Lesson Video: A Derivabilidade de uma Função

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A Derivabilidade de uma Função

Neste vídeo, aprenderemos como determinar se uma função é derivável. E identificaremos a relação entre a derivabilidade de uma função e sua continuidade. O processo de determinar uma derivada é chamada de derivação. Como as derivadas são um dos elementos fundamentais do cálculo, a derivação é, portanto, uma ferramenta muito importante. Segue-se, portanto, que saber se uma função é derivável ou não pode ser muito útil para nós. Lembramos que a derivada mede a taxa na qual o valor das imagens de uma função 𝑓 mudam em relação a uma mudança dos seus objetos 𝑥.

De maneira mais formal, uma vez que a derivada pode ser definida utilizando limites. A derivada de uma função 𝑓 no ponto em que 𝑥 é igual a 𝑥 zero é definida como o limite, quando ℎ tende para zero, de 𝑓 de 𝑥 zero mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 zero tudo dividido por ℎ. Agora, pode ajudá-lo pensar na parte inferior desta questão como 𝑥 zero mais ℎ menos 𝑥 zero, o que é, obviamente, apenas ℎ. Desta maneira, vemos que a nossa fórmula é muito parecida com a variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥, à medida que as nossas variações se tornam infinitesimalmente pequenas. Agora, uma definição equivalente para a derivada seria o limite quando 𝑥 tende para 𝑥 zero de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑥 zero dividido por 𝑥 menos 𝑥 zero. Ambas as definições são habitualmente utilizadas, mas, para os fins deste vídeo, utilizaremos principalmente a primeira.

Agora, um ponto importante que revisitaremos ao longo deste vídeo é que a derivada só existe se o limite que a define existir. Se o limite e, portanto, a derivada existirem em algum ponto, dizemos que nesse ponto a nossa função é derivável. Antes de continuarmos, devemos saber que existem duas formas diferentes de notação para as nossas derivadas. Se dissermos que 𝑦 é igual à nossa função 𝑓 de 𝑥, a derivada pode ser escrita da seguinte maneira. A primeira maneira é d𝑦 sobre d𝑥, que é a chamada notação de Leibniz. Essa notação utiliza os infinitesimais que vemos aqui d𝑦 e d𝑥.

A segunda maneira é 𝑓 traço de 𝑥 ou 𝑓 linha de 𝑥. E esta é a chamada notação de Lagrange. Ambas as notações são muito utilizadas. E as verás neste vídeo. Voltando à nossa teoria, se imaginarmos que 𝑓 de 𝑥 é uma curva, a derivada de 𝑓 de 𝑥 representaria a tangente a essa curva. Faria sentido que, se não pudermos definir a tangente da nossa curva, a derivada não exista. Observar o gráfico de uma função geralmente pode dar-nos uma compreensão visual de quando a função é e não é derivável, como veremos no exemplo a seguir.

A figura mostra o gráfico de 𝑓. O que se pode dizer sobre a derivabilidade de 𝑓 em 𝑥 igual a menos quatro?

Aqui, temos um gráfico definido no intervalo de menos sete a menos um. Neste intervalo, vemos que a nossa curva é suave em todos os pontos, além do ponto em que 𝑥 é igual a menos quatro. Neste ponto de coordenadas menos quatro, cinco, temos um canto bicudo. Isso significa que o declive da tangente à esquerda de 𝑥 igual a menos quatro será diferente do declive da tangente à direita de 𝑥 igual a menos quatro. Aqui, podemos chegar ao ponto de dizer que um dos nossos declives será positivo e um dos nossos declives será negativo. Dado que temos duas tangentes diferentes de cada lado, segue-se que não é possível definir uma tangente em 𝑥 igual a menos quatro. E, portanto, também não é possível definir a derivada.

Se imaginássemos o gráfico de 𝑦 igual 𝑓 linha de 𝑥 da nossa primeira derivada, esperaríamos ver um salto acentuado no valor de 𝑦 quando 𝑥 igual a menos quatro. Das nossas observações, concluímos que a função não é derivável em 𝑥 igual a menos quatro, porque a taxa de variação das funções é diferente nos dois lados deste ponto. E com esta afirmação, respondemos à nossa questão.

Agora, vale a pena notar que poderíamos ter feito um argumento mais rigoroso com base nos limites que definem uma derivada. No entanto, este exemplo ilustra que às vezes é possível calcular rapidamente a derivabilidade de uma função com base no seu gráfico.

