Vídeo: Encontrando Todos os Valores Desconhecidos em um Triângulo Retângulo

Dada a figura a seguir, encontre os comprimentos de 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 e a medida de ∠𝐴𝐵𝐶 em graus. Dê suas respostas aproximadas a duas casas decimais.

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Transcrição do vídeo

Dada a figura a seguir, encontre os comprimentos de 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 e a medida do ângulo 𝐴𝐵𝐶 em graus. Dê suas respostas aproximadas a duas casas decimais.

Nossa pergunta está nos pedindo três partes diferentes de informação: o comprimento de 𝐴𝐵, o comprimento de 𝐵𝐶 e a medida de ângulo 𝐴𝐵𝐶. Vamos começar encontrando o comprimento do lado 𝐴𝐵. Para fazer isso, devemos perguntar o que sabemos? Conhecemos uma medida angular de 58 graus e sabemos o comprimento lateral adjacente a esse ângulo. O comprimento lateral seis, 𝐴𝐶, é adjacente ao ângulo 𝐶.

Nossa próxima pergunta seria o que queremos saber? O que está faltando? O lado que falta é o lado oposto ao ângulo 𝐶. O que eu quero que você veja aqui é que temos um ângulo, o comprimento lateral adjacente e o comprimento do lado oposto. Qual função trigonométrica caberia aqui? O que nos ajudaria a resolver isso?

A relação de tangente trata de um ângulo, o comprimento do lado oposto e o comprimento do lado adjacente. E esta é toda a informação que temos. Nós temos a tangente de 58 graus igual ao comprimento do nosso lado que está faltando sobre seis. Podemos tratar o comprimento do nosso lado que está faltando como uma variável e resolvê-lo. Para obter o comprimento do lado 𝐴𝐵 isolado, vou multiplicar ambos os lados da nossa equação por seis sobre um. No lado direito da nossa equação, dividimos por seis. Multiplicando por seis, eles se cancelam, deixando você com o comprimento do lado 𝐴𝐵.

Do outro lado, temos seis vezes tangente de 58 graus. Se colocarmos na calculadora, obtemos 9.60200. Nossa pergunta pede para dar nossas respostas aproximadas a duas casas decimais. Então, olhamos para as milhares de casas para ver como vamos arredondar e descobrimos que o comprimento do lado 𝐴𝐵 é igual a 9.60 unidades. Então, podemos inserir essa informação em nossa figura.

A partir daí, podemos avançar para encontrar o comprimento do lado 𝐵𝐶. Como estamos trabalhando com um triângulo retângulo e já conhecemos dois dos lados, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento de nossa hipotenusa, nosso terceiro lado ausente. Aqui, substituímos os dois lados mais curtos, 𝐴 e 𝐵. Teremos seis ao quadrado mais 9.6 ao quadrado igual a 𝐶 ao quadrado. Seis ao quadrado é igual a 36; 9.6 ao quadrado é igual a 92.16. Quando adicionamos os dois, obtemos 128.16 igual a 𝐶 ao quadrado.

A partir daí, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da nossa equação, e nossa calculadora nos diz que 𝐶 seria igual a 11.3207. Mas, novamente, queremos arredondar para duas casas decimais. Então, nós verificamos nossa posição das centenas e depois arredondamos para 11.32. Podemos seguir em frente e nomear nosso gráfico. O comprimento lateral de 𝐵𝐶 é 11.32 de comprimento.

Temos uma última informação que falta, queremos saber qual é a medida do ângulo 𝐴𝐵𝐶, este ângulo. Sabemos que quando somamos todos os ângulos em um triângulo, eles são iguais a 180 graus. E como temos dois desses três, podemos substituir isso aqui e resolver o ângulo 𝐵. Ângulo 𝐴 é o nosso ângulo reto, o que significa que é 90 graus, o ângulo 𝐵 é o nosso ângulo em falta e o ângulo 𝐶 é 58 graus.

Se somarmos 90 e 58, obteremos 148 mais o ângulo 𝐵 será igual a 180 graus. Subtraia 148 graus de ambos os lados da equação. 148 menos 148 cancelam. E então descobrimos que o ângulo 𝐵 é igual a 32 graus. Mas lembre-se de que todas as nossas respostas precisam ser dadas com duas casas decimais. Então, para o ângulo 𝐵, diremos 32 e zero centenas, 32.00.

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