Vídeo: Quem (Mais) se Importa com a Topologia? Colares Roubados e Borsuk-Ulam

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Quem (Mais) se Importa com a Topologia? Colares Roubados e Borsuk-Ulam

20:34

Transcrição do vídeo

Você conhece esse sentimento quando duas coisas que parecem completamente não relacionadas acabam tendo uma conexão importante. Especialmente na matemática, sinto uma certa sensação de formigamento sempre que uma dessas conexões começa a se encaixar. É isso que tenho reservado para você hoje. Demora um pouco para configurar. Eu tenho que introduzir esse quebra-cabeça de divisão justa em matemática discreta; é chamado de problema de colar roubado. E também precisamos estabelecer um certo fato topológico sobre as esferas que usaremos para resolvê-lo, chamado teorema de Borsuk-Ulam. Mas confie em mim, ver como essas duas peças de matemática aparentemente desconectadas se juntam vale a pena a conjunção.

E, mais divertido, coordenei este vídeo com Mathologer, que acabou de lançar um vídeo resolvendo um problema de divisão justa muito semelhante, mas com uma tática completamente diferente. Então, após este vídeo, se você deseja saber mais, vá para o canal dele. Se, de alguma forma, você ainda não conhece o Mathologer, o material dele é um dos melhores do YouTube, definitivamente dê uma olhada no resto do canal e se inscreva se você gosta tanto dele quanto eu.

Então, aqui está o quebra-cabeça que vamos resolver, o problema do colar roubado. Você e seu amigo roubam um colar, cheio de joias muito valiosas. Talvez tenha safiras, esmeraldas, diamantes e rubis. E digamos que todos estejam arrumados no colar em uma ordem totalmente aleatória. Além disso, digamos que existia um número par de cada tipo de joia. Bem aqui, eu tenho oito safiras, 10 esmeraldas, quatro diamantes e seis rubis. Você e seu amigo querem dividir o montante igualmente, com cada um de vocês recebendo metade de cada tipo de joia. Quatro safiras, cinco esmeraldas, dois diamantes e três rubis cada.

E, é claro, você pode cortar todas as joias do colar e dividi-las uniformemente, mas isso é chato. Não há realmente um quebra-cabeça lá. Em vez disso, o desafio é fazer o menor número possível de cortes no colar, para que você possa dividir os segmentos resultantes entre você e seu co-conspirador e ainda ter cada um de vocês a metade de cada tipo de joia. Por exemplo, eu fiz isso usando quatro cortes. Se eu der esses três primeiros fios a você e esses dois inferiores ao seu co-conspirador. Observe como cada um de vocês acaba com quatro safiras. Cada um de vocês tem cinco esmeraldas, dois diamantes e três rubis.

A afirmação que quero provar neste vídeo é que, se você tem 𝑛 tipos diferentes de joias, sempre é possível encontrar uma divisão justa usando apenas 𝑛 cortes ou menos. Portanto, com quatro tipos de joias, como neste exemplo, você deve sempre encontrar uma maneira de fazer quatro cortes e dividir as cinco peças resultantes para que cada ladrão tenha o mesmo número de cada tipo de joia. Se houver cinco tipos de joias, você poderá fazer isso em cinco cortes, independentemente da organização. É meio difícil pensar, certo? Quero dizer que você precisa acompanhar todos esses tipos diferentes de joias, garantindo que elas sejam divididas de maneira justa. Mas, ao mesmo tempo, você deve tentar minimizar quantos cortes está fazendo.

Dependendo da sua disposição para quebra-cabeças em matemática, talvez isso pareça um pouco artificial. Mas as principais características que tornam esse problema difícil. É como tentar minimizar o sharding e alocar algumas coleções de coisas de maneira equilibrada. Esses são os tipos de problemas de otimização que realmente ocorrem em uma quantidade razoável em aplicações práticas. Para o pessoal do sistema de computadores por aí, tenho certeza de que você pode imaginar como isso poderia estar relacionado a algum tipo de problema eficiente de alocação de memória. Além disso, se você estiver curioso para realmente vê-lo em ação. Deixei um link na descrição do vídeo para um determinado documento de engenharia elétrica que usa esse mesmo problema.

