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Neste vídeo, aprenderemos como identificar acontecimentos mutuamente exclusivos e determinar as suas probabilidades. Antes de começarmos, deve certificar-se de que já está familiarizado com a forma de determinar probabilidades de acontecimentos simples e as regras básicas das probabilidades. Começaremos por recapitular algumas das notações de que precisaremos ao longo deste vídeo. Também utilizaremos diagramas de Venn para ajudar a ilustrá-los. Mas se não está familiarizado com os diagramas de Venn, não se preocupe. Não é essencial para este tópico.
Para descrever a probabilidade de um único acontecimento 𝐴 ocorrer, utilizamos a notação 𝑃 de 𝐴, e às vezes também podemos vê-la escrita com 𝑝 minúsculo. Utilizamos a notação 𝐴 barra ou 𝐴 linha para representar o complementar do acontecimento 𝐴. O complementar de um acontecimento são todos os resultados de um espaço de resultados que não fazem parte do próprio acontecimento. Assim, por exemplo, no caso de lançar um dado de seis lados, o complementar do acontecimento obter um seis é todos os outros resultados. Então, isto é obter qualquer um dos números de um a cinco. Também é importante recordar que a soma das probabilidades de um acontecimento e o seu complementar é igual a um, pois, juntos, o acontecimento e o seu complementar cobrem todo o espaço de resultados sem sobreposição.
Se tivermos dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵, utilizamos esta notação aqui para representar a probabilidade do acontecimento 𝐴 ou do acontecimento 𝐵 ocorrerem, se possível. Este símbolo aqui é o símbolo de uma união, com o qual já deve estar familiarizado pela notação de conjuntos. Podemos ler isto como a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 ou pode ler isto como a probabilidade de 𝐴 ou 𝐵. Novamente, para dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵, a probabilidade de que ambos os acontecimentos ocorram é representada utilizando esta notação aqui. Isto chama-se interseção de dois acontecimentos, então podemos ler isto como a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 ou a probabilidade de 𝐴 e 𝐵.
Finalmente, o acontecimento 𝐴 menos 𝐵 contém todos os elementos no espaço de resultados que pertencem a 𝐴, mas não pertencem a 𝐵. Isto é equivalente à interseção do acontecimento 𝐴 com o complementar do acontecimento 𝐵. Utilizando o nosso exemplo novamente, se 𝐴 é o conjunto dos resultados que são números primos, então são dois, três e cinco, e 𝐵 é o conjunto dos resultados que são números pares, então são dois, quatro e seis, então 𝐴 menos 𝐵 é o conjunto que contém os elementos três e cinco. São todos os elementos que estão no conjunto 𝐴 mas não estão no conjunto 𝐵. Então, removemos o elemento dois porque também está no conjunto 𝐵.
Devemos lembrar uma regra-chave aqui que, em geral, a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade da interseção de 𝐴 e 𝐵. Precisamos de utilizar cada uma destas notações e regras ao longo dos nossos exemplos. Portanto, se houver algum com o qual ainda não esteja familiarizado, anote-o agora. Agora vamos para a nova parte, que é este termo mutuamente exclusivo. Informalmente, dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são considerados mutuamente exclusivos se não puderem acontecer ao mesmo tempo ou, poderíamos dizer, se a ocorrência de um impedir a ocorrência do outro. Essencialmente, o que queremos dizer é que não há sobreposição entre os dois acontecimentos.
Por exemplo, num dado, o número de acontecimentos é menor do que dois e o número é maior do que quatro são mutuamente exclusivos, pois não há sobreposição entre estes dois acontecimentos; não há números no dado ou em qualquer lugar que seja simultaneamente menor do que dois e maior do que quatro. Mais formalmente, dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos se 𝐴 interseção 𝐵 for igual ao conjunto vazio 𝜙. Isto significa que a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é zero porque é impossível que ambos os acontecimentos ocorram. Se estivermos a utilizar um diagrama de Venn para pensar em acontecimentos mutuamente exclusivos, precisamos de representá-los utilizando círculos separados porque, como vimos, não há interseção entre os dois acontecimentos. Vamos considerar um exemplo simples disso.
