Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações usando funções trigonométricas inversas no primeiro quadrante.
Antes de falarmos sobre as funções trigonométricas inversas, vamos nos lembrar do que sabemos sobre funções trigonométricas. Para fazer isso, vamos considerar esta figura. Temos um triângulo retângulo com um comprimento vertical de 𝑦 e um comprimento horizontal de 𝑥. Observe que a distância da origem até 𝑥, 𝑦 é um. Isso significa que o triângulo está inscrito em um círculo de raio um. Um círculo com um centro na origem e um raio de um é conhecido como círculo unitário. Então, o que vemos aqui é um triângulo retângulo inscrito no círculo unitário. E vamos falar sobre o seno, o cosseno e a tangente em relação a esse triângulo retângulo no círculo unitário. O valor 𝑥 representa o comprimento do lado adjacente. O valor 𝑦 representa o comprimento do lado oposto. E então, temos uma hipotenusa de um, a distância da origem ao ponto 𝑥, 𝑦.
Dado este triângulo com um ângulo de 𝜃, o sen de 𝜃 é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa. O cos de 𝜃 é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa, e a tg de 𝜃 é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente. A partir dessas informações, obtemos um princípio realmente importante. Para funções trigonométricas, o valor de entrada ou o domínio será uma medida de ângulo e a saída será uma razão de comprimentos laterais. Nós inserimos alguns 𝜃 e a saída será uma razão. Usando essas informações e o que sabemos sobre funções inversas, podemos dizer que a saída das funções trigonométricas, a imagem, deve se tornar o domínio de seu inverso, e a entrada das funções trigonométricas, seu domínio, se tornará a imagem das funções trigonométricas inversas.
No inverso do seno, você introduz uma razão, cateto oposto sobre a hipotenusa, e a saída é uma medida de ângulo. No inverso do cosseno, inserimos uma razão adjacente sobre a hipotenusa e obtemos uma medida de ângulo. A mesma coisa vale para a tangente. O que estamos dizendo é que para a nossa função trigonométrica inversa, os valores que inserimos na função serão razões de comprimentos laterais e a saída será alguma medida de ângulo. A saída pode ser em graus ou radianos. Mas antes de prosseguirmos, precisamos fazer algumas distinções.
Como as três funções trigonométricas não são bijetoras, elas falham no teste da linha horizontal, quando estamos trabalhando com elas, temos que restringir seu domínio. E isso significa que, para operar com os inversos das funções trigonométricas, também precisaremos operar sob domínios restritos. Nesse caso, operaremos apenas de zero graus a 90 graus ou de zero radianos a 𝜋 sobre dois radianos. Vamos nos limitar a trabalhar com as funções inversas no primeiro quadrante. Se você estiver trabalhando com inversos em uma calculadora, eles fornecerão automaticamente as respostas do primeiro quadrante. Então, vamos considerar como usamos essas funções trigonométricas inversas para resolver equações.
Dado que 𝐴 é um ângulo agudo e sen 𝐴 é igual a 0,8193, determine a medida do ângulo 𝐴 para o décimo mais próximo de um grau.
Sabemos que o sen de algum ângulo desconhecido 𝐴 é igual a 0,8193. Se pensarmos nessa função trigonométrica, o valor 𝜃 é uma medida de ângulo e é igual a alguma razão de comprimentos laterais. Se sabemos a razão dos comprimentos laterais e queremos saber a medida do ângulo, precisamos de uma função que possa desfazer a função seno, e que seria o inverso do sen do sen de 𝜃. Precisamos pegar o inverso do sen do sen de 𝐴. Então, faremos isso com os dois lados da nossa equação. O inverso do sen do sen de 𝐴 é igual a 𝐴, e o inverso do sen de 0,8193 pode ser encontrado com uma calculadora. Certifique-se de que sua calculadora esteja definida em graus, pois estamos interessados nessa medida de ângulo em graus.
Quando fazemos isso, obtemos a dízima 55,0147 graus. Vamos arredondar isso para o décimo mais próximo e veremos que a medida do ângulo 𝐴 é de 55,0 graus. Foi dado que 𝐴 é um ângulo agudo e, portanto, estamos interessados apenas no menor valor que 𝐴 pode ter, que aqui é 55 graus.
Antes de prosseguirmos, devemos conhecer as diferentes notações para as funções trigonométricas inversas. Já vimos o seno com o sobrescrito de menos um, e lemos como o inverso do seno. Mas isso às vezes também é escrito como o arco seno, e essas duas notações significam exatamente a mesma coisa. O arco seno retorna o ângulo cujo seno é um determinado número. Da mesma forma, o inverso do cosseno pode ser escrito como arco cosseno e o inverso da tangente como arctg. Vamos ver outro exemplo em que precisamos usar uma função trigonométrica inversa para resolver uma equação.
Encontre o valor de 𝑋, dado que a tg de 𝑋 sobre quatro é igual à raiz quadrada de três, onde 𝑋 sobre quatro é um ângulo agudo.
Sabemos que lidaremos apenas com ângulos no primeiro quadrante. Também sabemos que a tangente de 𝜃 é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente. E isso significa que para algum ângulo 𝜃, a tangente de 𝜃 é igual a essa razão. E para nós, esse ângulo é 𝑋 sobre quatro e a razão é a raiz quadrada de três. Quando vemos que a tg de algum ângulo é igual à raiz quadrada de três, podemos reconhecer que esse é um ângulo especial. Sabemos que a tg de 60 graus é igual à raiz quadrada de três. E se sabemos que a tg de 60 graus é igual à raiz quadrada de três, então podemos definir 𝑋 sobre quatro igual a 60 graus. Então, multiplicamos ambos os lados da equação por quatro e descobrimos que 𝑋 deve ser igual a 240 graus.