Independente de sua utilidade, porém, certamente cria um bom quebra-cabeça. Você pode sempre encontrar uma divisão justa usando apenas quantos cortes houver tipos de joias? Então esse é o quebra-cabeça; lembre se. E agora, daremos um passo aparentemente não relacionado ao lado oposto total do universo matemático, a topologia. Imagine pegar uma esfera no espaço tridimensional e pressioná-la de alguma forma no plano 2D, esticando-a e transformando-a como quiser. A única restrição é que você faça isso continuamente, o que você pode pensar em um significado que nunca corta a esfera ou a rasga de forma alguma durante a transformação. Agora, ao fazer isso, pressione continuamente essa esfera no plano. Muitos pares diferentes de pontos na esfera vão pousar um em cima do outro quando atingir o plano. E isso não é realmente um grande problema.

O fato especial que vamos usar, conhecido como o teorema de Borsuk-Ulam, é que você sempre poderá encontrar um par de pontos que começaram nos lados opostos da esfera exatamente para os quais pousam um no outro durante a transformação. Pontos no lado oposto exato de uma esfera são chamados antípodas ou antipodal.

Por exemplo, digamos que você esteja pensando na esfera como a Terra e a transformação escolhida é apenas projetar todos os pontos diretamente no plano do equador. Bem, nesse caso, os polos norte e sul, que são antipodais, cada um pousa no mesmo ponto. E neste exemplo, esse é o único par antipodal que chega ao mesmo ponto. Qualquer outro par antipodal terminará de alguma forma deslocado um do outro. Mas digamos que você ajuste um pouco essa função, talvez a corte durante a projeção. Bem, nesse caso, os polos norte e sul provavelmente não pousam mais um no outro. Mas quando os deuses da topologia fecham uma porta, eles abrem uma janela. Como o teorema de Borsuk-Ulam garante que não importa o que aconteça, deve haver algum outro par antipodal que agora cai em cima um do outro.

O exemplo clássico para ilustrar essa ideia, que qualquer educador de matemática que introduza o teorema de Borsuk-Ulam é obrigado por lei a apresentar. É que deve existir algum par de pontos no lado oposto da Terra, onde a temperatura e a pressão barométrica são ambas exatamente iguais. Pense nisso por um momento. Associar cada ponto da Terra a um par de números, temperatura e pressão é o mesmo que mapear a superfície da Terra em um plano de coordenadas 2D. Onde a primeira coordenada representa a temperatura e a segunda representa a pressão. Além disso, cada um desses valores varia continuamente à medida que você vagueia pela Terra. Portanto, essa associação é um mapeamento contínuo da superfície de uma esfera para o plano, uma maneira constante de esmagar essa superfície em duas dimensões.

Portanto, o que o teorema de Borsuk-Ulam garante é que, independentemente dos padrões climáticos da Terra ou de qualquer outro planeta, algum par de pontos antipodais em algum lugar deve pousar um em cima do outro. O que significa que eles são mapeados para as mesmas coordenadas de pressão de temperatura. Agora, imagino que, se você está assistindo este vídeo, provavelmente é um matemático e quer ver por que isso é verdade, e não apenas isso. Vsauce falou sobre o teorema de Borsuk-Ulam em um ótimo vídeo que ele fez recentemente sobre pontos fixos. E ele deu uma linha de raciocínio realmente bonita para explicá-lo intuitivamente, que eu vou incorporar descaradamente para meu próprio uso aqui.

Dadas algumas funções da esfera no plano, imagine andar pelo equador. As saídas correspondentes no plano formarão algum tipo de circuito fechado. E digamos que sua irmã esteja exatamente no lado oposto do globo. E enquanto você caminha, ela continua se mantendo perfeitamente antipodalmente oposta a você. Como vocês eventualmente trocam de lugar, em algum momento ao longo do caminho, as coordenadas 𝑥 de suas saídas correspondentes precisam se alinhar. Na primeira vez que isso acontecer, quero que você marque onde está na esfera e também onde está sua irmã antípoda. Então, se você inclinar um pouco o equador e caminhar ao longo de um grande círculo ligeiramente diferente, a curva correspondente no espaço de saída mudará um pouco.

