Video Transcript
Neste vídeo, vamos falar sobre densidade de frequência e como podemos calcular a densidade de frequência e depois utilizá-la para desenhar um histograma. Vamos começar pensando sobre a aparência de um histograma. Você pode pensar que se parece um pouco com um gráfico de barras e está certo. Mas existem algumas diferenças importantes. Quando temos um gráfico de barras como o abaixo, temos a frequência no eixo 𝑦. Em um histograma, no eixo 𝑦, temos densidade de frequência. Antes de falarmos um pouco mais sobre densidade de frequência, há alguns outros pontos visualmente sobre um histograma.
A primeira coisa é notar que muitas vezes em um histograma, as barras são de largura desigual. Em segundo lugar, notamos que não há lacunas entre as barras em um histograma. O gráfico de barras, no entanto, possui lacunas entre as barras. No gráfico de barras, é muito fácil encontrar a frequência lendo o valor no eixo 𝑦. Então, como podemos encontrar a frequência de um histograma? Bem, em um histograma, encontramos a frequência encontrando a área das barras. Como cada barra é um retângulo, podemos encontrar a área multiplicando o comprimento pela largura. Mas quais são esses comprimentos e larguras?
Podemos calcular o comprimento da base aqui, encontrando a largura da classe. Se, por exemplo, tivéssemos a largura aqui de dois a quatro, a largura da classe seria dois, já que quatro menos dois são dois. O outro comprimento dessa barra, esse retângulo, é dado pela densidade de frequência. Portanto, se nos for dado um histograma e quisermos calcular a frequência, fazemos isso calculando a largura da classe vezes a densidade de frequência de cada barra específica. Então, o que acontece se, em vez disso, tivermos uma tabela e precisarmos desenhar o histograma? Se estivéssemos desenhando um gráfico de barras, simplesmente desenharíamos a frequência no eixo 𝑦. Mas lembre-se, precisamos encontrar a densidade de frequência.
O fato é que a área das barras nos diz a frequência. Isso significa que, em nossa primeira barra, a área seria 12. Podemos calcular uma das dimensões do nosso retângulo calculando a largura da classe desse intervalo. Neste exemplo, três, quatro, cinco e seis caberiam nesta classe, então a largura da classe seria quatro. Podemos ver na tabela que a frequência, a área dessa barra, deve ser 12. Portanto, o outro comprimento dessa barra, a densidade de frequência, deve ser três, já que quatro vezes três nos dariam 12.
Podemos colocar isso na forma de uma fórmula. A densidade de frequência é igual à frequência dividida pela largura da classe. Para desenhar um histograma, precisamos calcular a densidade de frequência para cada conjunto de dados em uma determinada tabela. Portanto, quer estejamos interpretando um histograma que recebemos ou desenhando um histograma de uma tabela, precisaremos ser capazes de usar e recuperar essas duas fórmulas. Vamos dar uma olhada em mais detalhes em algumas perguntas. E começaremos calculando a densidade de frequência.
A tabela de frequência dada mostra as idades dos adolescentes em uma vizinhança. Encontre a densidade que falta na tabela.
Nesta pergunta, estamos olhando para a densidade de frequência em vez de apenas a frequência. Encontraríamos a densidade de frequência se quiséssemos continuar e criar um histograma a partir dos dados. A densidade de frequência nos diz a razão entre a frequência de uma classe e sua largura. Podemos calcular a densidade de frequência usando a fórmula de que a densidade de frequência é igual à frequência na largura da classe. Muitas vezes, pode ser útil adicionar uma linha à nossa tabela para calcular a largura da classe para cada intervalo.