Juntamente com o canto bicudo que vimos no exemplo anterior, existem muitas razões diferentes pelas quais uma função 𝑓 pode não ser derivável nalgum ponto em que 𝑥 é igual a 𝑥 zero. Todos esses casos podem ser entendidos lembrando a nossa definição de derivada e considerando quando se pode dizer que esse limite existe ou não. Aqui, esboçamos vários gráficos e analisaremos cada uma das suas implicações. Nos dois primeiros casos, temos uma descontinuidade e um canto. Nestes casos, os limites à esquerda e à direita à medida que ℎ tende para zero são diferentes. Como são diferentes, isto também nos diz que o limite normal que define a derivada não existe. E, portanto, as funções não serão deriváveis ​​em 𝑥 zero.

Nos próximos dois casos, temos uma cúspide e uma tangente vertical. Sabemos que, num gráfico, as retas verticais ou as que tendem à vertical correspondem a declives de mais ou menos infinito. Isso significa que os nossos limites à esquerda e à direita quando ℎ se aproxima de zero também tomaria valores de mais ou menos infinito. No caso de uma cúspide, esses limites à esquerda e à direita são diferentes, assumindo valores de infinito com sinais opostos, enquanto que no caso de uma tangente vertical seriam iguais. Já conhecemos a história por serem diferentes os limites unilaterais. No entanto, mesmo que fossem iguais, por exemplo, ambos com o valor de infinito, deveríamos dizer que o nosso limite normal também é igual a mais infinito. Esta ainda é uma maneira particular de escrever que o limite não existe, pois o infinito não é um número, mas um conceito.

Finalmente, no caso de comportamento oscilante, observamos oscilações cada vez mais frequentes à medida que o nosso valor de 𝑥 se aproxima de 𝑥 zero. Também deve ficar claro que o declive do nosso gráfico que representa a derivada também está a oscilar cada vez mais rapidamente à medida que o nosso valor de 𝑥 se aproxima de 𝑥 zero ou quando ℎ tende para zero. Isso significa que não faz sentido atribuirmos um valor ao nosso limite quando ℎ tende para zero. E nós, portanto, dizemos que este limite não existe. Quanto a todos estes casos, o limite não existe. E, portanto, a derivada não existe. E podemos assim dizer que a nossa função não é derivável em 𝑥 zero.

Seguindo em frente, além de calcular um limite, existem várias outras ferramentas que nos podem ajudar a derivar uma função. Um exemplo disso é a regra das potências, que nos diz que se alguma função 𝑓 de 𝑥 assumir a forma 𝑥 elevado a 𝑛, a derivada desta função seria 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Observamos aqui que os nossos passos foram multiplicar pelo expoente no qual o nosso 𝑥 estava elevado. E a seguir, reduzimos esse expoente uma unidade. Vamos dar uma olhadela num exemplo que utiliza a regra das potências.

Considere que a função 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz cúbica de 𝑥. Parte a), qual é o domínio de 𝑓?

Na parte a), podemos recordar imediatamente que a raiz cúbica de qualquer número real está bem definida nos números reais. Se tivéssemos uma raiz quadrada, sabemos que esta afirmação não seria verdadeira, pois a raiz quadrada de números negativos não está definida nos números reais. Como está, no entanto, podemos responder à parte a) de uma maneira muito direta, dizendo que o domínio de 𝑓 é ℝ, os números reais.

Passando para a parte b), determinar a derivada de 𝑓. Uma das ferramentas que temos à nossa disposição é a regra das potências. Esta regra diz-nos que, para uma função 𝑓 de 𝑥, que assuma a forma 𝑥 elevado a 𝑛, a derivada da nossa função será 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑛 menos um. Para a aplicar à nossa questão, é útil escrever a raiz cúbica de 𝑥 como 𝑥 elevado a um sobre três. Podemos então aplicar a regra das potências, multiplicando 𝑥 por um sobre três, que é o nosso expoente e subtraindo um do expoente que nos dá menos dois sobre três. Uma maneira equivalente de escrever isto será um sobre três vezes a raiz cúbica de 𝑥 ao quadrado. Aqui, aplicámos com sucesso a regra das potências. E vendemos a parte b) determinar uma expressão para a derivada de nossa função 𝑓.

