Pop Video: Produtos Externos

Video Transcript

No último vídeo, eu falei sobre o produto interno, mostrando a introdução padronizada ao tópico como também uma visão mais aprofundada de como se relaciona com transformações lineares.

Eu gostaria de fazer a mesma coisa para os produtos externos, que também têm uma introdução padronizada seguida de um entendimento mais aprofundado à luz das transformações lineares. Mas desta vez, vou separá-los em dois vídeos.

Aqui, tentarei atingir os pontos principais que os alunos costumam mostrar sobre o produto externo. No próximo vídeo, mostrarei uma visualização, que é menos comumente ensinada, mas realmente satisfatória quando a aprende.

Vamos começar com duas dimensões. Se tiver dois vetores 𝐕 e 𝐖, pense no paralelogramo por eles formado. O que quero dizer com isso é que se considerar uma cópia de 𝐕 e mover o seu ponto inicial para o final de 𝐖 e considerar uma cópia de 𝐖 e mover o seu ponto inicial para o final de 𝐕, os quatro vetores agora no ecrã encerram um paralelogramo.

O produto externo de 𝐕 e 𝐖, escrito com o símbolo de multiplicação em forma de x, é a área deste paralelogramo, bem, quase. Nós também precisamos de considerar a orientação.

Basicamente, se 𝐕 está para a direita de 𝐖, então 𝐕 externo 𝐖 é positivo e igual à área do paralelogramo. Mas se 𝐕 está para a esquerda de 𝐖, então o produto externo é negativo, ou seja, a área negativa desse paralelogramo.

Observe que isto significa que a ordem é importante. Se trocou 𝐕 e 𝐖, em vez de 𝐖 externo 𝐕, o produto externo se tornaria negativo de qualquer coisa que viesse antes. A maneira que eu tenho de me lembrar da ordenação é que quando considera o produto externo dos dois vetores da base por ordem, 𝑖‐chapéu externo 𝑗-chapéu, o resultado deve ser positivo.

De facto, a ordem dos seus vetores da base é o que define a orientação. Ora, como o 𝑖‐chapéu está à direita do 𝑗-chapéu, lembro que 𝐕 externo 𝐖 tem que ser positivo sempre que 𝐕 estiver à direita de 𝐖.

Assim, por exemplo, com o vetor aqui apresentado, direi apenas que a área deste paralelogramo é sete. E como 𝐕 está à esquerda de 𝐖, o produto externo deve ser negativo, então 𝐕 externo 𝐖 é menos sete. Mas é claro que quer ser capaz de calculá-lo sem que alguém lhe diga a área. É aí que entra o determinante.

Portanto, se não viu o Capítulo cinco desta série, onde falo sobre o determinante, agora seria um bom momento para o ver. Mesmo que o tenha visto, mas foi há um tempo atrás, eu recomendo dar outra espreitadela apenas para ter certeza de que estas ideias estão frescas na sua mente.

Para o produto externo 2D 𝐕 externo 𝐖, o que faz é escrever as coordenadas de 𝐕 na primeira coluna de uma matriz e considerar as coordenadas de 𝐖 e transformá-las na segunda coluna; a seguir calcula apenas o determinante.

Isso acontece porque uma matriz cujas colunas representam 𝐕 e 𝐖 corresponde a uma transformação linear que move os vetores base 𝑖‐chapéu e 𝑗-chapéu para 𝐕 e 𝐖. O determinante é tudo sobre a medição de como as áreas mudam devido a uma transformação. E a área prototípica que devemos olhamos é a unidade quadrada que descansa em 𝑖-chapéu e 𝑗-chapéu.

Após a transformação, este quadrado é transformado no paralelogramo que nos interessa. Assim, o determinante, que geralmente mede o fator pelo qual as áreas são alteradas, fornece a área desse paralelogramo, já que evoluiu de um quadrado que começou com a área um.

Além disso, se 𝐕 estiver à esquerda de 𝐖, significa que a orientação foi invertida durante essa transformação, que é o que significa que o determinante é negativo.

Por exemplo, digamos que 𝐕 tenha coordenadas menos três, uma e 𝐖 tenha coordenadas dois, um. O determinante da matriz com as coordenadas como colunas é menos três vezes um menos dois vezes um, que é menos cinco. Então, evidentemente, a área do paralelogramo que definimos é cinco.

E como 𝐕 está à esquerda de 𝐖, deve fazer sentido que este valor seja negativo. Como acontece com qualquer nova operação que aprenda, eu recomendo brincar com esta noção um pouco na sua cabeça apenas para ter uma ideia intuitiva do que é o produto externo.