Vamos dar uma olhada em nosso primeiro intervalo e descobrir o que exatamente queremos dizer com isso. 13 é menor que 𝑎 é menor que ou igual a 14. A idade em anos significa que a idade deve ser maior que 13, mas não igual a ela. A segunda parte dessa inequação 𝑎 é menor ou igual a 14 significa que a idade pode ser 14 ou menor. Então, se 𝑎 deve ser maior que 13 e não igual a ele e menor que 14, isso nos deixa realmente apenas um valor possível. E essa é a idade de 14 anos. 14 é maior que 13 e, embora não seja menor que 14, pode ser igual a ele. A largura da classe aqui seria simplesmente um.
Na segunda inequação, somos informados de que a idade deve ser maior que 14. Portanto, os adolescentes nesta categoria não podem ter 14 anos. E as idades vão até e incluindo 17. Portanto, os adolescentes nesta categoria teriam 15, 16 ou 17 anos. Então a largura da classe aqui seria três. Em nossa coluna final, temos idades maiores que 17, mas não incluindo e menores ou iguais a 19 anos. Os adolescentes nesta categoria teriam 18 ou 19 anos. Então a largura da classe aqui seria dois.
Vamos dar uma olhada nas densidades de frequência que já foram calculadas. Na primeira coluna, podemos ver que a densidade de frequência dada é 21. A fórmula nos diz que pegamos a frequência de 21 e dividimos pela largura da classe, neste caso, um. E 21 sobre um realmente dá 21. Na segunda coluna, para encontrar a densidade de frequência, pegaremos nossa frequência de 24 e dividiremos pela largura da classe de três. E 24 dividido por três realmente dá uma densidade de frequência de oito. Para encontrar a densidade de frequência ausente na coluna final, pegamos a frequência de 10 e dividimos pela largura da classe de dois. 10 dividido por dois dá cinco, a resposta para a densidade de frequência ausente.
Nesta pergunta, não nos foi pedido para criar um histograma a partir dos dados. Mas se o fizéssemos, como seria? Quando criamos um histograma em nosso eixo 𝑦, não temos frequência como teríamos em um gráfico de barras. Mas, em vez disso, traçamos a densidade de frequência. A idade seria desenhada no eixo 𝑥. E podemos ver que cada barra neste histograma sobe para cada densidade de frequência individual. As barras estão todas próximas umas das outras. E em um histograma, calcularíamos a frequência encontrando a área de cada barra. Os histogramas podem ser uma boa maneira de visualizar a distribuição de valores em conjuntos de dados. Nesta questão, não precisamos desenhar o histograma apenas para dar a densidade de frequência ausente de cinco.
Vamos dar uma olhada em outro exemplo de como encontrar a densidade de frequência.
A tabela de frequência abaixo representa as vezes que os alunos levam para ir a pé à escola. Encontre a densidade de frequência para cada classe de frequência.
Nesta pergunta, nos é pedido a densidade de frequência. A densidade de frequência nos dá a razão entre a frequência de uma classe e sua largura. Podemos calcular a densidade de frequência se quisermos criar um histograma. Podemos usar a fórmula de que a densidade de frequência é igual à frequência dividida pela largura da classe. Primeiro, vamos calcular a largura da classe e depois encontraremos a densidade de frequência para cada classe. Portanto, neste intervalo de primeira aula de alunos caminhando para a escola, temos que o tempo é dado como zero é menor que 𝑡 é menor que ou igual a quatro. Isso significa que o tempo 𝑡 minutos não pode ser igual a zero. Mas pode ser um, dois minutos, três minutos ou até quatro minutos.
Essa inequação aqui - 𝑡, tempo, é menor ou igual a quatro - significa que o tempo também pode ser igual a quatro minutos. Poderíamos dizer então que há quatro alunos que levaram um, dois, três ou quatro minutos para andar até a escola. Como há uma, duas, três, quatro opções na largura da nossa turma, a largura da turma é quatro. Em nossa segunda coluna, temos a inequação quatro é menor que 𝑡 é menor ou igual a oito, o que significa que nosso tempo em 𝑡 minutos não inclui quatro. Mas inclui cinco, seis, sete ou oito, pois o tempo é menor ou igual a oito minutos. Portanto, o intervalo de quatro a oito nos dá uma largura de classe de quatro.