Se um dado for lançado uma vez, qual é a probabilidade de obter um número ímpar e um número par juntos?
Os acontecimentos nesta questão são mutuamente exclusivos, pois estes dois acontecimentos não podem acontecer simultaneamente. Não há números pares e ímpares. A interseção destes dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto vazio. Como não há elementos no conjunto 𝐴 interseção 𝐵, a probabilidade de isto ocorrer é zero. É impossível ter um número par e ímpar.
Então, vimos que para acontecimentos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ambos os acontecimentos ocorrerem ou a probabilidade da sua interseção é zero. Mas e a probabilidade de um acontecimento ou outro ocorrer? Bem, vamos pensar num dado novamente para ver se podemos chegar a uma regra.
Seja 𝐴 o acontecimento em que o número é ímpar e 𝐵 o acontecimento em que o número é seis. Estes dois acontecimentos são mutuamente exclusivos, pois seis não é um número ímpar, portanto não podem ocorrer ao mesmo tempo. A lista de todos os resultados possíveis no espaço de resultados é composta por números inteiros de um a seis. E como estamos a assumir que este dado é justo, cada resultado é igualmente provável, então tem uma probabilidade de um sexto. Existem três números ímpares no dado, então a probabilidade do acontecimento 𝐴 é de três sextos. Há apenas um seis no dado, então a probabilidade do acontecimento 𝐵 é de um sexto.
Quando consideramos 𝐴 união 𝐵, que podemos pensar como 𝐴 ou 𝐵, estamos interessados em qualquer resultado que faça parte do acontecimento 𝐴 ou do acontecimento 𝐵. Portanto, este é qualquer resultado que circulámos, independentemente da cor que utilizámos. Quatro dos seis resultados estão circulados, então a probabilidade é de quatro sextos. Pode notar que isto é igual à soma das probabilidades individuais para os acontecimentos 𝐴 e 𝐵, e isto não é coincidência. Isto ilustra, mas não prova o que chamamos de regra da adição para acontecimentos mutuamente exclusivos. A probabilidade da união de 𝐴 e 𝐵, que também podemos pensar como a probabilidade de 𝐴 ou 𝐵, é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵.
Também podemos visualizar isto num diagrama de Venn, se ajudar. Como os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, nós representamo-los utilizando dois círculos separados. E se pensarmos em cada círculo como a representar uma probabilidade, então a probabilidade total do acontecimento 𝐴 ou acontecimento 𝐵 ocorrer pode ser determinada adicionando as probabilidades individuais. Agora é importante lembrar que só podemos aplicar esta regra para acontecimentos mutuamente exclusivos. Se os acontecimentos envolvidos não fossem mutuamente exclusivos, teríamos círculos sobrepostos no nosso diagrama de Venn e, portanto, precisaríamos de uma regra diferente.
Agora poderá conseguir determinar como podemos ajustar a regra da adição para acontecimentos não mutuamente exclusivos. Mas isto está além do âmbito deste vídeo. Vamos agora considerar um exemplo de como podemos aplicar a regra da adição para acontecimentos mutuamente exclusivos.
Dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 mutuamente exclusivos têm probabilidades, a probabilidade de 𝐴 igual a uma décima e a probabilidade de 𝐵 igual a um quinto. Determine a probabilidade de 𝐴 união 𝐵.
Estes dois acontecimentos são mutuamente exclusivos e, portanto, podemos recordar a regra da adição. A probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é a soma das probabilidades individuais. É a probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵. Para esta questão, então, temos que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é uma décima mais um quinto. Escrevemos esta fração de um quinto como uma fração equivalente com o denominador de 10. É duas décimas. E, em seguida, somar as duas probabilidades dá três décimas. Aplicando a regra da adição para acontecimentos mutuamente exclusivos, descobrimos que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é de três décimas.
No nosso próximo exemplo, veremos como podemos aplicar esta regra de adição a um problema um pouco mais complexo.
Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam dois acontecimentos mutuamente exclusivos. Dado que a probabilidade de 𝐴 barra é 0.61 e a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é 0.76, determine a probabilidade de 𝐵.
Lembre-se, antes de mais, que 𝐴 barra significa o complementar do acontecimento 𝐴 e que a notação para uma união significa que estamos a olhar para 𝐴 ou 𝐵. Como estes dois acontecimentos são mutuamente exclusivos, podemos recordar a regra da adição. A probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵. Sabemos a probabilidade de 𝐴 união 𝐵. Nós temos isto na questão; é 0.76. E é a probabilidade de 𝐵 que queremos determinar. Mas, para fazer isto, precisamos primeiro de calcular a probabilidade de 𝐴.
Podemos resolver isto se lembrarmos que a soma das probabilidades de um acontecimento e o seu complementar é sempre um. Temos então que a probabilidade de 𝐴 mais 0.61, que é a probabilidade dada na questão para a probabilidade do complementar de 𝐴, é um. E assim, a probabilidade de 𝐴 é um menos 0.61, que é 0.39. Substituindo novamente a nossa regra da adição, temos 0.76 igual a 0.39 mais a probabilidade de 𝐵. Portanto, a probabilidade de 𝐵 é 0.76 menos 7.39, que é 0.37. Lembre-se, só pudemos aplicar esta regra da adição porque os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 eram mutuamente exclusivos.
No nosso próximo problema, precisaremos da aplicação de uma das leis de De Morgan. Isto diz-nos que para quaisquer acontecimentos 𝐴 e 𝐵, que não precisam de ser mutuamente exclusivos, a união de 𝐴 complementar e 𝐵 complementar é equivalente ao complementar da interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵. Pode ser útil visualizar isto num diagrama de Venn. E lembre-se, os acontecimentos não precisam de ser mutuamente exclusivos aqui. 𝐴 complementar é qualquer coisa que não esteja no círculo 𝐴. 𝐵 complemento é qualquer coisa que não esteja no círculo 𝐵. A união destas duas regiões é qualquer área onde colocamos um ponto, o que podemos ver é todo o espaço de resultados além da 𝐴 interseção 𝐵. Sombreamos tudo o resto, então é 𝐴 interseção 𝐵 complementar.
Se 𝐴 e 𝐵 são dois acontecimentos mutuamente exclusivos de um espaço de resultados de uma experiência aleatória, determine a probabilidade de 𝐴 complementar união 𝐵 complementar.
Para responder a esta questão, precisamos de nos lembrar de uma das leis de De Morgan: 𝐴 complementar união 𝐵 complementar é equivalente ao complementar de 𝐴 intersecção 𝐵. E assim, segue-se que a probabilidade de 𝐴 complementar união 𝐵 complementar será a probabilidade do complementar de 𝐴 interseção 𝐵. Agora, esta lei vale independentemente. Mas estes dois acontecimentos nesta questão são mutuamente exclusivos. E sabemos que, para acontecimentos mutuamente exclusivos, a sua interseção é o conjunto vazio. Isto significa que o complementar da sua interseção é todo o espaço de resultados, que tem probabilidade de um.
Ou, mais formalmente, podemos dizer que a probabilidade de 𝐴 interseção com 𝐵 complementar é um menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. Isto é um menos zero, que é um. Então, recordando a lei de De Morgan e que para acontecimentos mutuamente exclusivos a probabilidade da sua interseção de zero, descobrimos que para os dois acontecimentos mutuamente exclusivos 𝐴 e 𝐵, a probabilidade de 𝐴 complementar união 𝐵 complementar é um.
Vamos agora considerar um exemplo no qual utilizaremos uma regra da probabilidade diferente.
Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam dois acontecimentos mutuamente exclusivos. Dado que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é 0.52, determine a probabilidade de 𝐴.
Lembramos, em primeiro lugar, que o acontecimento 𝐴 menos 𝐵 contém todos os elementos no espaço de resultados que pertencem ao conjunto 𝐴, mas não pertencem ao conjunto 𝐵. É equivalente à interseção de 𝐴 e 𝐵 complementar. Também lembramos uma regra geral: a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade da interseção de 𝐴 e 𝐵. Portanto, temos 0.52 é igual à probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵.
