Vídeo: Resolvendo Inequações do Segundo Grau dado o Gráfico da Função Relacionada

Determine o conjunto-solução da inequação 𝑓(𝑥) ≤ 0 utilizando o gráfico em baixo.

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Transcrição do vídeo

Determine o conjunto-soluções da inequação 𝑓 de 𝑥 menor ou igual a zero utilizando o gráfico em baixo.

Qual é a interpretação gráfica dessa inequação? Bem, 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual a zero quando o seu gráfico está abaixo ou no eixo O𝑥. Olhando para o gráfico, podemos ver que existem duas regiões onde isto acontece. Uma delas está à esquerda do menos quatro. E como não temos uma bola fechada a informar-nos que o gráfico termina, assumimos que continua para a esquerda e para baixo. A segunda região é à direita de menos três. E novamente, seguimos em frente assumindo que continua.

Estamos à procura dos valores de 𝑥 para os quais 𝑓 de 𝑥 é menor ou igual a zero. Assim, para a parte laranja do gráfico à esquerda de menos quatro, esta região é dada por 𝑥 menor ou igual a menos quatro. Estamos a utilizar o sinal menor ou igual a em vez de apenas o sinal de menor que porque menos quatro está nessa região. O ponto extremidade está incluído. Podemos ver no gráfico que 𝑓 de menos quatro é igual a zero e, portanto, satisfaz 𝑓 de 𝑥 menor ou igual a zero.

A outra região é 𝑥 maior ou igual a menos três, onde estamos a utilizar o sinal maior ou igual a pelo mesmo motivo anterior porque menos três está incluído nessa região porque 𝑓 de menos três é zero e satisfaz 𝑓 de 𝑥 menor ou igual a zero. Então, essencialmente, o nosso conjunto-solução contém os valores de 𝑥 para os quais 𝑥 é menor ou igual a menos quatro ou 𝑥 é maior que ou igual a menos três. Também podemos escrever isto na forma de intervalo. 𝑥 é menor ou igual a menos quatro pode ser escrito como: parênteses aberto, menos infinito, menos quatro, parêntesis fechado. E o facto de estarmos aa utilizar parênteses aberto à esquerda diz-nos que o ponto extremidade menos infinito não está incluído. Mas o facto de utilizarmos parêntesis fechado à direita diz-nos que o ponto extremidade menos quatro está incluído.

De forma semelhante, a inequação 𝑥 maior que ou igual a menos três pode ser escrita na forma de intervalo como parêntesis aberto, menos três, infinito, parênteses fechado, onde o parêntesis aberto no lado esquerdo informa-nos que o ponto extremidade menos três está incluído no intervalo, e o parêntese fechado no lado direito diz-nos que o ponto extremidade infinito não está. E para expressar o facto de 𝑥 poder estar em qualquer um destes intervalos, utilizamos o símbolo da união. Esta é uma maneira de escrever o conjunto-solução na forma de intervalo, mas existe outra maneira. Podemos, em vez disto, descrever o conjunto-solução como sendo tudo à parte da pequena região verde entre menos quatro e menos três. Esta região verde é tudo, exceto menos quatro menor que 𝑥 menor que menos três.

Na forma de intervalo, isto é tudo menos parêntese aberto, menos quatro, menos três, parênteses fechado em que temos tido o cuidado de utilizar parênteses curvos em vez de parêntesis retos e sinais de menor que em vez de menor ou igual a porque nenhum ponto extremidade está incluído neste intervalo. Lembre-se de que este é o intervalo dos valores de 𝑥 que não satisfazem a ineuqação e, portanto, não estão no conjunto-solução.

No nosso caso, tudo é o conjunto de números reais. E assim podemos escrever tudo menos este intervalo como os números reais menos o intervalo. Apenas uma nota rápida para dizer que isto também pode ser escrito como ℝ com uma barra seguida do intervalo que deve ser removido.

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