As duas colunas finais também têm uma largura de classe de quatro. Para encontrar a densidade de frequência para cada intervalo, podemos usar a fórmula. Em nossa primeira coluna, temos uma frequência de quatro dividido por uma largura de classe de quatro. Então nossa primeira densidade de frequência será um. Na próxima coluna, temos uma frequência de 12 dividido por uma largura de classe de quatro. E 12 dividido por quatro são três. Na próxima coluna, uma frequência de 16 dividido pela largura da classe de quatro nos dá uma densidade de frequência de quatro. Na coluna final, a frequência de oito dividido pela largura da classe de quatro nos dá a densidade de frequência de dois. E assim temos nossa resposta para a densidade de frequência para cada classe de frequência. Isso é um, três, quatro e dois.
Se quiséssemos criar um histograma a partir dos dados fornecidos, seria assim. Nós traçamos a densidade de frequência no eixo 𝑦 em vez de apenas a frequência. E ao longo do eixo 𝑥, temos o tempo em minutos. Lembramos que podemos calcular a frequência se nos for dado um histograma, encontrando a área de cada uma das barras. Nesta questão, as larguras das turmas eram todas iguais, com largura de quatro. Mas muitas vezes encontramos nos histogramas que as barras serão de larguras variadas. Nesta questão, no entanto, não precisamos desenhar o histograma, apenas para dar as densidades de frequência, que encontramos.
Na próxima pergunta, compararemos vários histogramas com uma determinada tabela de frequência.
A tabela de frequência abaixo fornece as alturas de um grupo de alunos. Qual dos seguintes histogramas representa os dados fornecidos?
Nesta pergunta, estamos pensando em histogramas. Quando temos um histograma, no eixo 𝑦, temos densidade de frequência, em vez de frequência, que teríamos em um gráfico de barras. É por isso que se dermos uma olhada rápida em nossas opções, em nossa primeira barra, a altura não sobe para 60, pois isso estaria simplesmente representando a frequência. A frequência em um histograma é encontrada calculando as áreas das barras. Para criar um histograma a partir da tabela de frequência dada, a primeira coisa que precisamos fazer é calcular a densidade de frequência para cada classe. Podemos encontrar a densidade de frequência encontrando a frequência e dividindo pela largura da classe. E o que exatamente queremos dizer com largura de classe?
Bem, se dermos uma olhada na nossa primeira aula, a altura ℎ desse grupo de alunos, no primeiro intervalo, temos a inequação que 150 é menor que ℎ é menor ou igual a 153 centímetros. Nesse intervalo, teríamos alunos com 151 centímetros, 152 centímetros ou 153 centímetros. Não poderíamos ter alunos aqui exatamente iguais a 150 centímetros por causa dessa inequação que não inclui o igual a. A largura da classe neste caso seria três. Então, para encontrar a densidade de frequência, pegaríamos nossa frequência de 60 e dividiríamos pela largura da classe de três. E 60 dividido por três são 20.
Na segunda classe, podemos encontrar a largura da nossa classe, tendo 156 subtraído de 153. Nesse caso, a largura da classe seria três. Os valores neste intervalo seriam 154, 155 e 156. Facilitando a fórmula para encontrar a densidade de frequência, tomaríamos nossa frequência de 45, dividida pela largura de classe de três. E teríamos um valor de 15 para essa densidade de frequência. Em nossa próxima coluna, a largura da classe é um pouco mais interessante. Nesse caso, não podemos incluir o valor de 156 centímetros, pois nossa inequação diz que não podemos ter um igual a esse valor. Esse intervalo aumentará e incluirá o valor de 157. Então, temos apenas um valor possível. A densidade de frequência aqui é a frequência de 30 dividida pela largura da classe de um, dando-nos uma densidade de frequência de 30.
