Vídeo: Teorema de De Moivre

Neste vídeo, aprenderemos como aplicar o teorema de De Moivre para simplificar o processo de encontrar potências e raízes de números complexos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como usar o teorema de De Moivre para simplificar as potências e as raízes de números complexos. Aprenderemos o que o teorema indica e de onde ele vem antes de usar o teorema de De Moivre para resolver problemas envolvendo potências e raízes, incluindo aquelas que envolvem outras operações em números complexos.

O teorema de Moivre nos permite calcular as potências de um número complexo escrito na forma polar muito rapidamente. Sabemos que um número complexo escrito na forma polar também pode ser expresso na forma exponencial como 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃. Vamos elevar cada lado dessa equação para a potência de algum valor inteiro. Vamos chamar isso 𝑛. Então podemos dizer que 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 elevado a 𝑛 é igual a 𝑟 cos𝜃 mais 𝑖 sen𝜃 todos elevados a 𝑛.

Como 𝑛 é um valor inteiro, podemos reescrever o lado esquerdo dessa equação como 𝑟 a potência de 𝑛 vezes 𝑒 a potência de 𝑖𝑛𝜃. Mas isso na verdade significa que podemos reescrever o lado direito usando a fórmula de Euler. E nós temos 𝑟 elevado a 𝑛 vezes cos 𝑛𝜃 mais 𝑖 sen 𝑛𝜃. E este é o teorema de De Moivre. Para um valor inteiro 𝑛, 𝑟 cos𝜃 mais 𝑖 sen𝜃 para a potência de 𝑛 é igual a 𝑟 elevado a potência de 𝑛 vezes cos 𝑛𝜃 mais 𝑖 sen 𝑛𝜃.

É importante perceber que isso não é uma prova rigorosa do teorema de De Moivre e que uma prova formal vem de um entendimento mais completo da forma exponencial de um número complexo. No entanto, como mencionado anteriormente, este teorema pode nos permitir calcular facilmente as potências de um número complexo escrito na forma polar. Vamos ver como isso pode ser.

Simplifique a raiz quadrada de cinco vezes cos três 𝜋 sobre 14 mais 𝑖 sen de três 𝜋 sobre 14 elevado a sete vezes raiz de três multiplicada por cos de cinco 𝜋 sobre 22 mais 𝑖 sen de cinco 𝜋 sobre 22 elevado a 11.

Nesta questão, temos o produto de dois números complexos, ambos escritos na forma polar. Para simplificar isso, precisaremos usar o teorema de Moivre para nos ajudar a calcular as potências de cada número complexo antes de encontrar o produto deles. Lembre-se que este teorema diz que, para valores inteiros de 𝑛, um número complexo escrito na forma polar elevado à potência de 𝑛 é igual a 𝑟 à potência de 𝑛 vezes cos 𝑛𝜃 mais 𝑖 sen 𝑛𝜃. Vamos usar isso para calcular nosso primeiro número complexo a potência de sete.

Para este número, 𝑟 é a raiz de cinco e 𝜃 é três 𝜋 sobre 14. Podemos reescrever isto então como raiz de cinco elevado a sete vezes cos de sete multiplicado por três 𝜋 sobre 14 mais 𝑖 sen de sete multiplicado por três 𝜋 sobre 14. Podemos simplificar isso e vemos que o primeiro número complexo elevado à potência de sete é 125 raiz de cinco vezes cos de três 𝜋 sobre dois mais 𝑖 sen de três 𝜋 sobre dois. Da mesma forma, para o nosso segundo número complexo, elevamos o módulo que é a raiz de três para a potência de 11. E obtemos 243 raiz de três. E multiplicamos o argumento — isso é cinco 𝜋 sobre 22 por 11 — e isso nos dá cinco 𝜋 sobre dois.

Nosso último passo é encontrar o produto desses dois números complexos. Para multiplicar números complexos, multiplicamos seus módulos e adicionamos seus argumentos. 125 raiz de cinco multiplicado por 243 raiz de três é 30375 raiz de 15. E se somarmos seus argumentos, obtemos quatro 𝜋 e podemos ver que nosso número complexo pode ser expresso como 30375 raiz de 15 vezes cos quatro 𝜋 mais 𝑖 sen quatro 𝜋. Na verdade, podemos simplificar isso um pouco mais, pois cos quatro 𝜋 é um e sen de quatro 𝜋 é zero. Portanto, nossa resposta final é 30375 raiz de 15. Em nosso próximo exemplo, demonstraremos como usar o teorema de Moivre para simplificar o quociente de potências de números complexos.

Simplifique 18 vezes menos 𝑖 mais um elevado a 39 dividido por 𝑖 mais um elevado a 41.

Aqui temos o quociente de dois números complexos individualmente elevados a potência de 39 e 41. Podemos usar o teorema de De Moivre para calculá-los apenas quando eles estiverem na forma polar ou exponencial. Então, vamos começar escrevendo menos 𝑖 mais um e 𝑖 mais um na forma polar. Para fazer isso, precisamos saber o valor de seus módulos e argumentos. O módulo é bastante simples. Calculamos a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes reais e imaginárias desse número.