Por exemplo, pode notar que quando dois vetores são perpendiculares ou pelo menos próximos de serem perpendiculares, o seu produto externo é maior do que seria se estivessem a apontar em direções muito semelhantes, porque a área desse paralelogramo é maior quando os lados estão mais perto de serem perpendicular.

Outra coisa que pode notar é que, se multiplicar um desses vetores, talvez multiplicando 𝐕 por três, a área deste paralelogramo também será ampliada um fator de três. Então, o que isto significa para a operação é que três 𝐕 externo 𝐖 será exatamente três vezes o valor de 𝐕 externo 𝐖.

Agora, apesar de tudo isto ser uma operação matemática perfeitamente boa, o que acabei de descrever não é tecnicamente o produto externo. O verdadeiro produto externo é algo que combina dois vetores 3D diferentes para obter um novo vetor 3D.

Assim como antes, vamos ainda considerar o paralelogramo formado pelos dois vetores que se cruzavam. E a área deste paralelogramo ainda vai desempenhar um grande papel. Para ser concreto, digamos que a área é 2.5 para os vetores aqui apresentados, mas, como eu disse, o produto externo não é um número; é um vetor.

A norma deste novo vetor será a área deste paralelogramo, que neste caso é 2.5. E a direção deste novo vetor será perpendicular ao paralelogramo. Mas que direção, certo? Quer dizer, existem dois vetores possíveis com norma 2.5 que são perpendiculares a um dado plano.

É aqui que entra a regra da mão direita. Aponte o dedo indicador da mão direita na direção de 𝐕; depois, estique o dedo do meio na direção de 𝐖. Assim, quando aponta o polegar, essa é a direção do produto externo.

Por exemplo, digamos que 𝐕 era um vetor com norma dois a apontar para cima na direção do eixo O𝑧 e 𝐖 é um vetor com norma dois a apontar na direção do eixo O𝑦. O paralelogramo que estes definem neste exemplo simples é na verdade um quadrado, pois são perpendiculares e têm o mesmo comprimento. E a área deste quadrado é quatro. Portanto, o seu produto externo deve ser um vetor com norma quatro.

Utilizando a regra da mão direita, o seu produto externo deve apontar na direção negativa de O𝑥. Portanto, o produto externo destes dois vetores é menos quatro vezes 𝑖-chapéu.

Para cálculos mais gerais, existe uma fórmula que pode memorizar se quiser, mas é comum e mais fácil lembrar de um determinado processo que envolve o determinante 3D. Agora, este processo parece realmente estranho no início. Escreve uma matriz 3D onde a segunda e a terceira colunas contêm as coordenadas de 𝐕 e 𝐖. Mas para a primeira coluna, escreve os vetores da base 𝑖-chapéu, 𝑗-chapéu e 𝑘-chapéu. Depois, calcula o determinante desta matriz.

A tolice é provavelmente clara aqui. O que raio significa colocar um vetor como entrada de uma matriz? Os alunos costumam dizer que isso é apenas um truque de notação. Quando executa os cálculos como se 𝑖-chapéu, 𝑗-chapéu e 𝑘-chapéu fossem números, obtém uma combinação linear desses vetores da base. E o vetor definido por essa combinação linear, os alunos são instruídos a acreditar, é o único vetor perpendicular a 𝐕 e 𝐖 cuja magnitude é a área do paralelogramo apropriado e cuja direção obedece à regra da mão direita.

E, com certeza, em certo sentido, isso é apenas um truque de notação. Mas há uma razão para fazer isto. Não é apenas uma coincidência que o determinante seja, mais uma vez, importante. E colocar os vetores da base nestes termos não é apenas uma coisa assim tão aleatória.

Para entender de onde tudo isto vem, é útil utilizar a ideia de dualidade que introduzi no último vídeo. No entanto, este conceito é um pouco pesado, por isso vou colocá-lo num vídeo complementar para qualquer um de vocês que esteja curioso para saber mais.

Indiscutivelmente, fica fora da essência da álgebra linear. A parte importante aqui é saber o que este vetor de produto externo representa geometricamente. Então, se quiser passar para o próximo vídeo, fique à vontade. Mas para aqueles de vocês que estão dispostos a ir um pouco mais fundo e que estão curiosos sobre a conexão entre este cálculo e a geometria subjacente, as ideias sobre as quais falarei no próximo vídeo são apenas uma parte realmente elegante da matemática.