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Vídeo: Como Contestar o Último Teorema de Fermat

Neste vídeo, aprenderemos sobre como Homer Simpson aparentemente contestou o Último Teorema de Fermat com um exemplo inteligente.

09:20

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos dar uma olhada em como pronunciar o nome deste homem, e vamos falar sobre seu último teorema e a prova de Homer Simpson por contra-exemplo de que, de fato, estava errado.

Mas antes de fazermos tudo isso, vamos pensar no teorema Pitagórico ou no teorema de Pitágoras, como é bem conhecido. Em um triângulo retângulo, o quadrado do lado maior é igual à soma dos quadrados dos outros lados. Portanto, neste diagrama, se 𝑎 é o comprimento deste lado, 𝑏 é o comprimento deste lado, e 𝑐 é o comprimento deste lado, então 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. Agora há muitas provas de que isso é verdade, até mesmo um presidente americano, James Garfield, escreveu uma boa prova na década de 1870.

Agora vamos nos concentrar em alguns casos especiais do teorema de Pitágoras em que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 se tornam números inteiros, e os chamamos de trincas pitagóricas.

Por exemplo, se o lado 𝑎 era três unidades, o lado 𝑏 era quatro unidades e o lado 𝑐 cinco unidades, isso nos daria três ao quadrado mais quatro ao quadrado igual a cinco ao quadrado. E três ao quadrado é nove, quatro ao quadrado é 16, cinco ao quadrado é 25, e nove mais 16 são de fato igual a 25. Então três, quatro e cinco são todos inteiros, e eles fazem uma trinca pitagórica. De fato, há um número infinito de trincas pitagóricas, e existe até um pequeno método para gerá-las.

Comece com um par de inteiros, 𝑚 e 𝑛, onde 𝑚 é maior que 𝑛 e 𝑛 é maior que zero. Então, deixe 𝑎 igual 𝑚 ao quadrado menos 𝑛 ao quadrado, 𝑏 igual a duas vezes 𝑚 vezes 𝑛 e 𝑐 igual 𝑚 ao quadrado mais 𝑛 ao quadrado. Então, 𝑎, 𝑏 e 𝑐 serão uma trinca pitagórica. Então, por exemplo, se dissermos que 𝑚 era 10 e 𝑛 era três, então 𝑎 seria 10 ao quadrado menos três ao quadrado, então isso é 100 menos nove que é 91, 𝑏 seria duas vezes 10 vezes três que é 60 e 𝑐 seria 10 ao quadrado mais três ao quadrado que é 109. E se nós apenas verificarmos que eles funcionam, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado, obtemos 91 ao quadrado mais 60 ao quadrado igual a 109 ao quadrado. E sim, isso funciona.

Mas não há nada de novo aqui. Sabemos sobre o teorema de Pitágoras e as trincas pitagóricas há muito tempo. De fato, na década de 1630, Pierre de Fermat estava lendo sobre eles em sua cópia da aritmética de Diofante de Alexandria, e isso foi escrito no século III D.C. Ahaa, então lá vamos nós, nós cobrimos o primeiro dos nossos objetivos. Muitas pessoas o chamam de “Fermat”, mas seu nome verdadeiro é Pierre de Fermat.

Agora, isso fez Fermat pensar, se ele poderia encontrar soluções inteiras semelhantes a equações como 𝑎 ao cubo mais 𝑏 ao cubo igual a 𝑐 ao cubo, ou 𝑎 elevado a quatro mais 𝑏 elevado a quatro igual a 𝑐 elevado a quatro. Mas depois de muita tentativa, ele só conseguiu encontrar soluções triviais onde um ou mais de 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 era zero. Por exemplo: 𝑎 é zero, 𝑏 é cinco, 𝑐 é cinco. Então Fermat escreveu essa conjectura na margem de sua cópia da Aritmética, embora ele a tenha escrito em latim: “É impossível separar um cubo em dois cubos, ou uma quarta potência em duas quartas potências, ou, em geral, qualquer potência superior a dois, em duas potências semelhantes.” Ou, como poderíamos dizer, não existem soluções inteiras para 𝑎 à potência de 𝑛 mais 𝑏 à potência de 𝑛 igual a 𝑐 à potência de 𝑛, onde 𝑛 é maior que dois.

Em seguida, ele adicionou à página: “Eu descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa de que esta margem é muito estreita para conter.” E isso intrigou os matemáticos durante séculos. Muitos tentaram e não conseguiram encontrar essa prova. Mas não foi até outubro de 1994 que uma prova real foi apresentada por Andrew Wiles, 358 anos após a conjectura ter sido feita. Agora, enquanto a prova de Andrew Wiles é certamente maravilhosa, não é a que Fermat tinha em mente. Refere-se a várias vertentes da matemática que não eram conhecidas nos dias de Fermat. Então talvez ainda haja um desafio para você, encontre a prova original.