Então o módulo de menos 𝑖 mais um é a raiz quadrada de um ao quadrado mais menos um ao quadrado que é a raiz dois. Da mesma forma, para 𝑖 mais um, isso também é raiz dois. Mas e os argumentos deles? Vamos considerar isso individualmente. Menos 𝑖 mais um tem uma parte real positiva e uma parte imaginária negativa. Então deve estar no quarto quadrante. Podemos, portanto, encontrar seu argumento usando a fórmula do arctg da parte imaginária dividida pela parte real. Esse é o arctg de menos um dividido por um que é menos 𝜋 sobre quatro.

𝑖 mais um encontra-se no primeiro quadrante. Então podemos usar a mesma fórmula. É o arctg de um dividido por um que é 𝜋 sobre quatro. E podemos ver que temos nossos dois números complexos escritos na forma polar. Eu os substituí de volta em nossa fração. O que vamos fazer em seguida é calcular o número complexo no numerador para a potência de 39 e o do denominador para a potência de 41.

Usando o teorema de De Moivre, no numerador, temos a raiz quadrada de dois elevado a 39 vezes cos de 39 multiplicado por menos 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de 39 multiplicado por menos 𝜋 sobre quatro. E no denominador, o módulo é a raiz de dois elevado a 41 e o argumento é 41 vezes 𝜋 sobre quatro. Nós realmente não precisamos calcular isso ainda. Em vez disso, lembramos o fato de que, para dividir dois números complexos na forma polar, dividimos seus módulos e subtraímos seus argumentos.

Dividindo seus módulos e vemos que ficamos com 18 sobre a raiz de dois ao quadrado, que é nove. Então, subtraindo seus argumentos, temos um argumento de menos 20𝜋. Agora, cos de menos 20𝜋 é um e sen de menos 20𝜋 é zero. Então ficamos com nove.

Agora, você provavelmente percebeu que podemos generalizar as propriedades do módulo e o argumento para potências inteiras de 𝑛. Para um número complexo 𝑧 e valores inteiros de 𝑛, o módulo de 𝑧 para a potência de 𝑛 é o mesmo que o módulo de 𝑧 para a potência de 𝑛. E o argumento de 𝑧 para a potência de 𝑛 é o mesmo que 𝑛 vezes o argumento de 𝑧.

E, de fato, também é útil saber que podemos generalizar o teorema de Moivre para um número complexo e seu conjugado. Não temos tempo para demonstrar de onde isso vem neste vídeo. Mas é útil saber que, para o conjugado de 𝑧, que é denotado aqui por 𝑧 estrela, o conjugado de 𝑧 para a potência de 𝑛 é igual ao conjugado de 𝑧 para a potência de 𝑛. Essa fórmula pode ser realmente útil para nos ajudar a resolver problemas nos quais talvez não queiramos usar o teorema de De Moivre completamente. Vamos ver como isso poderia ser.

Dado que 𝑧 é igual a raiz de três menos 𝑖 à potência de 𝑛 e o módulo de 𝑧 é igual a 32, determine o argumento principal de 𝑧.

O argumento principal de 𝑧 é o valor de 𝜃 tal que 𝜃 é maior que menos 𝜋 e menor ou igual a 𝜋. Para responder a essa pergunta, vamos relembrar as propriedades do módulo. Sabemos que o módulo de 𝑧 é igual a 32. Portanto, podemos dizer que o módulo de raiz de três menos 𝑖 elevado a 𝑛 é igual a 32. Usando as propriedades do módulo, podemos reescrever isso. E podemos dizer que o módulo de raiz de três menos 𝑖 todos elevados a 𝑛 é igual a 32.

O módulo de raiz de três menos 𝑖 é a raiz quadrada da raiz de três ao quadrado mais menos um ao quadrado. E isso é simplesmente dois. Podemos dizer então que dois elevado a 𝑛 é igual a 32. E sabemos que dois elevado a cinco é 32. Então 𝑛 deve ser igual a cinco. Nós podemos agora reescrever nosso número complexo como raiz de três menos 𝑖 todos elevados a cinco. Recordamos então a regra de que o argumento de 𝑧 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 vezes o argumento de 𝑧. Isto significa que o argumento de 𝑧 ou o argumento da raiz de três menos 𝑖 elevado a cinco é cinco vezes o argumento da raiz de três menos 𝑖.

Agora, a raiz de três menos 𝑖 está no quarto quadrante quando desenhada no diagrama de Argand. E isso é porque sua parte real é positiva e sua parte imaginária é negativa. E podemos encontrar o argumento da raiz de três menos 𝑖 usando a fórmula do arctg da parte imaginária dividida pela parte real. Isso é arctg de menos um sobre raiz de três. Isso é menos 𝜋 sobre seis. Assim, podemos ver que o argumento de 𝑧 é cinco multiplicado por menos 𝜋 sobre seis que é menos cinco 𝜋 sobre seis. Isto satisfaz os critérios de ser menor ou igual a 𝜋 e maior ou igual a menos 𝜋. Então encontramos o argumento principal de 𝑧. É menos cinco 𝜋 sobre seis.

