Pop Video: Divergência e Curvatura: a Linguagem das Equações de Maxwell, Fluxo de Fluido e Muito Mais

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Hoje, você e eu vamos divergir e curvar, duas ideias centrais do cálculo vetorial. Mas se você quiser, vale a pena compartilhar um pouco da trajetória de escrita que me levou até aqui. Inicialmente, comecei a escrever este vídeo para acompanhar o último sobre maneiras alternativas de pensar sobre a derivada. Ou seja, seria uma visão do que significa uma função complexa ter uma derivada.

Agora essas funções são interessantes quando você as conhece. Mas até então, as palavras «derivada complexa» não são exatamente a melhor maneira de prender a atenção de um novo aluno. Então, eu queria centralizá-lo em torno de algum exemplo motivador tangível de onde essas funções aparecem. E um que é bem interessante e divertido de ilustrar é que uma certa representação de uma função muito simples, 𝑧 mais um dividido por 𝑧, pode ser vista como um modelo idealizado para o fluxo de fluido em torno de um cilindro. Vou explicar o que quero dizer com isso completamente mais tarde.

Em poucas palavras, essas linhas de grade distorcidas representam onde as partes reais e imaginárias da saída permanecem constantes. E o que surge disso é que as linhas horizontais mostram essas linhas de fluxo para o fluxo em torno de um cilindro. E esse fluxo é rápido em regiões onde as linhas verticais estão mais próximas e lento em regiões onde essas linhas verticais estão mais afastadas. Então isso é interessante. Mas o mais divertido é que, se você alterar e dimensionar essa configuração da maneira apropriada e aplicar a mesma função simples, 𝑧 mais um dividido por 𝑧, a tudo. O que você obtém agora é um modelo simplificado para fluxo em torno dessa forma de aparência de folha no ar. Intrigante, certo?

E mais ainda, essa mesma grade original deformada também tem uma interpretação física completamente diferente. Imagine que você tem um campo elétrico uniforme, apontando para cima. Ou seja, empurrava partículas carregadas positivamente para cima e puxava partículas carregadas negativamente para baixo. Se você colocar algum fio de cobre nesse campo, um com uma seção transversal circular. Então, sob a suposição de que as cargas nesse fio são livres para se movimentar, as cargas negativas se acumularão de uma certa maneira na parte inferior, deixando o topo geralmente carregado positivamente. E isso resultará em algumas alterações no campo elétrico ao redor do fio.

Agora, as mesmas linhas horizontais distorcidas que anteriormente descreviam linhas de fluxo para o fluxo idealizado em torno de um cilindro são exatamente as linhas de igual potencial elétrico para esse novo campo. Em outras palavras, passar de uma dessas linhas para uma adjacente corresponde a uma queda de tensão constante. Agora isso é legal, certo? Porque isso levanta muitas boas perguntas. O que o fluxo de fluido idealizado tem a ver com o potencial elétrico? E o que esses dois têm a ver com números complexos?

Se você quer entender o que está acontecendo aqui, precisa se sentir confortável com duas ideias centrais do cálculo vetorial: divergência e curvatura. Agora, para eu escrever isso, a oscilação do escopo acabou se transformando em uma espécie de meiose do escopo, à medida que a seção que apresentava o plano de fundo se transformava em seu próprio vídeo. E, bem, aqui estamos agora. De qualquer forma, você pode estar se perguntando por que estou gastando seus preciosos minutos e minhas preciosas horas para lhe contar sobre isso, em vez de apenas pular direto para o tópico real.

Bem, os tópicos individuais tendem a ser menos esclarecedores do que as conexões entre eles. E aprender sobre divergência e ondulação corre o risco de parecer arbitrário se parecer algo que você faz com derivadas. Mas há algo mais emocionante ao aprendê-lo, se desde o início você tiver alguma consciência sobre o alcance dessas ideias.

Para garantir que todos estejam na mesma página, vamos começar falando sobre campos vetoriais. Essencialmente, um campo vetorial é o que você obtém se associar cada ponto no espaço a um vetor, alguma magnitude e direção. Talvez esses vetores representem as velocidades das partículas de fluido em cada ponto do espaço. Ou talvez eles representem a força da gravidade em muitos pontos diferentes do espaço, ou talvez uma força do campo magnético.

Nota rápida sobre como desenhá-los. Frequentemente, se você desenhar os vetores em escala, os mais longos acabarão bagunçando a coisa toda. Por isso, é comum mentir um pouco e encurtar artificialmente os que são muito longos, talvez usando cores para dar uma sensação vaga de comprimento.