Mas pela mesma linha de raciocínio, tem que haver algum ponto em sua caminhada, onde você e sua irmã antípoda chegam a saídas com a mesma coordenada 𝑥, alinhando-se verticalmente. Marque esses dois pontos na esfera também. Se você repetir isso, girando continuamente o equador 180 graus em torno do círculo completo, seus pontos marcados formarão uma nova curva fechada ao redor da esfera. Aqui está o que isso pode parecer no espaço de saída, acompanhando todos os pontos em que você e sua irmã antípoda se alinham verticalmente. Cada ponto dessa nova curva é aquele em que você e sua irmã antípoda, por definição, terminam com a mesma coordenada 𝑥. Portanto, se vocês dois estão andando por essa nova curva, sempre alinham verticalmente.

Mas, além do mais, como vocês eventualmente vão trocar de lugar, deve haver algum ponto no caminho em que você também tem a mesma coordenada 𝑦, alinhando-se horizontalmente. Isso dá um ponto em que você e sua irmã antipodal devem pousar na mesma saída. Muito legal, né? Para ajudar a definir o cenário de como isso se aplica ao problema do colar, quero escrever o que isso significa um pouco mais simbolicamente. Pontos no espaço 3D são representados com três coordenadas, certo? Quero dizer, de certa forma, é isso que é o espaço 3D, para um matemático, pelo menos, todas as triplas possíveis de números. Agora, a esfera mais simples de descrever com coordenadas é uma esfera unitária padrão centralizada na origem, o conjunto de todos os pontos a uma distância dessa origem. Ou seja, todas as triplas de números com a propriedade especial de que a soma de seus quadrados é igual a um.

Portanto, a ideia geométrica de uma esfera está relacionada à ideia algébrica de algum conjunto de números positivos que somam um, lembre-se disso. Se você tem uma dessas triplas, o ponto no lado oposto da esfera, o ponto antipodal correspondente, é o que você obtém ao inverter o sinal de cada coordenada, certo? Então, vamos apenas escrever o que o teorema de Borsuk-Ulam está dizendo simbolicamente. Isso vai ajudar para onde estamos indo. Para qualquer função que capte pontos na esfera, triplas de números cujos quadrados somam um e lança algum ponto no espaço 2D, algum par de coordenadas, como temperatura e pressão. Enquanto essa função for contínua, haverá alguma entrada para que inverter todos os sinais não altere a saída. E com isso em cima da mesa, voltemos ao problema do colar roubado.

Parte da razão pela qual essas duas coisas parecem tão independentes é que o problema do colar é discreto. Mas o teorema de Borsuk-Ulam se aplica a uma situação contínua. Portanto, nosso primeiro passo é traduzir o problema do colar roubado em uma versão contínua. Por enquanto, vamos nos limitar ao caso em que existem apenas dois tipos de joias, safiras e esmeraldas. E esperamos fazer uma divisão justa do colar depois de apenas dois cortes. Como exemplo a ser exibido na tela, digamos que temos oito safiras e 10 esmeraldas no colar. Apenas como lembrete, isso significa que o objetivo é cortar o colar em dois pontos diferentes e dividir esses três segmentos para que cada ladrão tenha metade das safiras e metade das esmeraldas. Observe como a parte superior e inferior aqui têm quatro safiras e cinco esmeraldas.

Pense neste colar como uma linha de comprimento um, com as joias espaçadas uniformemente sobre ele. Agora, divida essa linha em 18 segmentos de tamanho uniforme, um para cada tipo de joia. E, em vez de pensar em cada joia como uma entidade indivisível e discreta no segmento, remova a própria joia. E, em vez disso, basta pintar esse segmento da cor da joia. Então, nesse caso, pintando o colar inteiro apropriadamente, oito dezoito avos da linha serão pintados em safira, enquanto dez dezoito avos da linha serão pintados de esmeralda. A versão contínua desse quebra-cabeça é agora perguntar se podemos encontrar dois cortes em qualquer lugar dessa linha, não necessariamente nessas um dezoito avos marcas de intervalo, que vamos dividir as peças para que cada ladrão tenha o mesmo comprimento de cada cor.

