Vídeo: Como Devemos Calcular Zero Elevado a Zero?

Neste vídeo nós olhamos para várias opções diferentes que nós temos para como negar a definição da expressão zero elevado a zero, e pensar sobre a diferença entre definições e resultados.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos pensar em como podemos calcular a expressão zero elevado a zero. Qual é o seu valor numérico? Existem algumas sequências lógicas que levam a respostas diferentes, mas qual é a certa?

Primeiro, vamos apenas recapitular o que queremos dizer com essa notação de potência ou expoente. Por exemplo, três elevado a dois significa que anotamos dois três na página e os multiplicamos. Três ao quadrado é igual a três vezes três, que é igual a nove. Os três, neste caso, são chamados de base e os dois são chamados de expoentes.

Cinco elevado a quatro ou cinco com um expoente de quatro significa que anotamos quatro cinco na página e multiplicamos todos. Cinco à potência de quatro é igual a cinco vezes cinco vezes cinco vezes cinco, o que equivale a 625. E podemos generalizar isso. 𝑥 elevado a 𝑦 significa que anotamos 𝑦 𝑥s na página e os multiplicamos.

Ótimo, então zero elevado a zero significa apenas que anotamos zero zero vezes e os multiplicamos. Oh querido, o que isso significa? Bem, poderíamos argumentar que sempre que multiplicamos algo por zero, a resposta é zero. Então, como você define que zero elevado a zero envolve a multiplicação por zero e, portanto, a resposta deve ser zero. Zero para a potência de zero é igual a zero.

Bem, isso parece lógico à primeira vista. Mas se estivermos escrevendo zero zero vezes para multiplicar, então, na verdade, não estamos multiplicando nada por zero porque há zero deles para multiplicar. Talvez pudéssemos tentar plotar um gráfico de 𝑦 igual a zero elevado a 𝑥 e ver se há um valor lógico para 𝑦 quando 𝑥 é igual a zero.

Bem, parece que temos uma linha reta. E se extrapolarmos de volta para 𝑥 é igual a zero, parece que temos 𝑦 igual a zero nesse ponto. Mas isso não prova nada. Existem muitas funções que fazem algo diferente para um determinado valor de 𝑥, por exemplo, 𝑦 é igual a um sobre 𝑥.

Neste caso, parece que o valor de um sobre 𝑥 está se aproximando do infinito positivo à medida que 𝑥 se aproxima e se aproxima de zero. Então, podemos ser tentados a sugerir que um sobre zero é infinito positivo, mas espere! Aproximando 𝑥 é igual a zero da direção negativa, vemos os valores de um sobre 𝑥 ficam mais e mais negativos, aproximando-se do infinito negativo à medida que 𝑥 se aproxima de zero. Então, o valor de um sobre zero é igual a infinito positivo ou infinito negativo?

Bem, matemáticos dizem nenhum dos dois; eles dizem que um sobre zero é indefinido. Precisamos voltar ao nosso gráfico de 𝑦 igual a zero elevado a 𝑥 e testar alguns valores negativos. Primeiro, vamos recapitular o que queremos dizer com 𝑥 elevado a 𝑦 quando 𝑦 é negativo. Queremos dizer que escrevemos 𝑥 um número negativo de vezes e os multiplicamos? Bem, como poderíamos fazer isso?

Na verdade, há uma convenção matemática que acaba por ter alguns outros aplicativos úteis com expoentes. Vamos começar com três elevado a quatro, depois pensamos em três elevado a três, três elevado a dois e três elevado a um. À medida que aumentamos o expoente de um a cada vez, estamos multiplicando o valor da expressão por outro três. Três elevado a um é três. Em seguida, adicionamos um ao expoente para obter três elevado a dois e multiplicamos a expressão por três para obter três vezes três iguais a nove. Então, três elevado a dois é nove e assim por diante.

