Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos a identificar e modelar conceitos geométricos, pontos, retas e planos no espaço. Também consideraremos suas propriedades e o que acontece quando eles interagem entre si. Antes de começarmos, vamos nos lembrar do que queremos dizer quando dizemos pontos, retas e planos.
Em geometria, um ponto é um local. Não tem forma nem tamanho. No entanto, quando estamos trabalhando com o conceito de um ponto, temos que representá-lo de alguma forma. E assim, nós o representamos com um ponto, e geralmente é nomeado por uma letra maiúscula. Se você visse algo assim, chamaria de ponto 𝐴. Em álgebra, consideramos a localização de pontos em duas dimensões, ao longo dos eixos 𝑥 e 𝑦, o que daria ao ponto 𝐴 uma coordenada 𝑥 e uma coordenada 𝑦. Mas quando estamos falando de um ponto no espaço, ele tem uma terceira dimensão de 𝑧, o que significa que as coordenadas de 𝐴 no espaço serão feitas de três componentes: um 𝑥, um 𝑦 e um 𝑧. Para os propósitos deste vídeo, não rotularemos nossos pontos, mas é bom lembrar que eles existem.
Uma reta é um conjunto reto de pontos que se estendem infinitamente em duas direções. Se tivermos dois pontos 𝐴 e 𝐵, há exatamente uma reta que passa por ambos os pontos. Quaisquer outras rotas para ir de 𝐴 a 𝐵 teriam que incluir uma curva. Usamos setas em cada extremidade da reta para indicar que ela se estende infinitamente em duas direções. Uma maneira de nomear uma reta é dar-lhes o nome de quaisquer dois pontos que estejam nessa reta. Nesse caso, poderíamos chamar essa reta de 𝐴𝐵.
Às vezes, as retas são nomeadas com uma variável. Quando isso acontece, geralmente são letras minúsculas. E então, essa reta poderia ser chamada de reta 𝑚. A notação escrita para a reta 𝐴𝐵 seria as letras maiúsculas 𝐴𝐵 com uma pequena reta acima dela. Também seria correto escrever a reta 𝑚. Se estamos falando especificamente sobre o espaço do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵, ele não se encaixa na definição de uma reta, e é por isso que o chamaríamos de segmento de reta.
Um segmento de reta tem dois pontos finais e uma reta continua em ambas as direções. Se você vir 𝐴𝐵 com uma reta acima dela que não possui setas, isso indica um segmento de reta. E nos diz que não se estende infinitamente em nenhuma direção. Devemos também notar que quaisquer pontos que caiam na mesma reta são chamados de pontos colineares. E se você tem um ponto que não está na mesma reta, os dois pontos são considerados pontos não-lineares.
O objeto final no espaço que queremos considerar é um plano. Um plano é uma superfície plana composta de pontos que se estendem infinitamente em todas as direções. Quando estamos desenhando um plano, geralmente usamos um quadrilátero para representar isso. A propriedade chave que precisamos lembrar sobre um plano é que há exatamente um plano através de quaisquer três pontos não-lineares. Também sabemos que pontos ou retas que caem no mesmo plano podem ser chamados de coplanares, enquanto pontos ou retas que não caem no mesmo plano seriam chamados de não-coplanares.
Podemos rotular um plano com quaisquer três dos pontos não lineares desse plano, aqui, plano 𝐴𝐵𝐶. Mas também devemos notar que a ordem das letras maiúsculas não importa. Poderíamos chamar esse plano de plano 𝐵𝐴𝐶. Você também pode ver um plano rotulado com uma letra maiúscula. Nesse caso, poderíamos chamá-lo de plano 𝐾. Agora, vamos considerar a maneira como essas retas e planos de pontos podem interagir entre si no espaço.
Quando se trata de retas no espaço, podemos categorizar suas relações de duas maneiras diferentes, retas que se cruzam e retas que não se cruzam. Para quaisquer duas retas que se cruzam no espaço, elas podem ser encontradas no mesmo plano. Podemos dizer isso porque para qualquer par de retas que se cruzam, sabemos que teremos pelo menos três pontos não-lineares. Aqui, 𝐴 não é encontrado na reta que passa por 𝐶𝐷. Ao mostrar que pelo menos três pontos não lineares estão aqui, podemos dizer que eles existem no mesmo plano.