Nesse caso, isso significa que cada ladrão deve ter um comprimento total de quatro dezoito avos de segmentos de cor safira e cinco dezoito avos de segmentos de cor esmeralda. Um ponto importante, mas um tanto sutil, é que, se você puder resolver essa variante contínua do quebra-cabeça, também poderá resolver a versão discreta original. Para ver o porquê, digamos que você encontre uma divisão justa, mas cujos cortes não caem necessariamente entre as joias. Talvez isso faça parte do caminho através de um segmento de esmeralda. Bem, como essa é uma divisão justa, o comprimento da esmeralda nos grupos superior e inferior precisa somar exatamente cinco segmentos de esmeralda, um número inteiro múltiplo do comprimento do segmento. Portanto, mesmo que a divisão corte parcialmente um segmento de esmeralda à esquerda, ela também deverá ser parcialmente cortada em um segmento de esmeralda à direita aqui. Para que o comprimento total possa somar um número inteiro múltiplo do comprimento do segmento.

O que isso significa é que podemos ajustar cada corte sem afetar a divisão, para que eles finalmente se alinhem nessas um dezoito avos marcas. Agora, neste caso contínuo, em que você pode cortar a linha onde quiser, pense em todas as opções necessárias para cortar o colar e alocar suas peças. Primeiro, você escolhe dois lugares diferentes para cortar o intervalo. Mas outra maneira de pensar nisso é escolher três números positivos que somam um. Por exemplo, talvez você escolha um sexto, um terço e um meio. Isso corresponderia a esses dois cortes aqui. Sempre que você encontrar três números positivos que somam um, ele oferece uma maneira de cortar o colar e vice-versa. Depois de cortá-lo, você deve fazer uma escolha binária para cada uma dessas três peças, para saber se vai para o ladrão 1 ou se é para o ladrão 2.

Agora compare isso com se eu lhe pedisse para escolher algum ponto arbitrário na esfera 3D. Algum ponto com as coordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 de modo que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais 𝑧 ao quadrado é igual a um. Bem, você pode começar escolhendo três números positivos que somam um. Talvez você queira 𝑥 quadrado sendo um sexto, 𝑦 quadrado sendo um terço e 𝑧 quadrado sendo um meio. Em seguida, você deve fazer uma escolha binária para cada um, escolhendo se deve obter a raiz quadrada positiva ou a raiz quadrada negativa. Portanto, de uma maneira completamente paralela à escolha de uma divisão de colar, a escolha de um ponto na esfera envolve primeiro encontrar três números positivos que somam um e depois fazer uma escolha binária para o que fazer com cada um deles. Isso mesmo, há uma observação importante para todo o vídeo. Ela fornece uma correspondência entre pontos nas divisões esfera e colar.

Para qualquer ponto 𝑥, 𝑦, 𝑧 que fica na esfera, porque 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado mais 𝑧 ao quadrado é igual a um, você pode cortar o colar para que a primeira peça tenha um comprimento de 𝑥 ao quadrado. A segunda tenha um comprimento de 𝑦 ao quadrado e a terceira tenha um comprimento de 𝑧 ao quadrado. Depois, para escolher como alocar essas peças, se 𝑥 for positivo, entregue-o ao ladrão um. Caso contrário, dê ao ladrão dois. Se 𝑦 for positivo, dê a segunda peça ao ladrão um. Caso contrário, dê ao ladrão dois. Da mesma forma, para alocar a terceira peça, se 𝑧 for positivo, entregue-a ao ladrão um. Caso contrário, dê ao ladrão dois. E você pode fazer o contrário; essa é uma correspondência um para um. Qualquer maneira de dividir o colar e dividir as peças lhe daria um ponto único na esfera.

É como se a esfera fosse a maneira perfeita de encapsular a ideia de todas as divisões de colar possíveis usando um objeto geométrico. E com essa associação, estamos tentadoramente próximos. Reserve um momento e pense no significado dos pontos antipodais sob essa associação. Se o ponto 𝑥, 𝑦, 𝑧 na esfera corresponde a alguma alocação de colar, a que ponto menos 𝑥, menos 𝑦, menos 𝑧 corresponde a? Bem, os quadrados de todas essas coordenadas são os mesmos. Por isso, corresponderia a fazer os mesmos cortes no colar. A diferença é que cada peça muda a qual ladrão pertence. Portanto, pular para um ponto antipodal no lado oposto da esfera corresponde à troca de todas as peças entre os dois ladrões.

