Vídeo: Resolvendo Sistemas de Equações Lineares Utilizando Substituição Algébrica

Aprende a utilizar o método da substituição algébrica para resolver um sistema de duas equações lineares. Isolamos uma variável numa equação e utilizamo-la para substituir a variável na outra, deixando uma equação com apenas uma incógnita para determinar.

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Transcrição do vídeo

Aqui neste vídeo, utilizaremos o processo de substituição algébrica para resolver alguns sistemas de equações lineares. É um processo que nem sempre é o método mais adequado, mas pode ser realmente útil. Então, veremos alguns exemplos de quando funciona bem e um ou dois onde realmente torna a vida mais difícil para nós.

Agora lembra-te de que cada ponto num gráfico em reta representa uma solução única e diferente para a equação que representa essa reta. Por exemplo, neste ponto aqui eu tenho um valor 𝑥. Portanto, se eu colocar um valor de 𝑥 de quatro nesta equação, o valor de 𝑦 correspondente será um. Se eu colocar um valor de 𝑥 de sete na equação, o valor de 𝑦 correspondente que faz com que isto seja verdadeiro será zero. E, como dissemos, cada ponto desta reta representa uma combinação única de valores de 𝑥 e 𝑦 que, quando faço o valor de 𝑥 e adiciono três vezes o valor de 𝑦, obtenho a resposta sete. E para a outra reta 𝑥 mais 𝑦 igual a três, novamente cada ponto nesta reta representa outra combinação única de valores de 𝑥 e 𝑦 que somará três.

Ora, 𝑥 é menos um, 𝑦 é quatro; somam três. 𝑥 é dois, 𝑦 é um; somam três e assim por diante. Mas o que há de tão especial em sistemas equações é que, neste caso em particular, quando temos duas retas, há um par de valores de 𝑥 e 𝑦 que fornece esta correspondência em ambas as equações. Dá três quando os adiciona. Mas se adicionar três vezes a coordenada em 𝑦 à coordenada em 𝑥. Também dá sete. Esse é o ponto aqui no gráfico em que as duas retas se intersetam. Portanto, resolver sistemas de equações é descobrir onde estas retas se intersetam.

Então, aqui está uma questão. Utiliza a substituição algébrica para resolver o sistema de equações 𝑦 igual a três 𝑥 menos dois e 𝑥 igual a três 𝑦 menos dez. Então, disseram-nos o método específico que devemos utilizar e disseram-nos que estas duas equações formam o sistema. Agora é sempre bom numerares as tuas equações, para que te possas referir a estes números quando estiveres a explicar o teu exercício. Mas gosto de colocar uma pequena chaveta para indicar que estas duas coisas também são verdadeiras simultaneamente. E nem todos fazem isto, mas acho que é uma boa ideia comunicar esta ideia ou a simultaneidade das equações. Agora, a questão da substituição está na primeira equação, temos o facto de que 𝑦 é igual a este monte de coisas aqui três 𝑥 mais [menos] duas. Portanto, substituir é dizer — bem, na segunda equação, substituiremos 𝑦 por este monte de coisas, porque estas duas coisas são verdadeiras ao mesmo tempo. Portanto, enquanto 𝑦 está representado na segunda equação, também queremos que seja igual a três 𝑥 menos dois. Portanto, neste caso, vamos pegar no valor que 𝑦 tem na equação um e substituir 𝑦 na segunda equação.

E poderíamos ter feito o contrário, se quiséssemos. A equação dois diz que 𝑥 é igual a três 𝑦 menos dez. Então, poderíamos ter substituído 𝑥 na primeira equação por três 𝑦 menos dez. Portanto, não importa de que maneira o faças, desde que substituas completamente a letra na qual te estás a tentar livrar. Então, agora temos uma equação aqui. Vamos chamar a equação número três, que está puramente em termos de 𝑥. Então, poderemos determinar uma solução exclusiva para isso para 𝑥. Portanto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, 𝑥 é igual a três lotes de três 𝑥; então isto é nove 𝑥 e três vezes menos dois, o que é menos seis. E depois temos que tirar dez também. Então, 𝑥 é igual a nove 𝑥 menos seis menos outros dez; é nove 𝑥 menos dezasseis. Agora eu quero colocar todos os 𝑥 num membro. E geralmente é uma boa ideia ter um número positivo de 𝑥 quando o fazemos. Então, vamos subtrair um 𝑥 a ambos os membros, deixando-me oito 𝑥 no segundo membro e nenhum 𝑥 no primeiro membro. Estamos a subtrair 𝑥 de ambos os membros e, como dissemos, 𝑥 menos 𝑥, no primeiro membro, dá-nos zero. E nove 𝑥 menos 𝑥 no segundo membro deixa-nos com oito 𝑥. Agora posso adicionar dezasseis aos dois membros para me livrar deste número no segundo membro. E no primeiro membro, zero mais dezasseis é apenas dezasseis. E no segundo membro, menos dezasseis mais dezasseis é zero. Então, ficamos com dezasseis igual a oito 𝑥. Agora eu quero saber quanto é um 𝑥. Então, se eu dividir os dois membros por oito, no primeiro membro, dezasseis dividido por oito é dois. E no segundo membro, os oito anulam-se para me deixar com apenas 𝑥. Então, eu sei que 𝑥 é igual a dois. Agora eu quero saber a que é 𝑦 igual. Mas lembra-te da equação um que tem uma equação que é 𝑦 igual a três 𝑥 menos dois. Portanto, se eu substituir este valor de 𝑥 na equação um, esta dir-me-á imediatamente quanto é 𝑦. Então, 𝑦 é três vezes dois menos dois. E é seis menos dois, o que significa que 𝑦 é quatro.