Agora, em princípio, os campos vetoriais na física podem mudar com o tempo. Em quase todo o fluxo de fluido do mundo real, as velocidades das partículas em uma determinada região do espaço mudam com o tempo em resposta ao contexto circundante. O vento não é uma constante. Vem em rajadas. Um campo elétrico muda à medida que as partículas carregadas que o caracterizam se movem. Mas aqui, apenas analisaremos os campos vetoriais estáticos, que talvez você considere descrever um sistema de estado estacionário.

Além disso, embora esses vetores possam, em princípio, ser tridimensionais ou até mais dimensões, apenas analisaremos duas dimensões. Uma ideia importante que não é dita regularmente é que você pode entender um campo vetorial que representa melhor um fenômeno físico imaginando o que se representasse um fenômeno físico diferente. E se esses vetores que descrevem a força gravitacional definissem um fluxo de fluido? Como seria esse fluxo? E o que as propriedades desse fluxo podem nos dizer sobre a força gravitacional original? E se os vetores que definem um fluxo de fluido forem considerados como descrevendo a direção em declive de uma certa colina? Tal colina existe? E se sim, o que isso nos diz sobre o fluxo original?

Esse tipo de pergunta pode ser surpreendentemente útil. Por exemplo, as ideias de divergência e curvatura são particularmente visceralmente entendidas quando o campo vetorial é considerado como representando fluxo de fluido, mesmo que o campo que você está olhando tenha realmente a intenção de descrever algo mais, como um campo elétrico. Aqui, dê uma olhada neste campo vetorial e pense em cada vetor como descrevendo a velocidade de um fluido nesse ponto.

Observe que, quando você faz isso, esse fluido se comporta de uma maneira não-física muito estranha. Em alguns pontos, como esses, o fluido parece surgir do nada, como se houvesse algum tipo de fonte lá. Alguns outros pontos agem mais como pias, onde o fluido parece desaparecer no nada. A divergência de um campo vetorial em um ponto específico do plano indica o quanto esse fluido imaginado tende a fluir para fora ou para pequenas regiões próximas a ele.

Por exemplo, a divergência do nosso campo vetorial calculada em todos os pontos que agem como fontes dará um número positivo. E não basta que todo o fluido esteja fluindo para fora desse ponto. A divergência também seria positiva se o fluido que entra nele de uma direção seja mais lento do que o fluxo que sai dele em outra direção. Uma vez que isso ainda insinuaria certa geração espontânea.

Agora, por outro lado, se em uma região pequena em torno de um ponto parecer mais fluido, fluindo para dentro do que para fora, a divergência nesse ponto seria um número negativo. Lembre-se, esse campo vetorial é realmente uma função que recebe entradas bidimensionais e resulta em saídas bidimensionais. A divergência desse campo vetorial fornece uma nova função, que utiliza um único ponto 2D como entrada. Mas sua saída depende do comportamento do campo em um pequeno bairro nesse ponto. Dessa forma, é análogo a uma derivada. E essa saída é apenas um único número, medindo o quanto esse ponto atua como uma fonte ou um coletor.

Estou atrasando propositadamente a discussão sobre cálculos aqui. A compreensão do que ele representa é mais importante. Observe que isso significa que, para um fluido físico real, como a água, em vez de um imaginário usado para ilustrar um campo vetorial arbitrário. Então, se esse fluido é incompressível, o campo do vetor de velocidade deve ter uma divergência de zero em todos os lugares. Essa é uma restrição importante sobre que tipos de campos vetoriais podem resolver problemas de fluxo de fluido no mundo real.

Para a curvatura em um determinado ponto, você também pensa no fluxo de fluido ao seu redor. Mas desta vez, você pergunta quanto esse fluido tende a girar em torno do ponto. Por exemplo, se você deixasse cair um galho no fluido naquele momento, de alguma forma fixando seu centro no lugar, ele tenderia a girar? Regiões em que essa rotação é no sentido anti-horário têm curvatura positiva. E as regiões onde está no sentido horário têm curvatura negativa. E não é necessário que todos os vetores ao redor da entrada estejam apontando no sentido anti-horário ou todos estejam apontando no sentido horário.

