Lesson Video: Movimento no Plano Utilizando Equações Paramétricas

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Neste vídeo, aprenderemos como descrever o movimento de uma partícula numa curva definida por funções paramétricas. Considerá-lo-emos em termos de deslocamento, velocidade e aceleração, além de considerar o módulo de cada um deles, e veremos como o cálculo com equações paramétricas nos pode ajudar a resolver estes problemas. Lembramos que as equações paramétricas nos permitem escrever 𝑥 e 𝑦 em termos de um terceiro parâmetro. Geralmente utilizamos 𝑡, pois representa o tempo. Em seguida, obtemos as equações paramétricas 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡. Também precisamos de lembrar algumas regras do movimento. A primeira é se 𝑠 é uma função para o deslocamento no tempo 𝑡, 𝑠 de 𝑡, então a taxa de variação do deslocamento em ordem ao tempo, 𝑠 linha de 𝑡, fornece-nos a velocidade no tempo 𝑡. Da mesma forma, a taxa de variação de velocidade em ordem ao tempo, 𝑣 linha de 𝑡, dá-nos a aceleração no tempo 𝑡. Isso é 𝑎 de 𝑡. Armados com estas informações, vamos dar uma olhadela numa variedade de problemas que envolvem movimento num plano.

Uma partícula tem uma posição definida pelas equações 𝑥 igual a 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡 e 𝑦 igual a três menos dois 𝑡 ao quadrado. Determine o vetor velocidade da partícula em 𝑡 igual a dois.

Disseram-nos que a posição da partícula está definida por um par de equações paramétricas. Em termos reais, isso significa que, dado um valor do tempo 𝑡, obtemos um par de coordenadas 𝑥𝑦 para a posição da partícula naquele instante. Poderíamos dizer que, em termos vetoriais, a posição da partícula no tempo 𝑡 é 𝑠 de 𝑡 igual a 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡 𝑖 mais três menos dois 𝑡 ao quadrado 𝑗. Ainda não é o que estamos à procura. Queremos determinar o vetor velocidade da nossa partícula quando 𝑡 é igual a dois. Então, recordamos que, dada uma função para o deslocamento que, é claro, é essencialmente a diferença na posição do objeto num instante de tempo a outro, determinamos uma função para a velocidade ao derivar em ordem a 𝑡.

Isso significa que podemos obter um vetor velocidade para a nossa partícula no instante 𝑡, derivando cada componente do vetor posição em ordem a 𝑡. Esta é a derivada de 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡. E, a seguir, derivamos também a componente vertical, a derivada de três menos dois 𝑡 ao quadrado. Sabemos que, para derivar um termo polinomial, multiplicamos o termo inteiro pelo expoente e reduzimos o expoente uma unidade. Então, 𝑡 ao cubo deriva-se para três 𝑡 ao quadrado e o menos cinco 𝑡 diferencia-se para menos cinco.

Da mesma forma, a derivada de três menos dois 𝑡 ao quadrado é menos quatro 𝑡. Lembre-se, a derivada de qualquer constante é simplesmente zero. A nossa função vetorial para velocidade é três 𝑡 ao quadrado menos cinco 𝑖 mais menos quatro 𝑡 𝑗. Lembre-se, queremos que um vetor velocidade em 𝑡 seja igual a dois. Então, vamos substituir 𝑡 igual a dois no nosso vetor. Isso é três vezes dois ao quadrado menos cinco, mais menos quatro vezes dois, o que simplifica para sete menos oito.

No nosso próximo exemplo, veremos como uma mudança subtil na linguagem pode mudar drasticamente a nossa solução.

Uma partícula tem uma posição definida pelas equações 𝑥 igual a cinco 𝑡 ao quadrado mais quatro 𝑡 e 𝑦 igual a três 𝑡 menos dois. Determine a velocidade da partícula em 𝑡 igual a dois.

Aqui temos um par de equações paramétricas para descrever a posição da partícula. Isso significa que, dado o valor de 𝑡, obtemos uma imagem que é um par de coordenadas para a posição da partícula naquele instante de tempo. Poderemos tratá-las como entidades completamente separadas. Agora, procuramos determinar a velocidade da partícula em 𝑡 igual a dois. Bem, sabemos que a velocidade é o módulo da velocidade vetorial. E também nos lembramos que podemos determinar uma função para a velocidade derivando uma função do deslocamento. Podemos então optar por dizer que, em termos vetoriais, a posição da partícula no instante 𝑡 é cinco 𝑡 ao quadrado mais quatro 𝑡 𝑖 mais três 𝑡 menos dois 𝑗. Poderemos então derivar a nossa função da posição e determinar uma função da velocidade. E, de facto, podemos consegui-la derivando individualmente as componentes horizontal e vertical do nosso deslocamento ou posição.