E quanto às retas que não se cruzam? Quase imediatamente, você provavelmente pensou em retas paralelas, porque sabemos que retas paralelas não se cruzam. Outra propriedade chave das retas paralelas é que elas estão à mesma distância uma da outra em todos os pontos. Se pensarmos em alguns pontos em retas paralelas, reconhecemos que em um par de retas paralelas, existem pelo menos três pontos não-lineares. E, portanto, para um conjunto de retas paralelas no espaço, elas cairão no mesmo plano. Acabamos de mostrar que, no espaço, retas paralelas e retas que se cruzam são coplanares.
Estamos acostumados a ter apenas duas categorias de retas, concorrentes ou paralelas. No entanto, no espaço, temos uma terceira categoria. As retas que não se cruzam e não são planas são chamadas de retas oblíquas. E aqui está o que um par de retas reversas pode parecer. Essas duas retas não se cruzariam porque a reta ℎ ocorre em um plano verticalmente mais alto do que a reta 𝑔. No entanto, elas não se encaixam na definição de retas paralelas porque em alguns pontos a reta 𝑔 está mais próxima da reta ℎ do que em outros pontos, formando retas inclinadas, retas que não se cruzam e não caem no mesmo plano.
Vamos pegar as propriedades que acabamos de ver e responder a algumas perguntas sobre as intersecções de pontos, retas e planos.
Quantos planos podem passar por três pontos não-lineares?
Imagine que temos três pontos arbitrários no espaço 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Sabemos que entre dois pontos quaisquer, existe apenas uma reta, o que significa que uma reta passa pelo ponto 𝐴𝐵; uma reta poderia passar pelo ponto 𝐴𝐶, o que criaria um conjunto de retas que se cruzam. E se não houvesse uma reta passando do ponto 𝐴𝐶, se a reta através de 𝐶 for paralela à reta 𝐴𝐵, ainda é verdade que 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são não-lineares. Eles não estão na mesma reta. Mas as retas paralelas no espaço e as retas que se cruzam no espaço são coplanares; eles existem no mesmo plano. E isso significa que através de quaisquer três pontos não colineares, haverá exatamente um plano.
Com base nas propriedades de pontos, retas e planos no espaço, podemos dizer que existe exatamente um plano através de quaisquer três pontos não-lineares.
Em nosso próximo exemplo, precisamos encontrar a intersecção entre um segmento de reta e um plano.
Qual é a intersecção entre o segmento 𝐵𝐵 linha e o plano 𝐴𝐵𝐶?
Vamos começar identificando o plano 𝐴𝐵𝐶. Este será o plano que contém os três pontos não-lineares, 𝐴, 𝐵 e 𝐶. É claro que incluiria essa peça triangular, mas também se estende em todas as direções. Em seguida, podemos identificar o segmento 𝐵𝐵 linha, que está aqui. A reta 𝐵𝐵 linha se estenderia em ambas as direções, mas estamos interessados apenas no segmento entre 𝐵 e 𝐵 linha.
Quando procuramos a intersecção, procuramos pontos comuns a ambos os objetos. E neste caso, isso é apenas 𝐵. O plano 𝐴𝐵𝐶 e o segmento 𝐵𝐵 linha compartilham apenas um ponto, o ponto 𝐵. Você talvez possa imaginar isso um pouco como se você equilibrasse um lápis em cima de uma folha de papel plana, onde o lápis representa um segmento de reta e o pedaço de papel representa um plano. A intersecção seria um único ponto. E esse único ponto no caso deste objeto seria o ponto 𝐵.
Em nosso próximo exemplo, consideraremos a intersecção de dois planos.
Qual é a intersecção do plano que passa por 𝐴𝐵𝐵 linha 𝐴 linha e o plano que passa por 𝐵𝐶𝐶 linha 𝐵 linha?
Recebemos quatro pontos para identificar nosso plano. Vemos que 𝐴𝐵𝐵 linha 𝐴 linha representa uma face neste prisma retangular. No entanto, o plano que passa por esse ponto seria maior que isso, pois esse plano se estende em todas as direções. Em seguida, precisamos identificar o plano que passaria por 𝐵𝐶𝐶 linha 𝐵 linha. Novamente, temos um plano que está passando por uma face em um prisma retangular. Mas, novamente, sabemos que esses planos se estendem infinitamente em todas as direções.