Finalmente, para a parte c), determinar o domínio desta derivada, utilizamos a expressão que acabamos de encontrar. Para esta parte da questão, devemos considerar todos os pontos para os quais 𝑓 linha de 𝑥 é não está definida. Como temos 𝑓 linha de 𝑥 na forma de um quociente, podemos dizer que não estará definida quando o denominador desse quociente for igual a zero. Portanto, precisamos de determinar um valor de 𝑥 para o qual três vezes a raiz cúbica de 𝑥 ao quadrado é igual a zero. E o único valor que satisfaz isto é quando 𝑥 é igual a zero. Agora, como 𝑥 igual a zero é o único ponto para o qual 𝑓 linha de 𝑥 não está definida nos números reais, podemos dizer o seguinte. O domínio da derivada da nossa função 𝑓 linha é os números reais ℝ menos o conjunto que contém zero.

Assim, resolvemos as três partes da nossa questão.

E podemos notar que o domínio de uma função 𝑓 não é necessariamente o mesmo que o domínio da sua derivada. No exemplo que acabámos de ver, em vez de calcular um limite para determinar a nossa derivada, utilizamos a regra das potências para acelerar o processo. Existem, no entanto, alguns exemplos em que a regra das potências pode não nos dar uma compreensão completa da nossa função. Vamos dar uma olhadela num exemplo para ilustrar isto.

Suponha que 𝑓 de 𝑥 seja igual a menos seis 𝑥 menos quatro, se 𝑥 for menor ou igual a menos um e três 𝑥 ao quadrado se 𝑥 for maior que menos um. O que se pode dizer sobre a derivabilidade da função em 𝑥 igual a menos um?

Aqui, temos uma função definida por partes composta por duas subfunções, um binomial e uma monomial. Ambas as subfunções sozinhas ou o que é conhecido como suaves e estarão definidas sobre todos os números reais. De facto, isolados, podemos dizer que todos os polinómios são suaves, o que significa que são deriváveis nos números reais. Para uma função definida por partes, no entanto, devemos verificar o ponto em que existem duas subfunções unidas. Ou seja, neste caso, em 𝑥 igual a menos um. Para iniciar o processo, vamos derivar as nossas subfunções utilizando a regra das potências.

A derivada de menos seis 𝑥 menos quatro é menos seis vezes 𝑥 elevado a zero, que é, obviamente, apenas menos seis. A derivada de três 𝑥 ao quadrado é dois vezes três 𝑥, que é, obviamente, seis 𝑥. Podemos representá-la de maneira mais resumida, dizendo que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a menos seis, se 𝑥 é menor que menos um e seis 𝑥 se é maior que menos um. Deve-se notar que, embora vejamos aqui um símbolo de desigualdade menor ou igual, ainda não estamos a fazer nenhuma reivindicação sobre o valor da nossa derivada quando 𝑥 é igual a menos um, pois é isso que estamos a tentar determinar neste momento.

Considerando a derivada em ambos os lados do ponto em que as nossas duas subfunções se unem, podemos tentar avançar substituindo o valor de 𝑥 igual a menos um nas duas subfunções que acabámos de determinar para 𝑓 linha de 𝑥. Fazendo isso, descobriremos que ambos os nossos valores são menos seis. Podemos então concluir que, como esses dois valores são iguais, a nossa função é derivável no ponto em que 𝑥 é igual a menos um. Infelizmente, este não é o caso. E para ver o porquê. Vamos relembrar a definição da derivada como um limite.

Aqui mostrámos o limite que define a derivada. Para avançar, reconhecemos que, como a nossa função é definida diferentemente em ambos os lados do ponto onde 𝑥 é menos um, os limites à esquerda e à direita terão, portanto, expressões diferentes. Lembrando que 𝑥 zero é igual a menos um, podemos começar por escrever o limite à esquerda da seguinte forma. Agora, claramente, não podemos simplesmente substituir ℎ igual a zero nesta expressão. Caso contrário, ficaremos com a indeterminação zero sobre zero. Em vez disso, sabemos que quando 𝑥 é menor que menos um, 𝑓 de 𝑥 é igual a menos seis 𝑥 menos quatro. Portanto, 𝑓 de menos um mais ℎ será calculado como dois menos seis ℎ.

Por um raciocínio semelhante, quando 𝑥 é igual a menos um, um 𝑓 de 𝑥 assume a mesma subfunção. E, portanto, 𝑓 de menos um é calculado como dois substituindo pois descobrimos que a expressão para o nosso limite à esquerda se torna dois menos seis ℎ menos dois tudo sobre ℎ, o que simplifica para menos seis ℎ sobre ℎ. Agora, nesta fase, como sabemos que ℎ se aproxima de zero e não é igual a zero, temos permissão para anular o fator comum na parte de cima e de baixo do quociente. Ficamos então com o limite quando ℎ se aproxima de zero à esquerda de menos seis, o que, é claro, é apenas igual a menos seis.