Começaremos por derivar a componente horizontal. É cinco 𝑡 ao quadrado mais quatro 𝑡. A derivada de cinco 𝑡 ao quadrado é 10𝑡. E a derivada de quatro 𝑡 em ordem a 𝑡 é simplesmente quatro. Vamos repetir este processo para a componente vertical. A derivada de três 𝑡 é três e a derivada de menos dois é zero. Em termos de vetores, então, a nossa velocidade é descrita por 10𝑡 mais quatro 𝑖 mais três 𝑗. Tudo isto significa que, aos 𝑡 segundos, a velocidade é 10𝑡 mais quatro na direção horizontal e três na vertical, na direção 𝑗. Em seguida, queremos calcular a velocidade em 𝑡 igual a dois. Então, substituiremos 𝑡 na nossa equação vetorial da velocidade que nos dá 10 vezes dois mais quatro 𝑖 mais três 𝑗. É 24𝑖 mais três 𝑗.

Lembre-se de que estamos à procura de determinar a velocidade, que é o módulo da velocidade vetorial. Então, recordemo-nos que podemos determinar o módulo de um vetor 𝑎 dado por 𝑥 𝑖 mais 𝑦 𝑗, determinando a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado. Neste caso, é a raiz quadrada de 24 ao quadrado mais três ao quadrado, o que equivale a três raiz de 65. Agora, não temos unidades aqui, portanto terminamos. A velocidade da partícula em 𝑡 igual a dois é três raiz de 65.

Vamos agora considerar como um processo semelhante nos pode ajudar a calcular a aceleração.

Uma partícula em movimento está definida pelas duas equações 𝑥 igual a 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡 menos cinco e 𝑦 igual a sete 𝑡 ao quadrado menos três. Determine o módulo da aceleração da partícula em 𝑡 igual a um.

Nesta questão, temos a posição da partícula definida por um par de equações paramétricas. Portanto, dado um valor de 𝑡, obtemos um par de coordenadas 𝑥𝑦 para a posição da nossa partícula. Poderemos optar por considerar isto em termos vetoriais e dizer que a posição da partícula no instante 𝑡, 𝑠 de 𝑡 é dada por 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡 menos cinco 𝑖 mais sete 𝑡 ao quadrado menos três 𝑗. Agora, nesta questão, procuramos determinar a aceleração. Bem, de facto, queremos o módulo da aceleração, mas lidaremos com isto mais tarde. Então, recordamos que a aceleração é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo. Mas também sabemos que a velocidade é igual à primeira derivada do vetor deslocamento ou posição.

Por sua vez, podemos dizer que, para determinar uma função da aceleração, precisaremos de derivar a nossa função da posição duas vezes em ordem ao tempo. Faremos isso uma vez para determinar a função de velocidade. Podemos derivar cada componente da função de cada vez. Quando derivamos 𝑡 ao cubo menos cinco 𝑡 menos cinco, obtemos três 𝑡 ao quadrado menos cinco. E quando derivamos sete 𝑡 ao quadrado menos três, obtemos 14𝑡. Portanto, a nossa função da velocidade é três 𝑡 ao quadrado menos cinco 𝑖 mais 14𝑡 𝑗. Mas o que é que isto realmente significa? Bem, isto significa que a velocidade pode ser definida em termos da velocidade horizontal e da velocidade vertical. Horizontalmente, a sua velocidade é de três 𝑡 ao quadrado menos cinco, mas verticalmente é dada pela função 14𝑡.

Certo, ótimo. Vamos derivar novamente para determinar a nossa função da aceleração. E quando derivamos três 𝑡 ao quadrado menos cinco, descobrimos que a aceleração na direção horizontal é seis 𝑡. Em seguida, derivamos 14𝑡. E vemos que a aceleração na direção vertical é 14. Agora, podemos determinar uma aceleração vetorial para a nossa partícula em 𝑡 igual a um. Substituímos simplesmente 𝑡 igual a um na função vetorial da aceleração. E descobrimos que a aceleração em 𝑡 igual a um é dada pelo vetor seis 𝑖 mais 14𝑗. Nós, é claro, queremos descobrir o módulo da aceleração.