Ao estender esse plano 𝐵𝐶𝐶 linha 𝐵 linha, vemos que ele está cortando o plano 𝐴𝐵𝐵 linha 𝐴 linha, e a intersecção está acontecendo na reta que passa pelos pontos 𝐵𝐵 linha. A intersecção desses dois planos forma uma reta, e podemos chamar essa reta de 𝐵𝐵 linha.
Em nosso próximo exemplo, veremos o que pode acontecer na intersecção de três planos diferentes.
Qual é a intersecção dos planos 𝑀𝐴𝐵, 𝑀𝐵𝐶 e 𝑀𝐴𝐶?
Primeiro, vamos ver 𝑀𝐴𝐵. O plano 𝑀𝐴𝐵 seria o plano que contém essa face em nossa pirâmide triangular. Se fizermos o mesmo para os pontos 𝑀𝐵𝐶, está aqui. Se estivéssemos falando apenas da intersecção do plano 𝑀𝐴𝐵 e 𝑀𝐵𝐶, essa interseção é a reta que contém os pontos 𝑀 e 𝐵. Se adicionarmos neste plano final 𝑀𝐴𝐶, este espaço aqui, acabamos com uma intersecção do plano 𝑀𝐴𝐵 e 𝑀𝐴𝐶 na reta 𝑀𝐴. E vemos que o plano 𝑀𝐵𝐶 cruza o plano 𝑀𝐴𝐶 na reta 𝑀𝐶.
Mas agora, precisamos considerar qual é o espaço compartilhado de todos os três planos. E o único espaço compartilhado entre todos os três planos é o ponto 𝑀. Se visualizarmos essa pirâmide de cima para baixo, novamente, podemos ver que o espaço comum a todos os três planos é o ponto 𝑀.
Vamos considerar um exemplo final da intersecção de dois planos.
𝑋 e 𝑌 são planos que se cruzam na reta 𝐿. 𝐵 é um ponto no plano 𝑋 e 𝐶 é um ponto no plano 𝑌. Determine a intersecção do plano 𝑌 com o plano 𝐴𝐵𝐶.
Em nossa figura, podemos ver a reta 𝐿 que são as intersecções dos planos 𝑋 e 𝑌. Queremos a intersecção do plano 𝑌 com o plano 𝐴𝐵𝐶. Vamos primeiro identificar o plano 𝑌. Podemos ver que o plano 𝑌 inclui os pontos 𝐴 e 𝐶. E se estivermos interessados no plano 𝐴𝐵𝐶, reconhecemos que os pontos 𝐴 e 𝐵 estão localizados ao longo do mesmo plano, plano 𝑋, e os pontos 𝐶 e 𝐴 estão ambos localizados no plano 𝑌. Isso nos diz que o ponto 𝐴 está localizado no plano 𝑋 e no plano 𝑌.
Como os pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são não-lineares, eles podem formar exatamente um plano. Para ver o plano 𝐴𝐵𝐶, primeiro conectaremos uma reta através dos pontos 𝐴 e 𝐵 e outra reta através dos pontos 𝐴, 𝐶. A partir daí, podemos adicionar uma reta adicional que passa pelo ponto 𝐶. Ao conectar essas retas, temos uma ideia de como esse plano seria.
Neste ponto, devemos começar a ver que o plano 𝐴𝐵𝐶 está cortando o plano 𝑌. E esse corte está acontecendo ao longo da reta que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐶. O plano 𝑌 contém a reta 𝐴𝐶, assim como o plano 𝐴𝐵𝐶, o que torna a intersecção do plano 𝑌 e do plano 𝐴𝐵𝐶 a reta 𝐴𝐶.
Antes de terminarmos, vamos revisar rapidamente nossas principais conclusões deste vídeo. Para quaisquer duas retas no espaço, as configurações possíveis serão paralelas, concorrentes ou reversas. Um plano pode ser definido por três pontos não lineares ou duas retas que se cruzam. E, finalmente, para uma reta e um plano no espaço, as configurações possíveis serão se cruzando em um ponto, reta incluída no plano ou reta paralela ao plano, mas não incluída.