Agora, para o limite à, por um raciocínio semelhante ao anterior, sabemos que quando 𝑥 é maior que menos um, 𝑓 de 𝑥 está definida pela subfunção três 𝑥 ao quadrado. Portanto, neste caso, 𝑓 de menos um mais ℎ é calculado como três menos seis ℎ mais três ℎ ao quadrado. Para 𝑓 de menos um, devemos ter cuidado para não utilizar o nosso três 𝑥 ao quadrado novamente. Como quando 𝑥 é igual a menos um, 𝑓 está definida pela nossa outra subfunção. Já descobrimos antes que o valor desta é dois. Novamente, passamos pelo mesmo processo de substituí-los e simplificar a expressão do nosso limite. Desta vez, alcançámos um resultado diferente. Olhando para o primeiro termo do nosso limite, teremos o limite quando ℎ se aproxima de zero na direção positiva de um sobre ℎ, que é igual a infinito. Por extensão, isso significa que todo o nosso limite à direita também é igual a infinito.

Sabemos que essa é uma maneira específica de escrever que o limite não existe. Se o limite à direita não existe, isso também nos diz que o limite normal não existe. E, portanto, a derivada não está definida. A razão pela qual é este o caso é que o nosso gráfico realmente tem uma descontinuidade em 𝑥 igual a menos um. E se desenhássemos, veríamos isso. Como concluímos que a derivada não está definida em 𝑥 igual a menos um, também estamos em posição de dizer que a função não é derivável em 𝑥 igual a menos um. E, de facto, esta é a resposta para a nossa questão.

Como vimos no nosso exemplo, para verificar a derivabilidade de uma função num ponto, não é necessariamente suficiente verificar se os limites à esquerda e à direita da derivada da função são iguais nesse ponto. Em vez disso, para um valor 𝑥 zero, também devemos verificar se os limites à esquerda e à direita da função em si à medida que 𝑥 se aproxima de 𝑥 zero existem, concordam e são iguais ao valor da função calculada em 𝑥 zero. Talvez uma forma mais familiar disso possa ser obtida lembrando que, se estas duas condições forem satisfeitas, o limite normal também existe e assume o mesmo valor. De facto, esta é a condição para a continuidade.

Uma regra geral importante que podemos utilizar é se uma função é derivável num ponto 𝑥 zero, então também é contínua nesse ponto. Para esta regra, um enunciado logicamente equivalente será se a função não for contínua num ponto 𝑥 zero, também não é derivável em 𝑥 zero. Agora, devemos ter um pouco de cuidado para não estender demais esta regra e terminar com uma falsa conclusão de que, se uma função é contínua em 𝑥 zero, também é diferenciável em 𝑥 zero. Isso é de facto falso. E a ilustração a seguir pode ajudar-nos a entendê-la.

Considere que o nosso círculo laranja representa todas as funções que são contínuas. O nosso círculo rosa representa todas as funções deriváveis. Como podemos ver, o nosso círculo derivável está contido no círculo de todas as funções que são contínuas. Se tivéssemos uma função 𝑓 de 𝑥 que está dentro do nosso círculo derivável, saberíamos com certeza que também está dentro do nosso círculo contínua. Agora, considere uma outra função 𝑔 de 𝑥, que não está dentro do nosso círculo contínua. Olhando para isto, sabemos com certeza que também não está dentro do nosso círculo derivável.

Agora, no entanto, se considerarmos uma terceira função ℎ de 𝑥, é possível que esta esteja dentro do nosso círculo contínua sem necessariamente estar dentro do nosso círculo derivável. Isso significa que, se ℎ de 𝑥 é contínua, pode ou não ser derivável. E não podemos tirar conclusões apenas com base na sua continuidade. De facto, existem muitos exemplos de funções que são contínuas, mas não deriváveis. E já vimos isto no canto que calculámos para a nossa primeira questão. Ao calcular se uma função é derivável em 𝑥 zero, podemos, portanto, seguir as etapas a seguir.

