Question Video: Encontrando Todos os Valores Desconhecidos em um Triângulo Retângulo

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Dada a figura a seguir, encontre os comprimentos 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 e a medida do ângulo 𝐴𝐵𝐶 em graus. Dê suas respostas para duas casas decimais.

Para responder a essa questão, precisamos considerar as razões trigonométricas do seno, cosseno e tangente. Sen 𝜃 é igual ao cateto oposto dividido pela hipotenusa. Cos 𝜃 é igual ao cateto adjacente dividido pela hipotenusa. E tan 𝜃 é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Nomeando os três lados do triângulo retângulo nos diz que 𝐵𝐶 é a hipotenusa, o lado mais longo, 𝐴𝐵 é o cateto oposto, pois é oposto ao ângulo de 21 graus, e 𝐴𝐶 é o cateto adjacente, como é próximo ou adjacente ao ângulo de 90 graus e 21 graus.

A primeira parte de nossa pergunta é descobrir o comprimento de 𝐴𝐶, rotulado 𝑥 no diagrama. 𝐴𝐶 é o cateto adjacente. E 𝐴𝐵 é o cateto oposto. Portanto, vamos usar a razão da tangente. Substituindo estes valores dá tan de 21 é igual a três dividido por 𝑥. Multiplicando ambos os lados da equação por 𝑥 e, em seguida, dividindo ambos os lados por tan de 21 dá 𝑥 é igual a três dividido por tan de 21. Digitando isso na calculadora, dá uma resposta para 𝑥 de 7.82, com duas casas decimais. Isso significa que o comprimento 𝐴𝐶 é igual a 7.82.

A segunda parte da nossa pergunta é calcular o comprimento de 𝐵𝐶. Como sabemos agora, 𝐴𝐶 é 7.82 e 𝐴𝐵 é três, poderíamos usar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento de 𝐵𝐶. No entanto, neste caso, vamos continuar a usar as razões trigonométricas e usar o cateto oposto e a hipotenusa para calcular o comprimento 𝐵𝐶. Substituindo nossos valores na razão seno temos sen de 21 igual a três dividido por 𝑦. Mais uma vez, usando o método de igualdade nos permite trocar o 𝑦 e o sen de 21. Portanto, 𝑦 é igual a três dividido pelo sen de 21. Digitando isso na calculadora temos uma resposta para duas casas decimais de 8.37. Isso significa que o comprimento de 𝐵𝐶 no triângulo é 8.37.

A última parte de nossa pergunta é para calcular o ângulo 𝐴𝐵𝐶, rotulado 𝜃 no diagrama. Agora poderíamos usar nossas relações trigonométricas novamente para calcular 𝜃. No entanto, sabemos que os ângulos em um triângulo somam 180 graus. Portanto, 90 graus mais 21 graus mais 𝜃 é igual a 180 graus. Se escrevermos isso como uma equação, podemos resolvê-la para encontrar a medida do ângulo 𝐴𝐵𝐶. 90 mais 21 é 111. Portanto, 111 mais 𝜃 é igual a 180. Subtraindo 111 de ambos os lados da equação dá 𝜃 igual a 69 graus. Isso significa que o ângulo 𝐴𝐵𝐶 no triângulo é de 69 graus.

Essa questão mostra que podemos usar uma mistura de nossas razões trigonométricas, o teorema de Pitágoras e nossas propriedades angulares para calcular todos os comprimentos e ângulos em um triângulo retângulo.