Então, lembramos que o módulo de um vetor em duas dimensões dada por 𝑥 𝑖 mais 𝑦𝑗 é a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado. Isso significa que o módulo da nossa aceleração em 𝑡 igual a um é raiz quadrada de seis ao quadrado mais 14 ao quadrado, que é dois raiz de 58. Não há unidades aqui. Portanto, descobrimos que o módulo da aceleração da partícula em 𝑡 igual a um como sendo dois raiz de 58.

Também podemos utilizar este processo para resolver problemas mais complicados que envolvem movimento no plano. Vamos ver como isto pode acontecer.

Se uma partícula se move numa curva definida pelas equações paramétricas. 𝑥 igual a um meio 𝑡 ao quadrado menos quatro 𝑡 mais três e 𝑦 igual a um meio 𝑡 do quadrado mais três 𝑡. Determine o instante de tempo arredondado às décimas, no qual 𝑣 é igual a 64.

Deram-nos um par de equações paramétricas que descrevem a posição ou o deslocamento da nossa partícula. E procuramos determinar o instante de tempo em que a velocidade é igual a 64. Poderemos pensar sobre isto em termos de vetores. E poderemos dizer que o deslocamento é igual a um meio 𝑡 ao quadrado menos quatro 𝑡 mais três na direção horizontal, que é 𝑖, e um meio 𝑡 ao quadrado mais três 𝑡 na direção vertical. E esta parte é 𝑗. Também sabemos que podemos derivar a função do deslocamento e obteremos uma função do tempo. Bem, aqui podemos conseguir isso derivando cada uma das nossas funções componentes do vetor deslocamento. Quando derivamos um meio 𝑡 ao quadrado ao menos quatro 𝑡 mais três, terminamos com apenas 𝑡 menos quatro. E quando derivamos um meio 𝑡 ao quadrado mais três 𝑡, temos 𝑡 mais três.

Portanto, sabemos agora que a velocidade da partícula na direção horizontal no tempo 𝑡 é 𝑡 menos quatro. E na direção vertical, é 𝑡 mais três. E representamos isto na forma de vetor. Queremos saber o instante de tempo em que 𝑣 é igual a 64. Observe que este não é dado como uma quantidade vetorial. Então, precisamos de calcular quando é que o módulo da nossa velocidade é igual a 64. Utilizaremos o facto de que o módulo de um vetor bidimensional 𝑥𝑖 mais 𝑦𝑗 é igual à raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 quadrado. E isso significa que o módulo da nossa velocidade é a raiz quadrada de 𝑡 menos quatro tudo ao quadrado mais 𝑡 mais três tudo ao quadrado. Agora, é claro, isso é igual a 64. Tudo o que precisamos de fazer agora é resolver em ordem a 𝑡.

Começamos por aplicar o quadrado a ambos os membros da nossa equação e obtemos 𝑡 menos quatro tudo ao quadrado mais 𝑡 mais três tudo ao quadrado igual a 4096. Desembaraçamos cada par de parênteses. E vemos que obtemos 𝑡 ao quadrado menos oito 𝑡 mais 16 mais 𝑡 ao quadrado mais seis 𝑡 mais nove no primeiro membro. E isso simplifica muito bem para dois 𝑡 ao quadrado menos dois 𝑡 mais 25 igual a 4096. Obtivemos uma equação do segundo grau que podemos resolver subtraindo 4096 a ambos os membros. É dois 𝑡 ao quadrado menos dois 𝑡 menos 4071 igual a zero. E, utilizando qualquer método disponível, podemos resolver esta equação do segundo grau. Podemos utilizar o completamento do quadrado ou a fórmula resolvente. E podemos até utilizar um solucionador de equações polinomiais numa calculadora. Quando o fazemos, obtemos 𝑡 igual a 45.6192 ou a menos 44.6192. Então, qual é o que escolhemos? Bem, trata-se de tempo, então não faz sentido ter este valor negativo. E assim arredondando às décimas, o instante de tempo em que 𝑣 é igual a 64 é 45.6.

No nosso exemplo final, consideraremos um problema de valor inicial.

Suponha que uma partícula esteja a mover-se numa curva definida pelas equações paramétricas d𝑥 sobre d𝑡 igual a cinco 𝑡 menos 15 e d𝑦 sobre d𝑡 igual a oito menos quatro 𝑡. Se a partícula estiver inicialmente no deslocamento horizontal 𝑑 igual a 32.3, determine o deslocamento horizontal mínimo de 𝑑 igual a zero.

