Vídeo: Soluções Estranhas com Radicais

A maneira natural de resolver √(𝑥 + 9) − 2𝑥 = 3 introduz uma solução estranha. Qual é essa solução estranha?

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A maneira natural de resolver a raiz quadrada de 𝑥 mais nove menos dois 𝑥 é igual a três introduz uma solução estranha. Qual é essa solução estranha?

Primeiro, vamos perguntar o que é uma solução estranha? Uma solução estranha é uma solução que surge do processo de solução do problema, que na verdade não é uma solução válida para o problema. Antes de encontrarmos soluções estranhas, precisamos ir em frente e resolver essa equação.

A primeira coisa que notei é que preciso elevar ao quadrado a raiz quadrada de 𝑥 mais nove. Para fazer isso, terei que mover esse menos dois 𝑥 para o outro lado da equação. Podemos fazer isso adicionando dois 𝑥 aos dois lados da equação. Os dois 𝑥 do lado esquerdo se cancelam deixando-nos com a raiz quadrada de 𝑥 mais nove é igual a dois 𝑥 mais três. Agora posso ir em frente e elevar os dois lados dessa equação ao quadrado. No lado esquerdo, a raiz quadrada ao quadrado se cancelará deixando-nos com 𝑥 mais nove. No lado direito, dois 𝑥 mais três ao quadrado seriam dois 𝑥 mais três vezes dois 𝑥 mais três.

Eu quero ir em frente e me livrar desses parênteses, o que significa que vou precisar multiplicar todos os termos. Dois 𝑥 vezes dois 𝑥 é igual a quatro 𝑥 ao quadrado, dois 𝑥 vezes três é igual a seis 𝑥, três vezes dois 𝑥 é igual a seis 𝑥 e três vezes três é igual a nove. De lá, vou copiar meu quatro 𝑥 ao quadrado. Eu posso somar seis 𝑥 e seis 𝑥; que seriam 12𝑥 e, em seguida, copiar o nove. O lado esquerdo da nossa equação não mudou.

Mas para ir daqui para uma solução, quero mover tudo para o mesmo lado da equação. Isso significa que moverei o nove 𝑥 subtraindo nove 𝑥 de ambos os lados. Nove menos nove é igual a zero; eles se cancelam. Nós ficamos com 𝑥 à esquerda. Mas se você notar do lado direito, também é mais nove menos nove. Isso também cancela. Agora temos 𝑥 igual a quatro 𝑥 ao quadrado mais 12 𝑥. Então, queremos mover nosso 𝑥 do lado esquerdo para o lado direito, subtraindo 𝑥 dos dois lados. 𝑥 menos 𝑥 cancela; eles são iguais a zero. Nós podemos copiar os quatro 𝑥 ao quadrado. 12𝑥 menos 𝑥 é igual a 11𝑥.

Estamos nos aproximando de nossas duas soluções. Mas agora precisamos fatorar o que temos aqui. Quatro 𝑥 ao quadrado e 11 𝑥 ambos têm um fator de 𝑥. Se isolarmos o fator 𝑥, teremos 𝑥 vezes quatro 𝑥 mais 11 igual a zero. Em seguida, definimos cada um desses fatores como zero. A primeira solução seria apenas 𝑥 igual a zero. Nossa segunda solução, vamos ter que resolver porque, agora, temos quatro 𝑥 mais 11 igual a zero. Eu resolvo por 𝑥 subtraindo 11 de ambos os lados. Mais 11 menos 11 se cancelam. Agora temos quatro 𝑥 igual a menos 11. Podemos dividir ambos os lados por quatro para isolar nosso 𝑥. Vezes quatro dividido por quatro cancela. E nós encontramos uma segunda solução de 𝑥 igual a menos 11 sobre quatro.

A partir daqui, para descobrir se uma delas é uma solução estranha, precisamos substituir 𝑥 igual a zero e 𝑥 igual a menos 11 sobre quatro na nossa equação original. Então vamos checar 𝑥 mais nove, a raiz quadrada de 𝑥 mais nove menos dois 𝑥 é igual a três quando 𝑥 é igual a zero. Nós temos a raiz quadrada de zero mais nove menos duas vezes zero é igual a três. Isso seria a raiz quadrada de nove menos zero é igual a três. Então nós dizemos, a raiz quadrada de nove é igual a três? Isso acontece. 𝑥 igual a zero é uma solução válida.

Precisamos fazer o mesmo processo para 𝑥 é igual a menos 11 sobre quatro. Menos onze quartos mais nove é igual a 6.25. Menos duas vezes menos onze quartos é igual a cinco e meio. Copie o cinco e meio. Dois e meio mais cinco e meio é igual a oito. E oito não é igual a três. Isso nos diz que 𝑥 igual a menos onze quartos não é uma solução válida para o nosso problema.

Como 𝑥 igual a menos 11 sobre quatro não é uma solução válida, chamamos de solução estranha.

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