Vídeo: Determinando o Quociente de uma Função e seu Domínio

Simplifique a função 𝑛 (𝑥) = (7𝑥 + (63/(𝑥 + 6)))/(𝑥 + (9/(𝑥 + 6))), e encontre seu domínio em ℝ.

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Transcrição do vídeo

Simplifique a função 𝑛 de 𝑥 é igual a sete 𝑥 mais 63 sobre 𝑥 mais seis sobre 𝑥 mais nove sobre 𝑥 mais seis e encontre seu domínio no conjunto de números reais.

OK. Primeiro de tudo, vamos ter que fazer um pouco de álgebra para simplificar essa função, e então podemos considerar o domínio, o conjunto de valores de entrada válidos para essa função.

Primeiro, vamos tentar simplificar esse denominador aqui. Então, estamos adicionando dois termos, 𝑥 e nove sobre 𝑥 mais seis. Agora o primeiro termo é 𝑥 e o segundo termo é uma fração. Então podemos converter 𝑥 em uma fração apenas colocando 𝑥 sobre um. Agora temos uma fração mais outra fração. E multiplicando esse primeiro termo por 𝑥 mais seis sobre 𝑥 mais seis, o que é igual a um por isso não está mudando o número, vamos criar uma fração que tenha o mesmo denominador que a outra fração. Então, apenas trocando o 𝑥 e o 𝑥 mais seis no numerador, esse primeiro termo se torna 𝑥 vezes 𝑥 mais seis sobre 𝑥 mais seis. E o segundo termo continua sendo nove sobre 𝑥 mais seis. Agora temos um denominador comum. Podemos apenas adicionar os numeradores. E isso me dá 𝑥 vezes 𝑥 mais seis mais nove tudo sobre 𝑥 mais seis. Agora podemos multiplicar os parênteses, 𝑥 vezes 𝑥 dá 𝑥 ao quadrado e 𝑥 vezes seis dá seis. Que nos dá 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais nove tudo sobre 𝑥 mais seis.

Agora também podemos notar que 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais nove é o mesmo que 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais três. E é sempre bom fatorar o máximo que pudermos, pois, com sorte, alguns termos podem ser cancelados. Fatorando temos essa nova expressão aqui, o que equivale aquela expressão. Então vamos apenas copiar ela lá. Portanto, converti o denominador em uma expressão, onde temos dois termos multiplicados divididos por outro termo. E esperamos que, se fizermos um processo semelhante ao do numerador original aqui, geraremos uma expressão que tem termos que cancelarão com o nosso denominador lá. Então vamos em frente.

Começaremos com sete 𝑥 mais 63 sobre 𝑥 mais seis. Eu posso converter o primeiro termo em uma fração. Então, agora tenho uma fração mais outra fração e preciso criar um denominador comum. Assim, posso multiplicar o primeiro termo por 𝑥 mais seis sobre 𝑥 mais seis, o que novamente é um. Então, uma vez sete 𝑥 sobre um é apenas sete 𝑥 sobre um. E isso nos dá sete 𝑥 vezes 𝑥 mais seis sobre 𝑥 mais seis mais 63 sobre 𝑥 mais seis. Agora temos um denominador comum. Podemos apenas adicionar os numeradores novamente. E nos dá sete 𝑥 vezes 𝑥 mais seis mais 63 tudo sobre 𝑥 mais seis. Agora poderíamos multiplicar sete 𝑥 por 𝑥 que dá sete 𝑥 ao quadrado e sete 𝑥 por seis que dá 42𝑥 e depois somar 63, mas na verdade não vamos fazer isso neste caso. Porque percebemos que sete é um fator comum de 63, então eu posso escrevê-lo como um produto de sete. Então temos sete aqui e temos sete vezes nove que é 63. E quando resolvemos isso, temos sete vezes 𝑥 vezes 𝑥 mais seis mais nove sobre 𝑥 mais seis.

Agora, a razão de eu ter feito tudo isso e pegado os fatores de sete, é porque o conteúdo desses parênteses aqui, 𝑥 vezes 𝑥 mais seis mais nove, é exatamente a expressão que tínhamos antes, quando estávamos simplificando o outro denominador. Então, quando eu multiplicar 𝑥 vezes 𝑥 e 𝑥 vezes seis, isso me dá 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥. Então temos 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais nove entre parênteses sobre 𝑥 mais seis, e vimos que 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 mais nove fatorado é 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais três. Então temos sete vezes 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais três sobre 𝑥 mais seis.

