑖 ao quadrado. Mas como 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, isso simplifica para 𝑖 sobre 128.

Nosso próximo passo é aplicar o teorema binomial para 𝑧 menos um sobre 𝑧 tudo elevado a sete. Quando usamos o teorema binomial, vemos que o sen 𝜃 elevado a sete é como mostrado. Lembramos então que 𝑧 elevado a 𝑛 menos um sobre 𝑧 elevado a 𝑛 é dois 𝑖 sen 𝑛𝜃. E podemos ver que podemos escrever essa expressão em termos de múltiplos ângulos, agrupando potências de 𝑧.

Isto significa que sen 𝜃 elevado a sete é igual a 𝑖 sobre 28 [128] vezes dois 𝑖 sen de sete 𝜃 menos sete vezes dois 𝑖 sen de cinco 𝜃 mais 21 vezes dois 𝑖 sen de três 𝜃 menos 35 vezes dois 𝑖 sen 𝜃. E então simplificando totalmente, vemos que isso é igual a um sobre 64 vezes 35 sen 𝜃 menos 21 sen de três 𝜃 mais sete sen de cinco 𝜃 menos sen de sete 𝜃.

Vamos limpar algum espaço e substituir sen 𝜃 elevado a sete em nossa integral com esta expressão. Lembramos então o fato de que a integral de sen 𝑛𝜃 em relação a 𝜃 é menos um sobre 𝑛 vezes cos 𝑛𝜃 mais obviamente a constante de integração. E isso significa que nossa integral é menos 35 cos 𝜃 mais sete cos de três 𝜃 menos sete quintos vezes cos de cinco 𝜃 mais um sétimo de cos de sete 𝜃. E como calcularemos isso entre os limites de 𝜋 sobre dois e zero, não precisamos da constante de integração. Isso se torna um sessenta e quatro avos vezes 35 menos sete mais sete quintos menos um sétimo que é dezesseis trinta e cinco avos.

Observe como esse processo realmente tornou o que era uma parte complicada muito simples de calcular. E esse processo não se limita a apenas potências de seno ou cosseno. Também podemos usá-lo para encontrar expressões para os produtos de potências dessas funções. Mas eles também trabalham com a função tangente. Lembrando o fato de que tg 𝜃 é igual a sen 𝜃 dividido por cos 𝜃, podemos expressar tg de algum múltiplo inteiro de 𝜃 em termos de potências de tg. Vamos ver o que isso parece.

Expresso tg de seis 𝜃 em termos de potências de tg 𝜃.

Começamos recordando o fato de que tg 𝜃 é igual a sen 𝜃 dividido por cos 𝜃. E isto, por sua vez, significa que tg de seis 𝜃 é igual a sen de seis 𝜃 dividido por cos de seis 𝜃. Então, vamos calcular sen de seis 𝜃 e cos de seis 𝜃 em termos de potências de seno e cosseno. O teorema de De Moivre diz que cos de seis 𝜃 mais 𝑖 sen de seis 𝜃 é igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 tudo à potência de seis. Distribuímos este parêntese usando o teorema binomial e simplificamos calculando as potências de 𝑖. E vemos que cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 elevado a seis é como mostrado. E é claro, dissemos que cos de seis 𝜃 mais 𝑖 sen de seis 𝜃 é igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃 à potência de seis. Então podemos equacionar esta expansão para cos de seis 𝜃 mais 𝑖 sen de seis 𝜃.

E agora vemos que podemos equacionar as partes real e imaginária da equação. A parte real do lado esquerdo é cos de seis 𝜃. No lado direito, temos cos 𝜃 elevado a seis, menos 15 cos 𝜃 elevado a quatro sen ao quadrado 𝜃, 15 cos ao quadrado 𝜃 vezes sen 𝜃 elevado a quatro e menos sen 𝜃 elevado a seis. E então, igualando as partes imaginárias, do lado esquerdo, temos sen de seis 𝜃. No lado direito, temos seis cos 𝜃 elevado a cinco vezes sen 𝜃, menos 20 cos ao cubo 𝜃 sen ao cubo 𝜃, e seis cos 𝜃 vezes sen 𝜃 elevado a cinco.

E agora estamos prontos para calcular tg de seis 𝜃. É seis cos 𝜃 elevado a cinco vezes sen 𝜃 menos 20 cos ao cubo 𝜃 sen ao cubo 𝜃 mais seis cos 𝜃 vezes sen 𝜃 elevado a cinco tudo sobre cos 𝜃 elevado a seis menos 15 cos 𝜃 elevado a quatro vezes sen ao quadrado 𝜃 mais 15 cos ao quadrado 𝜃 sen 𝜃 elevado a quatro menos sen 𝜃 elevado a seis. Para expressar isso em termos da tg, vamos dividir tudo por cos 𝜃 elevado a seis.

No numerador, seis cos 𝜃 elevado a cinco vezes sen 𝜃 dividido por cos 𝜃 elevado a seis é simplesmente seis tg 𝜃. Temos menos 20 tg ao cubo 𝜃 e seis vezes tg 𝜃 elevado a cinco. No denominador, temos um menos 15 tg ao quadrado 𝜃 mais 15 tg 𝜃 elevado a quatro menos tg 𝜃 elevado a seis. E nós expressamos com sucesso tg de seis 𝜃 em termos de potências de tg 𝜃.

Neste vídeo, vimos que podemos usar o teorema de De Moivre e o teorema binomial para derivar fórmulas de múltiplos ângulos para diferentes funções de seno, cosseno e tangente. Também vimos que, para um número complexo 𝑧 igual a cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, 𝑧 mais o inverso de 𝑧 é dois cos 𝜃 e 𝑧 menos o inverso de 𝑧 é dois 𝑖 sen 𝜃. E também estendemos essa ideia para 𝑧 elevado a 𝑛.

Usamos essas equações para encontrar expressões para as potências de seno e cosseno. E nós dissemos que podemos até encontrá-las para seus produtos. Nós já vimos que podemos usar essas técnicas para derivar identidades trigonométricas para simplificar integrais mais complicadas.

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