Vídeo: Resolvendo Equações Quadráticas sobre o Conjunto de Números Complexos

Determine o conjunto solução de 𝑥² − 8𝑥 + 185 = 0 sobre o conjunto de números complexos.

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Transcrição do vídeo

Determine o conjunto-solução de 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 mais 185 igual a zero no conjunto dos números complexos.

Então, o que vamos fazer aqui é resolver esta equação do segundo grau. E a forma como vou começar é subtrair 185 de cada membro desta equação primeiro. Deixa-me com 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥 no primeiro membro e menos 185 no segundo membro. O que me deixa é com um 𝑥 quadrado no primeiro membro menos oito 𝑥.

Agora, vamos utilizar a nossa experiência de completar o quadrado. Como palpite inicial, digo que pode ser escrito como 𝑥 menos quatro tudo ao quadrado ou 𝑥 menos quatro vezes 𝑥 menos quatro. Porque como temos um 𝑥 ao quadrado, temos um 𝑥 e um 𝑥 aqui. E porque temos menos oito 𝑥 aqui, vamos considerar metade de menos oito, que é menos quatro.

Agora, quando os multiplico, obtenho 𝑥 vezes 𝑥 que é 𝑥 ao quadrado, 𝑥 vezes menos quatro, que é menos quatro 𝑥, menos quatro vezes 𝑥 que é outro menos quatro 𝑥 e menos quatro vezes menos quatro que é 16 positivo. Ou seja, 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 menos outro quatro 𝑥 mais 16. Bem, menos quatro 𝑥 menos outro quatro 𝑥 é menos oito 𝑥.

Então, parece que estamos errados. Isto aqui, 𝑥 menos quatro ao quadrado, não é exatamente o mesmo que 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥. Sim, tem 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥, mas também tem um mais 16 extra — um mais 16 extra. Então, se eu tirasse 16 de 𝑥 menos quatro vezes 𝑥 menos quatro, ficaria com apenas 𝑥 ao quadrado menos oito 𝑥. 𝑥 menos quatro ao quadrado menos 16 é o mesmo que 𝑥 quadrado ao menos oito 𝑥 e isso é igual a menos 185. Bem, eu estou a tentar resolver isso para 𝑥. Vou adicionar 16 a ambos os membros, e isso dá-me 𝑥 menos quatro ao quadrado no primeiro membro e menos 169 no membro direito.

E para resolver isto em ordem a 𝑥, teremos que aplicar raízes quadradas em ambos os membros para que aqui 𝑥 menos quatro ao quadrado, fique apenas 𝑥 menos quatro. Mas deparamo-nos com um pequeno problema, porque não há soluções reais para a raiz quadrada de menos 169. Então, vou reescrever menos 169 como 169 vezes menos um.

Então, aplicando a raiz quadrada no primeiro membro dá apenas 𝑥 menos quatro e no segundo membro, a raiz quadrada de 169 é 13. Então, efetivamente existem duas soluções aqui. Menos 13 também nos daria 169 se fizéssemos o seu quadrado.

E agora podemos utilizar uma definição dos números imaginários; 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então, 𝑖 é a raiz quadrada de menos um, para dizer que a raiz quadrada de menos um é 𝑖. Então 𝑥 menos quatro é igual a 13 positivo ou negativo. Agora, se adicionar quatro a cada membro da equação, obtenho 𝑥 no primeiro membro e mais ou menos 13 𝑖 mais quatro ou quatro mais ou menos 13 𝑖 no membro direito.

Agora, se olharmos para a questão, pedia-nos para determinar o conjunto-solução. Então, eu preciso de escrevê-la na notação de conjunto. O conjunto-solução contém dois valores quatro mais 13𝑖 e quatro menos 13𝑖.

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