O movimento da nossa partícula é descrito por um par de equações diferenciais paramétricas. Temos d𝑥 sobre d𝑡 igual a cinco 𝑡 menos 15 e d𝑦 sobre d𝑡 igual a oito menos quatro 𝑡. Vamos pensar sobre o que estas equações estão realmente a representar. Bem, se 𝑥 e 𝑦 são funções que descrevem a posição da partícula em termos das componentes horizontal e vertical, então d𝑥 sobre d𝑡 e d𝑦 sobre d𝑡 devem representar funções da velocidade, novamente, tanto na direção horizontal quanto na vertical. Estamos à procura de determinar o deslocamento da nossa partícula. Mas não é só isso. Precisamos de determinar o deslocamento horizontal mínimo. Então, recordamos duas informações.

Primeiramente, sabemos que, se derivarmos uma função do deslocamento, obtemos uma função da velocidade. Por outro lado, podemos dizer que, se integrarmos uma função da velocidade em ordem ao tempo, alcançaremos uma função do deslocamento. Neste caso, alcançaremos uma função que descreve o deslocamento horizontal, integrando a nossa função da velocidade na direção horizontal. É o integral de d𝑥 sobre d𝑡 em ordem a 𝑡. Bem, este é o integral de cinco 𝑡 menos 15. Também sabemos que, quando integramos um termo polinomial cujo expoente não é igual a menos um, adicionamos um ao expoente e depois dividimo-lo por esse novo valor. Portanto, o integral de cinco 𝑡 é cinco 𝑡 ao quadrado sobre dois, e o integral de menos 15 é menos 15𝑡. Estamos a trabalhar com um integral indefinido. Então, adicionamos uma constante de integração, que chamei de 𝑎.

Também nos disseram que a partícula está inicialmente com um deslocamento horizontal de 𝑑 igual a 32.3, bem, inicialmente significa quando 𝑡 é igual a zero. Portanto, podemos substituir 𝑡 igual a zero e 𝑠 igual a 32.3 na nossa equação em 𝑥 de 𝑡. E descobrimos que 32.3 é igual a cinco vezes zero ao quadrado sobre dois menos 15 vezes zero mais 𝑎. Bem, cinco vezes zero ao quadrado sobre dois e menos 15 vezes zero são ambos iguais a zero. Então, 𝑎 é ​​igual a 32.3. E temos uma expressão para o deslocamento horizontal da nossa partícula. É cinco 𝑡 ao quadrado sobre dois menos 15𝑡 mais 32.3. Estamos à procura de determinar o deslocamento horizontal mínimo. E, portanto, lembramos que podemos encontrar o ponto crítico de uma função derivando esta função e estabelecendo-a igual a zero.

No nosso caso, estamos interessados ​​no deslocamento horizontal mínimo. A derivada do deslocamento na direção horizontal é d𝑥 sobre d𝑡. E este é cinco 𝑡 menos 15. Portanto, colocaremos isto igual a zero para determinar a localização de quaisquer pontos críticos. Resolvemos adicionando 15 a ambos os membros e dividindo por cinco. E descobrimos que 𝑡 igual a três é um ponto crítico da nossa função horizontal. Para estabelecer se é o mínimo, precisamos de descobrir se a segunda derivada no ponto em que 𝑡 é igual a três é maior que zero.

Então, vamos derivar a nossa função d𝑥 sobre d𝑡. Quando o fazemos, vemos que cinco 𝑡 menos 15 deriva para cinco. Cinco é maior que zero. Isso diz-nos que todos os pontos críticos que podem ocorrer devem ser um mínimo local. Então, especificamente, quando 𝑡 é igual a três, temos um mínimo local. De facto, este é um mínimo global, já que a nossa equação para 𝑠 𝑥 de 𝑡 é do segundo grau com um coeficiente inicial positivo. E isto significa que há apenas um ponto crítico na nossa curva. Para calcular o deslocamento horizontal mínimo de 𝑑 igual a zero, substituiremos 𝑡 igual a três na nossa expressão do deslocamento horizontal. Isso é cinco vezes três ao quadrado sobre dois menos 15 vezes três mais 32.3, o que é igual a 9.8. O deslocamento horizontal mínimo de 𝑑 é igual a zero é 9.8.

Percebendo esta questão, nunca consideramos a equação que descreve o movimento vertical da nossa partícula. E isso é porque estávamos interessados apenas no deslocamento horizontal. Neste vídeo, vimos que, considerando as equações paramétricas como uma função vetorial ou simplesmente considerando as suas componentes horizontais e verticais, podemos lidar com eficiência com o movimento no plano. Também vimos que podemos utilizar as regras padrão com que estamos acostumadas para cálculo e movimento para nos ajudar a converter entre deslocamento, velocidade e aceleração dadas na forma de equações paramétricas.