Mas temos outra informação importante na questão que ainda não utilizámos. Estes dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos. Sabemos que, para acontecimentos mutuamente exclusivos, a probabilidade da sua interseção é zero porque não podem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, a probabilidade de 𝐴 é a mesma que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵. É 0.52.
No nosso exemplo final, veremos como determinar probabilidades quando o espaço de resultados é a união de três acontecimentos mutuamente exclusivos.
Suponha que 𝐴, 𝐵 e 𝐶 sejam três acontecimentos mutuamente exclusivos num espaço de resultados 𝑆. Dado que 𝑆 é a união de 𝐴, 𝐵 e 𝐶, a probabilidade de 𝐴 é um quinto da probabilidade de 𝐵 e a probabilidade de 𝐶 é quatro vezes a probabilidade de 𝐴, determine a probabilidade de 𝐵 união 𝐶.
A primeira informação importante que nos é dada é que o espaço de resultados é a união destes três acontecimentos mutuamente exclusivos. Isto significa que estes três acontecimentos particionam inteiramente o espaço de resultados sem sobreposição. E assim, a soma das suas probabilidades é um. Também nos disseram que a probabilidade de 𝐴 é um quinto da probabilidade de 𝐵 e a probabilidade de 𝐶 é quatro vezes a probabilidade de 𝐴, portanto, é quatro quintos vezes a probabilidade de 𝐵. Podemos, portanto, formar uma equação utilizando apenas a probabilidade de 𝐵. Um quinto da probabilidade de 𝐵 mais a probabilidade de 𝐵 mais quatro quintos da probabilidade de 𝐵 é igual a um.
Se simplificarmos, temos um quinto, um e quatro quintos como coeficientes. Então, temos que o dobro da probabilidade de 𝐵 é igual a um. E dividindo por dois, descobrimos que a probabilidade de 𝐵 é um meio. Agora, a questão pediu-nos a probabilidade de 𝐵 união 𝐶 e, portanto, precisamos de recordar a regra da adição para acontecimentos mutuamente exclusivos. Isto diz-nos que a probabilidade da sua união é igual à soma das suas probabilidades individuais. Sabemos a probabilidade de 𝐵. É um meio, então precisamos apenas de calcular a probabilidade de 𝐶.
Já escrevemos a probabilidade de 𝐶 como quatro quintos da probabilidade de 𝐵, então é quatro quintos multiplicado por um meio, que é quatro décimas. Utilizando a regra da adição para acontecimentos mutuamente exclusivos, a probabilidade de 𝐵 união 𝐶 é um meio mais quatro décimas. E pensando em um meio como a fração equivalente de cinco décimas, temos uma probabilidade total de nove décimas. Lembre-se, só poderemos aplicar a regra da adição e, de facto, o fato de que a soma das três probabilidades era um porque os três acontecimentos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 eram mutuamente exclusivos.
Vamos agora rever os pontos principais que abordamos neste vídeo. Dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo ou poderemos dizer que não há sobreposição entre os dois acontecimentos. Mais formalmente, a interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é o conjunto vazio 𝜙. E assim, a probabilidade da interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é zero. A lei da adição para acontecimentos mutuamente exclusivos diz-nos que a probabilidade da união dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵 é a soma das suas probabilidades individuais, a probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵.
Também descobrimos que para acontecimentos mutuamente exclusivos, a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵, que é a probabilidade do acontecimento 𝐴, mas não o acontecimento 𝐵, é exatamente o mesmo que a probabilidade de 𝐴 que é uma adaptação da regra geral que nos diz que a probabilidade de 𝐴 menos 𝐵 é a probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade da interseção dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵. Isto ocorre porque, para acontecimentos mutuamente exclusivos, a probabilidade da sua interseção é zero. Podemos utilizar estas regras em conjunto com regras de probabilidade mais básicas, como as regras relativas a complementares, para responder a uma ampla variedade de problemas relativos a acontecimentos mutuamente exclusivos.