Então, quando simplificamos esse numerador, criamos aqui uma expressão que é muito semelhante ao denominador que criamos. Então, nós conseguimos reescrever nossa expressão original para a função 𝑛 de 𝑥 como essa expressão aqui, o que não parece particularmente como se a tivéssemos simplificado. Mas lembre-se de que temos este numerador dividido por este denominador. E quando escrevemos isso, temos a função 𝑛 de 𝑥 é igual a sete vezes 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais três sobre 𝑥 mais seis dividido por 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais três sobre 𝑥 mais seis.

E quando dividimos frações, simplesmente temos que inverter a segunda fração e transformá-la em uma multiplicação. Então, isso se torna sete vezes 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais três sobre 𝑥 mais seis vezes 𝑥 mais seis sobre 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais três. Agora, isso é muito útil porque temos vários termos multiplicados no numerador e muitos termos multiplicados no denominador. Mas o mais conveniente é que alguns dos termos no numerador são os mesmos que alguns dos termos no denominador. Então vamos poder cancelá-los.

Por exemplo, dividir o numerador por 𝑥 mais seis nos dá um aqui. Dividir o denominador por 𝑥 mais seis nos dá um aqui. Dividindo o numerador por 𝑥 mais três aqui nos dá um. Dividindo o denominador por 𝑥 mais três aqui nos dá um. Dividir o numerador por 𝑥 mais três nos dá um. Dividir o denominador por 𝑥 mais três nos dá um. Então, temos sete vezes um vezes um vezes um sobre um vezes um vezes um.

E, pronto! Esta grande expressão que tínhamos no início, para n de 𝑥, foi simplificada para 𝑛 de 𝑥 é igual a sete. Então essa é a resposta para a primeira parte da pergunta. A versão simplificada dessa função de 𝑛 de 𝑥 é igual a sete.

OK. Agora vamos considerar o domínio dessa função. Quais são os valores de 𝑥 válidos para essa função? Bem você pode pensar que é qualquer número real porque a função é sempre igual a sete. Mas espere, isso não está certo. Se olharmos para a nossa expressão original da função, se este denominador aqui tiver um valor de zero, então temos algo dividido por zero e que será indefinido. Assim, um valor de 𝑥 que gera um denominador nessa função de zero precisaria ser excluído do domínio. E, da mesma forma, aqui no numerador, temos esse termo de 63 sobre 𝑥 mais seis. Se o valor de 𝑥 que colocamos na função gerar um valor zero nessa posição, teremos 63 dividido por zero, o que novamente será indefinido.

Portanto, precisamos nos perguntar quais valores de 𝑥 devemos excluir do domínio? Bem, o valor de 𝑥 que torna esse termo igual a zero - em outras palavras, quando 𝑥 mais seis é igual a zero - precisa ser excluído. E subtraindo seis de ambos os lados dessa equação nos diz que 𝑥 precisaria ser menos seis para que isso acontecesse. Então esse é o primeiro valor de 𝑥 que precisamos excluir do domínio.

Mas também dissemos que se o denominador aqui for zero, então qualquer valor de 𝑥 que iguale ele a zero também precisa ser excluído. Então, 𝑥 mais nove sobre 𝑥 mais seis é igual a zero. E lembre-se de que já reescrevemos isso dessa maneira: 𝑥 mais três vezes 𝑥 mais três sobre 𝑥 mais seis. Portanto, qualquer valor de 𝑥 que leve isso igual a zero é um valor que precisamos excluir também. Bem, para que essa expressão seja igual a zero, precisamos fazer o numerador igual a zero. E ambos os termos multiplicados são de fato 𝑥 mais três.

Agora, não importa se temos 𝑥 mais três iguais a zero, ou 𝑥 mais três igual a zero. Contanto que um desses conjuntos de parênteses seja zero, então esses dois termos multiplicados darão uma resposta zero. Como eles são os dois, 𝑥 mais três, é basicamente 𝑥 mais três que precisa ser igual a zero. E subtraindo três de cada lado dessa equação nos diz que 𝑥 precisaria ser igual a menos três para tornar essa expressão igual a zero. Então, podemos excluir 𝑥 é igual a menos três do nosso domínio também.

Assim, o domínio é igual aos números reais, mas excluindo menos seis e excluindo menos três também. E uma forma de escrever isso é dizer que o domínio é igual ao conjunto de números reais menos o conjunto contendo seis negativo e três negativo. Então, essas são nossas respostas.

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