Quando adicionamos um ao expoente, multiplicamos o valor da expressão pela base. E, de outra forma, à medida que reduzimos o expoente de um a cada vez, estamos dividindo o valor da expressão por três, a base. Agora, se continuarmos a aplicar essa regra, então, três elevado a um é três e três dividido por três é um, que é três elevado a zero. Três elevado a zero é um porque significa três dividido por três, o que nos dá o resultado de um.

Bem, sob essa convenção, zero para a potência de zero significa zero dividido por zero, que é indefinido. Mas vamos continuar com nossa linha de pensamento usando três como base. Então, três elevado a zero é um. Vamos subtrair um do expoente novamente e dividir o valor da expressão por três novamente. Três elevado a zero é um, e um dividido por três é um terço. Então, subtrair um do expoente nos dá três elevado a um negativo. E se três elevado a um negativo é um terço, um terço dividido por três é um nono, então três elevado a dois negativos é um nono. E três elevado a três negativos é um sobre 27 e assim por diante.

Agora podemos ver um padrão. Três elevado a um é três, e três elevado a um negativo é um sobre três. Três elevado a dois é nove, e três elevado a dois negativos é um sobre nove. Três elevado a três é 27, e três elevado a três negativos é um sobre 27, e assim por diante.

Então, em geral, 𝑥 elevado a menos 𝑦 é igual a um sobre 𝑥 elevado a 𝑦. E essa convenção é útil e consistente com o restante da lógica em torno dos expoentes. Agora podemos voltar a pensar em nossas tabelas de valores de zero com expoentes negativos.

Vimos que 𝑦 é zero para valores positivos de 𝑥. Mas zero elevado a 𝑥 é indefinido para todos os valores negativos de 𝑥. Isso não ajuda em nossa busca para descobrir como calcular zero para a potência de zero.

Se nos aproximarmos de zero à potência de zero com expoentes positivos cada vez menores, zero à potência de três, zero à potência de dois, zero à potência de um, então parece zero à potência de zero deve ser zero. Mas se nos aproximarmos com expoentes negativos mais próximos e próximos de zero, zero elevado a três negativos, zero elevado a dois negativos, zero elevado a um negativo, e assim por diante, então eles são todos indefinidos.

Não parece óbvio se zero elevado a zero deve ser indefinido ou não, porque zero não é um expoente negativo. Mas a partir dessa direção, não parece certo que zero a potência de zero deve ser igual a zero.

Ok, vamos tentar outra abordagem. Vamos olhar para 𝑦 igual a 𝑥 elevado a zero. Como acabamos de ver, nove elevado a um é nove. Portanto, reduzir o expoente de um significa que dividimos o valor da expressão pela base, nove neste caso, e nove dividido por nove é um. Então, nove elevado a zero é um. Da mesma forma, seis elevado a zero é um, três elevado a zero é um, e parece que zero elevado a zero deve ser um também.

E se tivermos um olhar para expoentes negativos, novamente, nove negativos para o um devem ser apenas nove negativos. Portanto, reduzindo o expoente de um a zero, devemos dividir a expressão por nove negativos, e nove negativos divididos por nove negativos é igual a um, portanto nove negativos elevado a zero são um. Da mesma forma, seis negativos elevado a zero é um, três negativos elevado a zero é um, e assim por diante.

Bem, isso parece muito convincente. Pensar em 𝑦 é igual 𝑥 à potência de zero, quando 𝑥 é negativo, à medida que se aproxima de zero, 𝑥 à potência de zero é consistentemente um. Como 𝑥 é positivo e se aproxima de zero, também é consistentemente um. Certamente zero elevado a zero também deve ser um.

A questão é que ter um valor próximo de zero não é o mesmo que ter um valor exatamente igual a zero, então não provamos nada. É como um sorteio em que cada uma das dez pessoas recebe um bilhete com um número de um a dez. Em seguida, um número nesse intervalo é escolhido aleatoriamente e o portador do bilhete com esse número ganha um prêmio fabuloso.