Então, para resumir as coisas, foi provado que 𝑎 elevado a 𝑛 mais 𝑏 elevado a 𝑛 é igual a 𝑐 elevado a 𝑛 não tem soluções inteiras não-triviais para 𝑛 maior que dois.

Então, no episódio de 1998 de Os Simpsons, chamado O Feiticeiro de Evergreen Terrace, Homer escreve isso em seu quadro: 3987 elevado a 12 mais 4365 elevado a 12 é 4472 elevado a 12. Experimente na sua calculadora. Digite 3987 elevado a 12 mais 4365 elevado a 12, e então pegue a 12ª raiz dessa resposta e, a menos que você tenha uma calculadora muito sofisticada, ela provavelmente dará a resposta 4472. Funciona! Homer contestou o último teorema de Fermat ao encontrar um contra-exemplo.

Agora, a diferença entre provar e contestar algo pode ser enorme. Para provar que algo é verdade, você precisa provar isso para cada caso possível. Mas para contestar isso, você só precisa criar um contra-exemplo. Portanto, neste contra-exemplo, parece que Homer Simpson contestou o último teorema de Fermat e derrubou a prova de Andrew Wiles; ou ele teria? Bem, a questão aqui é que a maioria das calculadoras possui apenas um certo número de dígitos significativos, geralmente 10.

Assim, por exemplo, 3987 elevado a 12 seria salvo como 1,613447461 vezes 10 elevado a 43. Agora é 16 134 474 61 com 34 zeros depois dele. A calculadora perdeu a conta de muitos dígitos e armazenou uma resposta que não é totalmente precisa. Agora, a resposta real é essa, e você pode ver que há uma grande diferença em termos desses dígitos. E o resultado preciso para a raiz 12 de 3987 elevado a 12 mais 4365 elevado a 12 é isso. Mas como nossa calculadora tem apenas 10 algarismos significativos, achamos que a resposta foi essa, que é 4472.

Olhe, se fizermos o cálculo com precisão, obtemos isso para o lado esquerdo e isso para o lado direito. E a diferença é mais de um decilhão. Agora, sua calculadora não a detectou, porque estava concentrada apenas nesses 10 números significativos aqui em cima, e todos são exatamente iguais. Agora, uma coisa que eu particularmente gosto neste exemplo, é que mesmo que você verifique os últimos dígitos, eles concordam.

Assim, por exemplo, se você perceber que as limitações significativas da calculadora estavam impedindo você de obter uma resposta precisa, você poderia pelo menos verificar o valor do último dígito. E se eles não fossem os mesmos do lado esquerdo e do lado direito, então você saberia que isso não era verdade.

Vamos dar uma olhada no que o último dígito desse cálculo será. Bem, o último dígito virá da multiplicação de sete por si mesmo 12 vezes. E sete vezes sete é 49, então o último dígito disso é nove. E nove vezes sete é 63, e o último dígito disso é três. Três vezes sete é 21, e o último dígito disso é um. Uma vez sete é sete; obviamente, o último dígito disso é sete. Então voltamos para sete vezes sete é 49 e o último dígito é nove. Nove vezes sete á 63, o último dígito é três. Três vezes sete tem um último dígito de um. Uma vez sete tem um último dígito de sete. Sete vezes sete tem um último dígito de nove. Nove vezes sete tem um último dígito de três e três vezes sete tem um último dígito de um.

E para o próximo número, vamos obter o último dígito, multiplicando 12 cincos. Agora, obviamente, cinco vezes cinco é 25, que tem um último dígito de cinco, e vamos usar o mesmo padrão. Isso vai acabar em cinco. Então o último dígito do lado esquerdo será um mais cinco, que é seis. Então, se seguirmos o mesmo procedimento para o lado direito, também descobriremos que ele tem um último dígito de seis. Agora, se tivessem dígitos diferentes, saberíamos imediatamente que este exemplo não funcionou.

De fato, em outro episódio de Os Simpsons, eles mostraram este exemplo que funciona na sua calculadora, mas você pode identificar imediatamente um problema porque o primeiro número elevado a 12 será terminado em um dígito par, o segundo número elevado a 12 vai ser ímpar, mas o último dígito do número no lado direito deve ser par. Agora, quando você adiciona um número par a um número ímpar, o resultado é ímpar. Então o lado esquerdo tinha um último dígito ímpar, mas o lado direito tinha um último dígito par. Isso claramente não ia funcionar.

Então, para resumir tudo, falamos sobre o teorema de Pitágoras, como pronunciar Fermat e falamos sobre o último teorema de Fermat. E embora seu exemplo fosse muito inteligente, Homer Simpson não contestou o último teorema de Fermat.