Agora podemos verificar as nossas respostas. Acabámos de utilizar a substituição na equação um para descobrir que 𝑦 era igual a quatro. Então, vou utilizar a outra equação — a equação dois — apenas para verificar se os meus 𝑥 e 𝑦 correspondem. Então, eu substituí dois em 𝑥 e quatro em 𝑦. E tenho dois igual a três vezes quatro menos dez. Então dois é igual a doze menos dez, o que é dois. Está correto; então estamos felizes com a nossa resposta. E, assim, podemos realçar a nossa resposta para torná-la agradável e clara. Portanto, esse é um exemplo em que tens uma equação pronta que diz 𝑦 é igual a alguma coisa; 𝑥 é igual a alguma coisa. E é muito fácil substituir 𝑥 ou 𝑦 na outra equação.

Então, vamos para um segundo exemplo. Utiliza a substituição algébrica para resolver o sistema de equações 𝑥 igual a dois 𝑦 mais oito e dois 𝑥 mais três 𝑦 é igual a vinte e três. Agora, olhando para a primeira equação, temos 𝑥 igual a algo que não envolve 𝑥, que é dois 𝑦 mais oito. Portanto, é uma coisa óbvia que podemos utilizar para substituir a segunda equação. Para descobrir a que é 𝑦 igual na segunda equação ou mesmo a que é 𝑥 igual para substituí-lo de volta pela primeira, teremos que trabalhar bastante para reorganizá-la. Portanto, a substituição óbvia é tomar 𝑥 da equação um e substituí-lo na equação dois.

Portanto, a substituição é apenas uma questão de dizer na primeira equação 𝑥 é igual a todas estas coisas aqui. Então, onde vemos 𝑥 na nossa segunda equação, substituiremos 𝑥 por todas estas coisas. Agora vamos multiplicar os parênteses e resolver esta equação para descobrir o valor de 𝑦. Então dois lotes de dois 𝑦 é quatro 𝑦; dois lotes de oito é igual a dezasseis. Ainda temos o nosso três 𝑦 e isso é igual a vinte e três. Agora temos quatro 𝑦 e três 𝑦; então é sete 𝑦. Portanto, sete 𝑦 mais dezasseis é igual a vinte e três. Agora, se subtrair dezasseis aos dois membros, ficarei com sete 𝑦 à esquerda. Então, sete 𝑦 mais dezasseis menos dezasseis. Bem, dezasseis menos dezasseis é nada; pelo que se apaga isto. Temos apenas sete 𝑦 e vinte e três menos dezasseis que é apenas sete. Então sete 𝑦 é igual a sete. Agora, se eu dividir os dois membros por sete, descobrirei que 𝑦 é igual a um.

E, felizmente, a nossa primeira equação disse-nos o valor de 𝑥 em termos de 𝑦. Então, eu só preciso de substituir o valor de 𝑦 de volta nesta equação e descobrir quanto é 𝑥. Portanto, se 𝑥 era duas vezes 𝑦 mais oito e sabemos que 𝑦 é igual a um, isso significa que 𝑥 é igual a duas vezes um mais oito. Então, 𝑥 é dez. É sempre uma boa ideia verificar as tuas respostas, pelo que possamos utilizar a outra equação, a equação dois, apenas para substituir 𝑥 por dez e 𝑦 por um e verificar se tudo está a funcionar. Então, se tudo estiver bem, temos duas vezes 𝑥 é dez mais três vezes 𝑦 é um e isso será igual a vinte e três. Bem, duas vezes dez é vinte e três vezes um é três. Então sim, isso é verdade; parece que temos a resposta certa. E este é o método de substituição.