Digamos que o bilhete número cinco seja o vencedor. Usando a lógica que usamos com 𝑦 igual a 𝑥 para a potência de zero, poderíamos dizer que os números de bilhete um, dois e três e quatro são todos perdedores e os bilhetes 10, nove, oito, sete e seis também o são. Então, da maneira que você aborda o número cinco, você está perdendo, então o número cinco também deve ser um perdedor.

Ignoramos o fato de que há algo único e espetacularmente diferente no número cinco do ingresso: é o vencedor. Então, chegamos a três possibilidades para o valor de zero elevado a zero. Pode ser zero, ou indefinido, ou um. Mas não parece haver um argumento matador coerente e totalmente lógico para que seja qualquer um desses em particular.

Bem, acontece que, para os matemáticos, é mais útil definir zero elevado a zero como sendo igual a um, então foi isso que fizemos. Não há uma resposta que você possa provar. Mas escolher usar um valor de um para a expressão zero elevado a zero não quebra nenhuma outra regra e é conveniente.

Às vezes, definimos coisas que parecem fazer sentido e, às vezes, usamos a lógica e construímos teorias prováveis ​​de nossas definições. Esta é uma daquelas ocasiões em que tomamos uma decisão em grupo para definir algo de uma determinada maneira, porque parece útil.

Um exemplo simples e razoável desse tipo de coisa é quando definimos uma linha reta como sendo o caminho unidimensional mais curto entre dois pontos. Tecnicamente, ele se estende infinitamente além dos dois pontos em qualquer direção. Agora podemos escolher um ponto na reta e definir a medida do ângulo a partir da reta em uma direção até a reta na outra direção em torno desse ponto como sendo 180 graus.

Podemos agora derivar e provar várias regras usando linhas retas. Por exemplo, quando duas retas se cruzam em um ponto, os ângulos verticalmente opostos devem ser iguais. Então, se introduzirmos uma reta paralela, outra definição, podemos chamar esses ângulos de ângulos alternos e provar que eles devem ser iguais em medida. Podemos então definir um polígono como uma forma de plano bidimensional fechado com três ou mais arestas retas e, em seguida, um triângulo como um polígono com especificamente três arestas.

Agora podemos usar as definições e provas que temos até agora para provar que a soma dos ângulos internos em um triângulo é de 180 graus. Algumas partes da matemática são definições, e algumas são desenvolvimentos lógicos dessas definições.

Voltando então para a nossa definição de zero elevado a zero, existe uma coisa chamada teorema binomial, que, entre outras coisas, nos ajuda a multiplicar rapidamente expressões como 𝑎 mais 𝑏, tudo elevado a 𝑛. Por exemplo, para expandir 𝑥 mais três tudo elevado a seis, é preciso muito trabalho se você fizer isso à mão. Mas você pode mais ou menos escrever diretamente se você conhece o teorema binomial.

Agora, se tivéssemos uma expressão igual a zero mais 𝑥 à potência de seis, então claramente zero mais 𝑥 é apenas 𝑥, então isso é só 𝑥 elevado a seis. E a expansão binomial disso seria isso. E zero para a potência de um, zero para a potência de dois, e assim por diante são todos zeros, então esses termos são todos multiplicados por zero e se tornam zero. Mas se zero elevado a zero também fosse zero, então o primeiro termo aqui também se tornaria zero, e estaríamos dizendo que zero mais 𝑥 à potência de seis é igual a zero, e isso simplesmente não seria certo. É muito mais fácil definir zero elevado a zero como sendo igual a um, e isso funciona bem.

Agora, existem outras maneiras de contornar esse problema. E esta não é a única razão para escolher definir zero elevado a zero como sendo igual a um, mas é um exemplo. Toda a matemática começa com definições aparentemente sensatas, conhecidas como axiomas. E destes, o resto da matemática é construído. Uma das coisas que foram acordadas ao longo do caminho é que seria útil se zero elevado a zero fosse definido como sendo igual a um.

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