Você pode, de repente, estar se perguntando, “Espere! Eu pensei que este era um ângulo agudo. ” Mas temos que ter cuidado aqui porque 𝑋 sobre quatro é um ângulo agudo; isso não significa que 𝑋 por si só tenha que ser menor que 90 graus. 𝑋 sobre quatro é 60 graus, que é um ângulo agudo, e 𝑋 é 240 graus.
Mas agora você pode estar se perguntando, e se você não se lembrasse de que a tg de 60 graus é igual à raiz quadrada de três? Nesse caso, você pode usar a função trigonométrica inversa. Se você pegar o inverso da tg da tg de 𝑋 sobre quatro, você obterá apenas 𝑋 sobre quatro. E se você pegar o inverso da tg da raiz quadrada de três e colocar em uma calculadora, você terá 60 graus. Agora você quer ter certeza de que sua calculadora está operando em graus e não em radianos quando você inserir o inverso da tg da raiz quadrada de três. Ambos os métodos mostram que 𝑋 deve ser igual a 240 graus para que 𝑋 sobre quatro seja igual a 60 graus.
Agora, estamos prontos para considerar outro exemplo.
Encontre a medida do ângulo 𝑋 em graus, dado que duas vezes cos de 𝑋 é igual a tg de 60 graus, onde 𝑋 é um ângulo agudo.
Como 𝑋 é um ângulo agudo, estamos interessados apenas em soluções no quadrante um. Então, podemos olhar para duas vezes o cos de 𝑋 é igual a tg de 60 graus. E a primeira coisa que podemos fazer é resolver para tg de 60 graus, que é igual à raiz quadrada de três. Como esse é um ângulo que geralmente memorizamos, talvez você já saiba que a tg de 60 graus é a raiz quadrada de três. Se não, você pode colocar isso na sua calculadora. Agora, temos duas vezes cos de 𝑋 igual à raiz quadrada de três. Nosso objetivo é resolver para 𝑋. Estamos tentando obter 𝑋 por si só. Então, nós dividimos por dois e vemos que o cos de 𝑋 tem que ser igual à raiz quadrada de três sobre dois.
E uma de duas coisas pode acontecer aqui. Você deve se lembrar que o cos de 30 graus é a raiz quadrada de três sobre dois. Ou você pode reconhecer que podemos resolver 𝑋 encontrando o inverso do cosseno de ambos os lados dessa equação. O inverso do cos do cos de 𝑋 é igual a 𝑥 e o inverso do cos da raiz quadrada de três sobre dois podem ser inseridos em uma calculadora, que retornará 30 graus. Se você soubesse que o cos de 30 graus é a raiz quadrada de três sobre dois, você reconheceria que 𝑋 tem que ser igual a 30 graus. Mas ambos os métodos provam isso.
Agora, estamos prontos para ver um exemplo final.
Encontre a medida do ângulo 𝐸, dado que a tg de 𝐸 é igual a 18,5845 e o ângulo 𝐸 é um ângulo agudo. Dê sua resposta para o segundo mais próximo.
Como sabemos que o ângulo 𝐸 é um ângulo agudo, sabemos que lidaremos apenas com valores no primeiro quadrante. Sabemos que a tg de 𝐸 é igual a 18,5845. Sabemos que a tangente de algum ângulo é igual à razão dos comprimentos laterais. E também sabemos que, se nos for dada uma razão de comprimentos laterais para alguma tangente, usando o inverso da tangente, podemos encontrar a medida do ângulo. E isso significa que queremos pegar o inverso da tangente de ambos os lados dessa equação. O inverso da tg de 𝐸 é igual a 𝐸. E antes de encontrarmos o inverso da tg de 18,5845, precisamos pensar sobre “estamos lidando com radianos ou graus?” Precisamos arredondar esse valor para o segundo mais próximo. Um segundo é uma fração de minutos e um minuto é uma fração de grau. Isso significa que precisaremos operar o inverso dessa tangente em graus.
Certificando-se de que nossa calculadora está definida em graus, obtemos que 𝐸 é igual a dízima 86,91998286 graus. Isso significa que 𝐸 tem 86 graus inteiros e outro grau parcial. Para transformarmos esse grau parcial em minutos e segundos, temos que lembrar que um grau é igual a 60 minutos. E isso significa descobrir quantos minutos a dízima 0,91998286 graus seriam, multiplicamos por 60. E quando fazemos isso, obtemos a dízima 55,19897132 minutos, 55 minutos inteiros e um minuto parcial.
Nossa etapa final será converter esse minuto parcial em segundos. E para isso, temos que saber que um minuto equivale a 60 segundos. Então, temos 86 graus, 55 minutos e então teremos 0,19897132 vezes 60 minutos, o que nos dá a dízima 11,93827 segundos. Para arredondar para o segundo mais próximo, vamos arredondar 11,9 para 12. E diremos que a medida do ângulo 𝐸 é igual a 86 graus, 55 minutos e 12 segundos.
Agora, estamos prontos para revisar nossos pontos principais. Para algum valor sen 𝜃, cos 𝜃 ou tg 𝜃 onde 𝜃 é um ângulo agudo, podemos usar as funções trigonométricas inversas para encontrar o ângulo ausente 𝜃. Podemos representar que assim o inverso do sen de sen 𝜃 será igual a 𝜃, o inverso do cos de cos de 𝜃 é igual a 𝜃, e o inverso da tg de tg de 𝜃 será igual a 𝜃.