Agora, lembre-se do que realmente estamos procurando. Queremos que o comprimento total de cada tipo de joia pertencente ao ladrão um seja igual ao comprimento do ladrão dois. Em outras palavras, em uma divisão justa, realizar essa troca antipodal não altera a quantidade de cada joia pertencente a cada ladrão. Seu cérebro deve estar queimando com o pensamento de Borsuk-Ulam neste momento. Especificamente, a maneira como você pode avançar é construir uma determinada função, uma função que recebe uma determinada alocação de colar e lança dois números. O comprimento total da safira pertencente ao ladrão um e o comprimento total da esmeralda pertencente ao ladrão um.

O que queremos mostrar é que deve haver uma maneira de dividir o colar com apenas dois cortes e dividir as peças, para que esses dois números sejam os mesmos que teriam sido para o ladrão dois. Ou, dito um pouco diferente, onde a troca de todas as peças não mudará esses dois números para o ladrão um. Devido a isso entre as alocações e os pontos de colar na esfera e porque os pares de números correspondem aos pontos no plano 𝑥𝑦, esse é, de fato, um mapeamento da esfera para o plano. Então, o que o teorema de Borsuk-Ulam garante é que algum par antipodal de pontos na esfera pousa um no outro no plano. E o que isso significa é que há alguma divisão e alocação de colar, de modo que a troca das peças entre os dois ladrões não altere a quantidade de cada joia que cada um possui.

Essa é uma divisão justa. Meus amigos, é assim que a matemática é bonita. E se você é como eu, está apenas aproveitando o brilho de uma prova inteligente. E pode ser fácil esquecer que, na verdade, queremos resolver o problema mais geral de colar roubado, um que tenha mais do que apenas dois tipos de joias. Bem, para isso, podemos usar uma versão mais geral do teorema de Borsuk-Ulam, uma que se aplica a esferas de dimensões superiores. Como exemplo de uma dimensão acima, Borsuk-Ulam também se aplica ao mapeamento de hiperesferas no espaço 4D para o espaço 3D. O que quero dizer com uma hiperesfera, a maneira de pensar sobre isso, são todas as listas possíveis de quatro coordenadas em que a soma de seus quadrados é igual a um. Esses são todos os pontos no espaço 4D a uma distância um da origem.

O teorema de Borsuk-Ulam diz que, se você tentar mapear esse conjunto, todos esses quádruplos especiais, em um espaço tridimensional, associando continuamente cada um com um número triplo de números. Deve haver alguma colisão antipodal, uma entrada 𝑥 um, 𝑥 dois, 𝑥 três ou 𝑥 quatro, em que inverter todos os sinais não mudaria a saída. Vou deixar para você fazer uma pausa, refletir e pensar sobre como isso se aplicaria ao caso de três joias. E sobre qual pode ser a afirmação geral do teorema de Borsuk-Ulam e como ela pode se aplicar ao problema geral do colar. Desnecessário será dizer que, na verdade, tentar visualizar uma esfera 4D mapeada no espaço 3D é bastante difícil. No entanto, para a animação final, vou tentar mostrar como isso pode ser.

Tudo bem, então aqui está a animação final. É um pouco confusa. Por analogia, no canto superior esquerdo, estou girando uma esfera em três dimensões e projetando-a em 2D. Mas estou apenas mostrando as linhas de latitude nessa esfera e não as sombreando ou algo assim. Assim, no centro, estou girando uma hiperesfera de quatro dimensões no espaço 4D, mas projetando-a no espaço 3D. Mas tudo o que estou mostrando são as esferas da latitude, por assim dizer. Lembre-se de que você não precisa visualizar um mapeamento de esfera 4D em três dimensões para entender o teorema de Borsuk-Ulam. Muito menos, como isso se aplica ao problema do colar roubado. Isto é apenas por diversão. Mas é bonito tentar, você não acha?

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