Vídeo: Encontrando o Intervalo no Qual o Produto Escalar de Dois Vetores Unitários se Encontram

Se 𝐀 e 𝐁 são vetores unitários, em que intervalo 𝐀 ⋅ 𝐁 se enconta?

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Transcrição do vídeo

Se 𝐀 e 𝐁 são vetores unitários, qual intervalo 𝐀 ponto 𝐁, o produto escalar de 𝐀 e 𝐁 se encontra?

Geometricamente falando, o produto escalar de 𝐀 e 𝐁, 𝐀 ponto 𝐁, é a magnitude de 𝐀 vezes a magnitude de 𝐁 vezes o cos do ângulo 𝜃 entre os dois vetores. Foi nos dito na questão que 𝐀 e 𝐁 são vetores unitários. Vetores unitários são vetores cuja magnitude é um.

E assim, usando esse fato, percebemos que o produto escalar de 𝐀 e 𝐁 é um vezes um vezes cos 𝜃, que é claro apenas cos 𝜃. Portanto, o intervalo em que o produto escalar de 𝐀 e 𝐁 se encontra é o intervalo de valores que cos 𝜃 pode ter.

Se olharmos para um gráfico de cos 𝜃, podemos ver que ele varia de menos um para um, então menos um é menor ou igual a cos 𝜃, que é menor ou igual a um. E estamos usando o sinal menor ou igual a aqui, não apenas o sinal menor que, porque os valores extremos de menos um e um são atingidos pelas funções, então eles são incluídos no intervalo de cos.

Outra maneira de escrever isso é dizer que cos 𝜃 está no intervalo de menos um para um, onde usamos os colchetes para ver o fato de que ambos os pontos finais, menos um e um, estão incluídos nesse intervalo. Cos 𝜃 pode ter um valor menos um ou um.

E assim como descobrimos que o produto de ponto de 𝐀 e 𝐁 é cos 𝜃, certamente o produto escalar de 𝐀 e 𝐁 deve estar dentro desse intervalo. Esta é a nossa resposta? Bem, primeiro, precisamos verificar se não há nenhuma condição em 𝜃.

Se 𝜃 fosse restrito a estar entre 60 e 120 graus, então o cosseno de 𝜃, cos 𝜃, só variaria de menos 0.5 a 0.5; na verdade, isso seria um intervalo menor. Mas, na verdade, 𝜃 pode assumir qualquer valor de zero graus até 180 graus, e assim o produto escalar de 𝐀 e 𝐁, que é cos 𝜃, pode assumir qualquer valor entre menos um e um inclusive.

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