Para o nosso exemplo final, vamos ver como usar o teorema de Moivre para encontrar raízes. O teorema de De Moivre para raízes diz que para um número complexo 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, suas 𝑛 raízes são 𝑟 à potência de um sobre 𝑛 vezes cos 𝜃 mais dois 𝜋 𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen de 𝜃 mais dois 𝑘 sobre 𝑛. E 𝑘 toma valores inteiros de zero a 𝑛 menos um.

Encontre as raízes quartas de menos um, dando suas respostas na forma trigonométrica.

O teorema de Moivre para raízes diz que a 𝑛-ésima raiz de um número complexo escrito na forma polar é 𝑟 elevado a um sobre 𝑛 vezes cos de 𝜃 mais dois 𝜋 𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen de 𝜃 mais dois 𝜋 𝑘 sobre 𝑛, onde 𝑘 assume valores inteiros de zero a 𝑛 menos um. Portanto, precisamos expressar menos um na forma polar. O módulo de menos um é um e seu argumento é 𝜋. Na forma polar, então, menos um é o mesmo que cos 𝜋 mais 𝑖 sen 𝜋.

Aplicando a regra de raízes de Moivre, podemos ver que as raízes quartas de menos um são cos de 𝜋 mais dois 𝜋 𝑘 sobre quatro mais 𝑖 sen de 𝜋 mais dois 𝜋 𝑘 sobre quatro, onde 𝑘 assume valores de zero a três. Começaremos considerando a raiz quando 𝑘 for igual a zero. Quando 𝑘 é zero, nossa raiz é cos de 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de 𝜋 sobre quatro. Quando 𝑘 é um, nossa raiz é cos 𝜋 mais dois 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de 𝜋 mais dois 𝜋 sobre quatro, o que simplifica para cos de três 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de três 𝜋 sobre quatro.

Quando 𝑘 é dois, obtemos cos de 𝜋 mais quatro 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de 𝜋 mais quatro 𝜋 sobre quatro. E isso nos deixa com um argumento de cinco 𝜋 sobre quatro. Mas esse argumento não está no intervalo do argumento principal. Lembre-se que podemos adicionar ou subtrair múltiplos de dois 𝜋 para conseguir isso. Desta vez, subtraímos dois 𝜋 e recebemos um argumento de menos três 𝜋 sobre quatro. Portanto, a nossa terceira raiz é cos de menos três 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de menos três 𝜋 sobre quatro.

Então, quando 𝑘 é igual a três, o argumento é 𝜋 mais seis 𝜋 sobre quatro. Isso é sete 𝜋 sobre quatro, o que mais uma vez está fora do intervalo do argumento principal. Nós subtraímos dois 𝜋 e obtemos o argumento principal para que essa raiz seja menos 𝜋 sobre quatro. Então, nossa quarta raiz é cos de menos 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de menos 𝜋 sobre quatro.

Agora, a razão pela qual paramos aqui é porque o teorema de raízes de Moivre diz que 𝑘 leva valores de zero a 𝑛 menos um. Além do fato de que sabemos que a raiz quarta de menos um nos dá quatro raízes, vamos dar uma olhada no motivo pelo qual paramos em menos um para 𝑘. Vejamos o que teria acontecido se tivéssemos tentado calcular a raiz quando 𝑘 é igual a quatro.

Nós teríamos cos 𝜋 mais oito 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de 𝜋 mais oito 𝜋 sobre quatro. Isso nos daria um argumento de nove 𝜋 sobre quatro, o que mais uma vez está fora do alcance do argumento principal. Subtraindo dois 𝜋 de nove 𝜋 sobre quatro temos 𝜋 sobre quatro. Agora, você pode ver que quando 𝑘 é igual a quatro, obtemos o mesmo resultado que quando 𝑘 é igual a zero. Então, precisamos apenas dos quatro valores de 𝑘: zero, um, dois e três.

E usamos o teorema de Moivre para encontrar as raízes quartas de menos um. Elas são cos de 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen 𝜋 sobre quatro, cos de três 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de três 𝜋 sobre quatro, cos de menos três 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de menos três 𝜋 sobre quatro, e cos de menos 𝜋 sobre quatro mais 𝑖 sen de menos 𝜋 sobre quatro.

Neste vídeo, vimos que o teorema de De Moivre diz que podemos elevar um número complexo escrito na forma polar a uma potência inteira de 𝑛 usando a fórmula 𝑟 elevado a 𝑛 vezes cos de 𝑛 𝜃 mais 𝑖 sen de 𝑛 𝜃. Também vimos que o teorema de De Moivre se estende a encontrar as 𝑛-ésimas raízes de números complexos. Nós calculamos 𝑟 elevado a um sobre 𝑛 vezes cos de 𝜃 mais dois 𝜋 𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen de 𝜃 mais dois 𝜋 𝑘 sobre 𝑛, onde 𝑘 toma valores inteiros de zero a 𝑛 menos um.

E, é claro, afirmamos explicitamente ao longo deste vídeo que o teorema de Moivre é usado para calcular as 𝑛-ésimas raízes e as potências inteiras. Mas, na verdade, não podemos presumir que isso se aplica a expoentes reais ou complexos.

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