Um ponto dentro de uma região como esta, por exemplo, também teria curvatura diferente de zero. Como o fluxo é lento na parte inferior, mas rápido na parte superior, resultando em uma influência líquida no sentido horário. E realmente, a verdadeira curvatura adequada é uma ideia tridimensional. Uma em que você associa cada ponto no espaço 3D a um novo vetor que caracteriza a rotação em torno desse ponto, de acordo com uma determinada regra à direita. E tenho bastante conteúdo do meu tempo na Khan Academy descrevendo isso com mais detalhes, se você quiser.

Mas, para o nosso objetivo principal, que mostrará a conexão entre essas ideias de cálculo vetorial e análises complexas. Refiro-me apenas à variante bidimensional de curvatura, que associa cada ponto no espaço 2D a um único número, em vez de um novo vetor. Como eu disse, mesmo que essas intuições sejam dadas no contexto do fluxo de fluidos, essas duas ideias são significativas para outros tipos de campos vetoriais.

Um exemplo muito importante é como a eletricidade e o magnetismo são descritos por quatro equações especiais. Essas são conhecidas como equações de Maxwell. E elas são escritas na linguagem da divergência e da curvatura. Esta primeira, por exemplo, é a lei de Gauss. Afirmando que a divergência de um campo elétrico em um determinado ponto é proporcional à densidade de carga naquele ponto.

Desempacotando a intuição para isso, você pode imaginar regiões carregadas positivamente como agindo como fontes de algum fluido imaginário e regiões carregadas negativamente como sendo as pias desse fluido. E em partes do espaço onde não há carga, o fluido flui incompressivelmente, assim como a água. Claro, não há um fluido elétrico literal. Mas é uma maneira muito útil e muito bonita de ler uma equação como esta.

Da mesma forma, outra equação importante é que a divergência do campo magnético é zero em todos os lugares. E você pode entender isso dizendo que, se o campo representa um fluxo de fluido, esse fluido seria incompressível, sem fontes e sem pias. Atua como a água. Isso também tem a interpretação de que não existem monopólos magnéticos, algo que age como um extremo norte ou sul de um ímã. Não há nada análogo a cargas positivas e negativas em um campo elétrico.

Da mesma forma, as duas últimas equações nos dizem que a maneira como um desses campos muda depende da curvatura do outro campo. E realmente, essa é uma ideia puramente tridimensional e um pouco fora do nosso foco principal aqui. Mas o ponto é que divergência e curvatura surgem em contextos que não estão relacionados ao fluxo. E nota lateral, o ir e vir dessas duas últimas equações é o que dá origem a ondas de luz. E, com frequência, essas ideias são úteis em contextos que nem parecem espaciais por natureza a princípio.

Para dar um exemplo clássico que os alunos de equações diferenciais costumam estudar, digamos que você queira acompanhar o tamanho da população de duas espécies diferentes, onde talvez uma delas seja predadora de outra. O estado desse sistema em um dado momento, ou seja, os dois tamanhos populacionais, poderia ser considerado um ponto no espaço bidimensional, o que você chamaria de «espaço fase» desse sistema.

Para um determinado par de tamanhos populacionais, essas populações podem estar inclinadas a mudar com base em coisas como reprodutivas são as duas espécies ou o quanto uma delas gosta de comer a outra. Essas taxas de variação seriam tipicamente escritas analiticamente como um conjunto de equações diferenciais.

Tudo bem se você não entender essas equações em particular. Estou expondo para aqueles que estão curiosos e porque substituir variáveis ​​por imagens me faz rir um pouco. Mas a relevância aqui é que uma boa maneira de visualizar o que esse conjunto de equações está realmente dizendo é associar cada ponto no plano, cada par de tamanhos populacionais, com um vetor que indica as taxas de variação de ambas as variáveis.

Por exemplo, quando existem muitas raposas, mas relativamente poucos coelhos, o número de raposas pode tender a diminuir devido à restrição de oferta de alimentos. E o número de coelhos também pode tender a diminuir porque estão sendo comidos por todas as raposas, potencialmente a uma velocidade mais rápida do que conseguem reproduzir. Portanto, um determinado vetor aqui está dizendo como e com que rapidez um determinado par de tamanhos populacionais tende a mudar.

Observe que este é um caso em que o campo vetorial não se refere ao espaço físico. Mas, em vez disso, é uma representação de um determinado sistema dinâmico que possui duas variáveis ​​e como esse sistema evolui com o tempo. Talvez isso também dê uma ideia do motivo pelo qual os matemáticos se preocupam em estudar a geometria de dimensões mais altas. E se o nosso sistema estivesse rastreando mais do que apenas dois ou três números?