Então, vamos olhar para o número três. Utiliza a substituição algébrica para resolver o sistema de equações três 𝑥 mais três 𝑦 igual a vinte e sete e dois 𝑥 mais cinco 𝑦 igual a trinta e seis. Agora, só de olhar para este par de equações, a minha reação seria: se não me dissessem que método utilizar, eu provavelmente estaria inclinado para o da eliminação. Talvez faria duas vezes a equação um e três vezes a equação dois e, em seguida, subtraindo uma da outra e eliminando 𝑥 das nossas equações, calculando quanto é 𝑦 e substituindo-o novamente. Mas não é este o caso; disseram-nos especificamente que precisamos de utilizar a substituição algébrica. Portanto, precisamos de reorganizar uma destas equações para obter 𝑥 ou 𝑦 por conta própria e substituí-la na outra equação. Agora, olhando para estas duas equações, acho que vou mexer na equação um porque os coeficientes de 𝑥 e 𝑦 são ambos três. E vinte e sete é um múltiplo de três. Então, se eu conseguir isolar 𝑥 ou 𝑦, posso dividir tudo por três. E não tenho frações envolvidas neste dia. Então, vamos tentar isso.

Então, vou tentar isolar 𝑦. Então, primeiro que tudo, preciso de me livrar do termo três 𝑥. Então, vou subtrair três 𝑥 de ambos os membros da equação, subtrair três 𝑥 deste membro e subtrair três 𝑥 deste membro. Subtrair três 𝑥 do primeiro membro deixa-me com três 𝑦 e subtrair três 𝑥 do segundo membro. Vou escrever menos três 𝑥 mais vinte e sete. Poderias dizer vinte e sete menos três 𝑥. Não faria nenhuma diferença a longo prazo, mas vou fazer assim por enquanto. Agora, isto é o que três 𝑦 é. Então, preciso de dividir tudo por três para obter quanto é 𝑦. Portanto, um terço de três 𝑦 é apenas 𝑦, um terço de menos três 𝑥 é apenas menos 𝑥 e um terço de vinte e sete é nove positivo.

Portanto, a partir da equação um, sabemos que 𝑦 é igual a menos 𝑥 mais nove; é igual a todas estas coisas. Agora podemos substituir esta versão de 𝑦 menos 𝑥 mais nove na segunda equação. Então, lembra-te, a nossa segunda equação era de dois 𝑥 mais cinco 𝑦 igual a trinta e seis. Então dois 𝑥 mais cinco 𝑦; agora estamos a dizer que 𝑦 é igual a tudo isto. Então, vamos colocar estas coisas em vez de 𝑦 cinco vezes isto e é igual a trinta e seis. Agora vamos multiplicar os parênteses aqui, o que nos dá dois 𝑥 menos cinco 𝑥 mais quarenta e cinco igual a trinta e seis e dois 𝑥 menos cinco 𝑥 é menos três 𝑥. Então, eu recomendaria adicionar três 𝑥 a ambos os membros para dar-me um número positivo de 𝑥 algures. Portanto, adicionar três 𝑥 ao primeiro membro deixa-me com quarenta e cinco. E adicionando três 𝑥 ao segundo membro, posso dizer três 𝑥 mais trinta e seis ou trinta e seis mais três 𝑥. Vou fazer desta maneira desta vez apenas para variar. E, em seguida, vou subtrair trinta e seis de ambos os membros, apenas para deixar o termo 𝑥 isolado no segundo membro. Subtrair trinta e seis no segundo membro obviamente me deixa com três 𝑥. E subtraindo trinta e seis no primeiro membro, é quarenta e cinco menos trinta e seis são nove. Então, três 𝑥 é igual a nove. E agora posso dividir os dois membros por três para me dizer quanto é um 𝑥. Um terço de três 𝑥 é um 𝑥 e um terço de nove é três; então 𝑥 é igual a três.

Agora, aqui em baixo, dissemos que 𝑦 é igual a menos 𝑥 mais nove. Vamos chamar esta equação de três, não é? Portanto, utilizando a equação número três, 𝑦 igual a menos 𝑥 mais nove. Agora podemos substituir 𝑥 igual a três nesta equação para descobrir quanto é 𝑦. E 𝑦 é o simétrico do valor de 𝑥; portanto, o simétrico de três mais nove, que é igual a seis. E agora vou verificar estes valores numa das minhas equações originais, apenas para ver se tudo se encaixa corretamente. Então, vou para a equação dois. Parece mais interessante. E a equação dois diz duas vezes o valor de 𝑥 mais cinco vezes o valor de 𝑦 é igual a trinta e seis. Isto é duas vezes três mais cinco vezes seis, que é seis mais trinta. E sim, isto é trinta e seis. Portanto, a nossa resposta é 𝑥 é três e 𝑦 é seis. Então, quando te fizemos conhecer as equações complicadas no início que não tinham um simples 𝑦 igual a ou 𝑥 igual a que podemos substituir na outra, tivemos muito trabalho a fazer antes de podermos realmente fazer a substituição. Portanto, lembra-te disto ao utilizar este método.