Primeiro, verificamos que a nossa função 𝑓 é contínua em 𝑥 zero. Caso contrário, concluímos que a nossa função não é derivável em 𝑥 zero. No entanto, se for, então verificamos se os limites à esquerda e à direita quando 𝑥 tende para 𝑥 zero da nossa derivada 𝑓 linha de 𝑥 existe e são iguais. Novamente, se não, concluímos que a nossa função não é derivável em 𝑥 zero. No entanto, se for esse o caso. Concluímos então que a nossa função 𝑓 é derivável em 𝑥 zero. Vamos dar um exemplo final para ilustrar este processo.

Suponha que 𝑓 de 𝑥 seja igual a menos um mais três sobre 𝑥 se 𝑥 for menor ou igual a um e menos 𝑥 ao cubo mais três se 𝑥 for maior que um. O que se pode dizer sobre a derivabilidade de 𝑓 em 𝑥 é igual a um?

Aqui, temos uma função definida por partes e solicitam-nos verificar a derivabilidade. Se chamarmos nosso valor de um 𝑥 zero, o nosso processo geral para este tipo de questão é primeiro a verificar a continuidade em 𝑥 zero. E então, se esta for satisfeita, verificamos se o limite quando 𝑥 tende para 𝑥 zero da nossa derivada existe, o que significa que a verificação dos limites à esquerda e à direita existem e são iguais. Começamos com a condição de continuidade enunciada aqui. Como esta é uma função definida por partes, precisamos de verificar se os limites à esquerda e à direita quando 𝑥 tende para um de 𝑓 de 𝑥 existem e são iguais. Quando 𝑥 é menor que um, a nossa função é menos um mais três sobre 𝑥. Por substituição direta, o nosso limite à esquerda é calculado como dois. Quando 𝑥 é maior que um, a nossa função é menos 𝑥 ao cubo mais três. E pela mesma abordagem, o limite à direita também é calculada como dois.

Como estes dois limites existem e são iguais, também podemos ver que o limite normal existe e é igual a dois. Passando para 𝑓 de um, a função em si aqui está definida pela nossa primeira subfunção, pois 𝑥 é igual a um. De facto, já substituímos um na nossa primeira subfunção aqui, o que nos deu uma resposta de dois. Isso significa que podemos dizer que o limite quando 𝑥 tende para um de 𝑓 de 𝑥 e 𝑓 de um são iguais a dois. Portanto, satisfazemos a condição de continuidade e a nossa função é contínua quando 𝑥 é igual a um. Vamos agora considerar a derivada da nossa função.

Como a nossa função está definida por ramos, a derivada da nossa função também estará definida por ramos. E precisaremos de derivar as nossas duas subfunções. E aqui é digno de nota que ainda não estávamos a fazer nenhuma afirmação acerca da derivada quando 𝑥 é igual a um, já que isso é, de facto, o que estamos a tentar determinar agora. Uma das ferramentas que podemos utilizar para nos ajudar a derivar as nossas subfunções é a regra das potências enunciada aqui. Para nos ajudar a aplicar esta regra mais facilmente, podemos reescrever três sobre 𝑥 como três 𝑥 elevado a menos um. Aplicando a regra, descobrimos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a menos três sobre de 𝑥 ao quadrado se 𝑥 é menor que um e menos três 𝑥 ao quadrado se 𝑥 é maior que um.

Agora precisamos de considerar o limite quando 𝑥 tende para um de 𝑓 linha de 𝑥. Fá-lo-emos considerando os limites à esquerda e à direita num processo semelhante ao que acabámos de fazer para a condição de continuidade. Pela substituição direta de um, descobrimos que estes dois limites são iguais a menos três. E uma vez que existem e são iguais, o limite quando 𝑥 tende para um de 𝑓 linha de 𝑥 também é igual a menos três. Como este limite existe, sabemos que a nossa derivada também existe em 𝑥 igual a um. Agora concluímos todas as etapas do nosso processo. E a partir daqui, podemos concluir que a função 𝑓 é derivável no ponto em que 𝑥 é igual a um.

Neste exemplo, ilustrámos o processo para analisar se uma função é derivável num ponto. Fizemo-lo, utilizando a relação entre derivabilidade e continuidade juntamente com as ferramentas de derivação, como a regra das potências. Para resumir, vamos abordar alguns pontos-chave. A derivada pode ser representada utilizando a notação de Leibniz ou a notação de Lagrange. E temos duas definições alternativas, mas equivalentes, ambas utilizando limites. Quando o limite não existe, a função em si não é derivável nesse ponto. E há várias maneiras diferentes de isso ocorrer. E, finalmente, podemos tirar conclusões sobre a nossa função com base na relação entre derivabilidade e continuidade.