Agora, o fluxo associado a este campo é chamado fluxo fase para nossa equação diferencial. E é uma maneira de conceber de relance quantos estados iniciais possíveis evoluiriam ao longo do tempo. Operações como divergência e curvatura podem ajudar a informá-lo sobre o sistema. Os tamanhos da população tendem a convergir para um par específico de números? Ou existem alguns valores dos quais eles divergem? Existem padrões cíclicos? E esses ciclos são estáveis ​​ou instáveis?

Para ser perfeitamente honesto com você, para algo assim, muitas vezes você deseja trazer ferramentas relacionadas além da divergência e da curvatura. Aqueles lhe dariam a história completa. Mas o estado de espírito que a prática com essas duas ideias traz para você é importante estudar configurações como essa com peças semelhantes de máquinas matemáticas.

Agora, se você realmente deseja entender essas ideias, deve aprender como calculá-las e praticar esses cálculos. Deixarei alguns links para aprender sobre isso e praticar, se quiser. Novamente, eu fiz alguns vídeos e artigos e trabalhei exemplos para a Khan Academy sobre esse tópico durante meu tempo lá. Tantos detalhes aqui começarão a parecer redundantes para mim.

Mas há uma coisa que vale a pena mencionar, relativa à notação associada a esses cálculos. Geralmente, a divergência é escrita como um produto escalar entre esse triângulo invertido e sua função de campo vetorial. E a curvatura é escrita como um produto vetorial semelhante. Às vezes, os alunos são informados de que esse é apenas um truque de notação. Cada cálculo envolve uma certa soma de certas derivadas. E tratar esse triângulo de cabeça para baixo como se fosse um vetor de operadores de derivadas pode ser uma maneira útil de manter tudo em ordem. Mas na verdade é mais do que apenas um dispositivo mnemônico. Existe uma conexão real entre a divergência e o produto escalar e entre a curvatura e o produto vetorial.

Embora não façamos cálculos práticos aqui, eu gostaria de lhe dar pelo menos algum senso vago de como essas quatro ideias estão conectadas. Imagine dar um pequeno passo de um ponto do seu campo vetorial para outro. O vetor nesse novo ponto provavelmente será um pouco diferente do vetor no primeiro ponto. Haverá alguma alteração na função após essa etapa, que você poderá ver subtraindo seu vetor original daquele novo. E esse tipo de diferença em sua função em pequenos passos é o objetivo do cálculo diferencial.

Agora, o produto escalar fornece uma espécie de medida de como dois vetores estão alinhados, certo? Agora, o produto escalar do seu vetor de uma etapa com esse vetor de diferença que ele causa tende a ser positivo em regiões onde a divergência é positiva e vice-versa. De fato, em certo sentido, a divergência é um tipo de valor médio para esse produto escalar de uma etapa com uma alteração na saída que ela causa em todas as direções possíveis da etapa, assumindo que as coisas sejam redimensionadas adequadamente.

Quero dizer, pense sobre isso. Se uma etapa em alguma direção causa uma mudança nesse vetor na mesma direção, isso corresponde a uma tendência para o fluxo externo, para a divergência positiva. Por outro lado, se esses produtos pontuais tendem a ser negativos. Significa que o vetor de diferença está apontando na direção oposta ao vetor da etapa. Isso corresponde à tendência de fluxo interno, divergência negativa.

Da mesma forma, lembre-se de que o produto vetorial é uma espécie de medida da perpendicularidade de dois vetores. Portanto, o produto vetorial do seu vetor de uma etapa com o vetor de diferença que ele causa tende a ser positivo em regiões onde a curvatura é positiva e vice-versa. Você pode pensar na curvatura como uma espécie de média da diferença deste produto vetorial e do vetor de uma etapa. Se um passo em alguma direção corresponde a uma mudança perpendicular a esse passo, isso corresponde a uma tendência para a rotação do fluxo.

Tudo bem, então, com as intuições de divergência e curvatura, nosso próximo passo será entender como as funções de números complexos nos dão uma maneira realmente elegante de produzir campos vetoriais em que a curvatura e a divergência são zero em uma determinada região. Pensado em termos de fluxo, isso descreve fluidos incompressíveis e irrotacionais. Pensado em termos de eletromagnetismo, isso fornece campos de estado estacionário no vácuo, onde não há cargas nem corrente. É sobre isso que vou falar no próximo vídeo. Onde você e eu voltaremos a esses modelos para o fluxo em torno de um cilindro e em torno de uma folha de ar. E, mais importante, falaremos sobre onde esses modelos ficam aquém e por quê.