Agora, número quatro, precisamos de utilizar a substituição algébrica para resolver o sistema de equações quatro 𝑥 mais três 𝑦 igual a três e cinco 𝑥 mais quatro 𝑦 igual a três e onze doze avos.

Portanto, não apenas não temos um óbvio 𝑦 igual a ou 𝑥 igual a, como também não há uma maneira muito boa de reorganizá-los para obter números agradáveis ​​sem frações. Então, se quiser isolar 𝑦 em qualquer uma delas, terei uma fração de 𝑥 e depois números fracionários; é horrível. Portanto, este é provavelmente um exemplo clássico de onde não utilizarias a substituição algébrica para resolver o sistema de equações. De qualquer maneira, vou mostrar rapidamente, para que possas ver o quão horrível se torna e apenas para que possas evitá-lo no futuro, se te deparares com coisas como estas e se não disserem que precisas de utilizar a substituição algébrica.

Então, vou reorganizar a equação um para isolar 𝑦. Então, tirei quatro 𝑥 de ambos os membros, dando-me três 𝑦 igual a três menos quatro 𝑥 e depois dividi cada termo de ambos os membros por três. E tenho 𝑦 igual a estas coisas aqui: um menos quatro terços de 𝑥. E chamei esta equação de três. Então, vou substituir esta versão, este valor de 𝑦, na equação dois. Então, pegamos neste valor de 𝑦 e substituímos 𝑦 na equação por este valor. A outra coisa que fiz aqui foi converter o número misto três onze doze avos em quarenta e sete sobre doze. Geralmente é mais fácil fazeres os teus cálculos com as frações do que com os números mistos. Então, agora vamos multiplicar os parênteses quatro vezes um e quatro vezes menos quatro terços de 𝑥. E isso dá-nos cinco 𝑥 mais quatro menos dezasseis terços 𝑥 igual a quarenta e sete sobre doze. Então, temos cinco 𝑥 e vamos tirar dezasseis terços de 𝑥. Então, realmente queremos escrever cinco 𝑥 numa fração com denominador três para terminar isto mais facilmente; ora quinze sobre três 𝑥. Portanto, cinco 𝑥 é o mesmo que quinze sobre três 𝑥. Agora temos quinze sobre três 𝑥 menos dezasseis sobre três 𝑥. Portanto, isto é menos um sobre três 𝑥, menos um terço 𝑥. Se eu adicionar um terço de 𝑥 aos dois membros, acabarei com um número positivo de 𝑥 sobre algo no segundo membro.

E, a seguir, vou subtrair quarenta e sete sobre doze a ambos os membros. Mas, ao mesmo tempo, vou converter quatro numa fração que envolva o doze. Então, será quarenta e oito sobre doze, o que é igual a quatro. Assim, quatro torna-se quarenta e oito sobre doze, subtraindo quarenta e sete sobre doze. E quando subtraio quarenta e sete sobre doze do segundo membro, livra-se disto; fica apenas com um terço de 𝑥. Portanto, quarenta e oito doze avos menos quarenta e sete doze avos é apenas um doze avos. Agora, para descobrir a quanto 𝑥 é igual, multiplicarei os dois membros por três. Então, 𝑥 é igual a três doze avos, que é obviamente o mesmo que um quarto. Agora, posso substituir o valor de 𝑥 de volta nesta equação que tínhamos aqui em cima: 𝑦 igual a menos quatro terços de 𝑥 e isso me dirá a quanto 𝑦 é igual. Então, 𝑦 é um menos quatro terços vezes um quarto. Bem, os quatro vão anular-se aqui; então este é um terço. Então, 𝑦 é igual a um menos um terço, que é dois terços.

Agora, deixarei para ti a verificação disto numa das equações originais. Mas atenção quando começares a fazer a substituição algébrica em pares inadequados de equações, isso fica bastante complicado; há muitas frações e muitos números negativos. Então fica tudo um pouco confuso. Sim, de modo geral, em alguns casos, o método de substituição algébrica é bom para equações lineares. Mas isso realmente acontece quando tens uma equação não linear e uma equação linear. E podes fazer uma substituição simples e agradável desta maneira. Então, por que não conferir este vídeo em particular que resolve sistemas de equações não lineares utilizando substituição algébrica? Ok, por agora, obrigado.

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