Vídeo: Encontrando um Comprimento Lateral de um Triângulo de Retângulo Inscrito em uma Circunferência Dado o Comprimento de sua Hipotenusa

Dado que 𝐴𝑀 = 50 cm, encontre o comprimento de 𝐵𝐶.

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Dado que 𝐴𝑀 é igual a 50 centímetros, encontre o comprimento de 𝐵𝐶.

Portanto, temos um diagrama de uma circunferência com o centro 𝑀. E nos pedem para calcular o comprimento de 𝐵𝐶, que é uma corda da circunferência. Também nos é dito que o comprimento do segmento de reta 𝐴𝑀 é de 50 centímetros.

Se considerarmos esse segmento de reta 𝐴𝑀, podemos ver que ela é, na verdade, um raio da circunferência, pois suas extremidades são o centro da circunferência 𝑀 e um ponto na borda da circunferência 𝐴. O segmento de reta 𝐴𝐵 é um diâmetro da circunferência, pois suas extremidades são ambos pontos da borda da circunferência e passam pelo centro.

A relação entre o diâmetro e o raio de uma circunferência é que o diâmetro é duas vezes maior que o raio. Então, se 𝐴𝑀 tem 50 centímetros, então o comprimento total de 𝐴𝐵 é o dobro disso. São 100 centímetros.

Queremos calcular o comprimento da corda 𝐵𝐶, que é um lado do triângulo 𝐴𝐵𝐶, no qual conhecemos um outro lado, 100 centímetros, e um ângulo, 30 graus. Conhecemos alguma outra informação sobre este triângulo?

Bem, na verdade, nós sabemos. O segmento de reta 𝐴𝐵 como já discutimos é o diâmetro da circunferência, dividindo-a em duas semicircunferências. Sabemos que o ângulo inscrito em uma semicircunferência é de 90 graus. Um ângulo inscrito é aquele que tem seu vértice na circunferência, neste caso o ponto 𝐶, e os lados que contêm as cordas da circunferência, neste caso as cordas 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶.

Portanto, sabemos que o ângulo 𝐵𝐶𝐴 é um ângulo reto, de 90 graus. Portanto, agora temos um triângulo retângulo no qual sabemos o comprimento de um lado, a medida de um outro ângulo, e estamos procurando calcular o comprimento de um segundo lado. Podemos, portanto, aplicar a trigonometria a este problema.

Primeiro, precisamos decidir qual razão trigonométrica será aplicada. E, para fazer isso, precisamos começar rotulando os três lados do triângulo em relação ao ângulo de 30 graus. 𝐵𝐶 é o lado oposto. 𝐴𝐶 é o adjacente. E 𝐴𝐵 é a hipotenusa.

Podemos nos lembrar da sigla SOHCAHTOA para nos ajudar a decidir qual das três razões trigonométricas usar. O lado que queremos calcular é o oposto. E o lado que conhecemos é a hipotenusa. O e H aparecem juntos na parte SOH dessa sigla, o que nos diz que é a razão seno que precisamos usar nessa questão.

Vamos lembrar sua definição. O seno de um ângulo 𝜃 é igual ao lado oposto dividido pela hipotenusa. Nesta questão, o ângulo 𝜃 é de 30 graus. O lado oposto é o que queremos calcular, 𝐵𝐶. E a hipotenusa é 100. Então temos a equação seno de 30 graus é igual a 𝐵𝐶 dividido por 100.

Gostaríamos de resolver essa equação para encontrar o comprimento de 𝐵𝐶. Vamos começar multiplicando os dois lados por 100. Eu também escrevi os dois lados da equação ao contrário nesta etapa, de modo que 𝐵𝐶 fique do lado esquerdo. Nós temos 𝐵𝐶 é igual a 100 sen 30 graus.

Agora podemos, de fato, responder a essa pergunta sem usar uma calculadora, porque 30 graus é um dos ângulos notáveis para os quais precisamos saber as razões de seno, cosseno e tangente de cor.

O valor do seno de 30 graus é de fato igual a meio. Portanto, 𝐵𝐶 é igual a 100 multiplicado por meio. E a nossa resposta para o problema é que o comprimento de 𝐵𝐶 é de 50 centímetros. Respondemos a essa pergunta aplicando trigonometria em um triângulo retângulo. Para fazer isso, precisamos lembrar o fato-chave de que a medida de um ângulo inscrito em uma semicircunferência é de 90 graus.

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