A próxima classe terá uma largura de classe de cinco, pois temos os valores 158, 159, 160, 161 e 162. A densidade de frequência é a frequência de 100 dividida pela largura da classe de cinco, que é 20. Em nosso intervalo final de aula, teremos uma densidade de frequência de 15, pois 45 dividido pela largura da classe de três nos dá 15.
Então, vamos dar uma olhada no histograma dado na opção (A). Nosso primeiro intervalo vai de 150 a 153. A densidade de frequência é 20. O primeiro histograma mostra essa barra corretamente. O intervalo de 153 a 156 tem uma densidade de frequência correta de 15. O terceiro intervalo de 156 a 157, no entanto, na opção (A) não é dado corretamente. Aqui, a densidade de frequência seria dada como 15. Poderíamos supor que a pessoa que desenhou esse histograma calculou incorretamente a largura da classe como dois. Portanto, podemos descartar a opção (A) como o histograma.
Se olharmos para as opções (B) e (C), ambas têm as mesmas duas barras corretas para começar. Se observarmos atentamente a opção (B), o intervalo 156 a 157 que podemos ver no histograma é dado incorretamente como o intervalo de 156 a 159. Então essa barra está errada. E podemos descartar a opção (B) como o histograma. Precisamos verificar se as outras barras na opção (C) estão completamente corretas. Podemos ver que nossa terceira barra tem corretamente uma densidade de frequência de 30. A quarta barra, que se estrutura corretamente de 157 a 162, tem uma densidade de frequência correta de 20. A barra final vai corretamente de 162 a 165 em nosso eixo 𝑥. E a densidade de frequência está correta em 15. Podemos, portanto, dizer que a opção (C) é o histograma para representar os dados na tabela de frequência.
Veremos agora uma pergunta final sobre histogramas.
A tabela a seguir representa a velocidade dos membros de um clube de ciclismo em uma corrida de longa distância. David desenhou um histograma para representar esses dados. Qual é o erro neste histograma?
Aqui temos uma tabela que nos mostra a velocidade dos membros de um clube de ciclismo. Nos é mostrado um histograma desses dados. E podemos lembrar que em um histograma, não desenhamos a frequência no eixo 𝑦. Mas, em vez disso, traçamos a densidade de frequência, assim como David fez. Para encontrar a densidade de frequência, calculamos a frequência dividida pela largura da classe. Para calcular a densidade de frequência do nosso primeiro intervalo de classe, poderíamos subtraí-lo rapidamente de cinco para nos dar três. Também poderíamos ver que os valores seis, sete e oito milhas por hora estariam nesse intervalo. Não podemos incluir o valor de cinco milhas por hora por causa da inequação aqui que a velocidade tem que ser maior que cinco.
Como a largura da classe aqui é três, para encontrar a densidade de frequência, pegamos nossa frequência de 12 e dividimos pela largura de classe de três, o que nos dá uma densidade de frequência de quatro. Se dermos uma olhada rápida no histograma, podemos ver que David desenhou corretamente o intervalo de cinco a oito. E a densidade de frequência estava correta com um valor de quatro. Na segunda coluna, temos a inequação de que oito é menor que 𝑠 é menor ou igual a 10, onde 𝑠 é a velocidade. Nesse caso, teríamos os valores nove e 10, o que nos dá uma largura de classe de dois. A densidade de frequência seria a frequência de 24 dividida pela largura da classe de dois, o que nos dá uma densidade de 12. Esta barra está correta no histograma.
Podemos encontrar a próxima densidade de frequência dividindo nossa frequência por cinco, que era a largura da nossa classe, para nos dar sete. Isso é dado corretamente no histograma de David. As três densidades de frequência finais podem ser calculadas como quatro, um e um. Se olharmos para o nosso histograma, podemos ver que a nossa quarta barra está correta e também a final. Mas esta não está. Então, qual é o erro? Bem, ele desenhou seu intervalo indo até uma altura de 10, que seria a frequência. Poderíamos dar nossa resposta que a barra do intervalo 20 é menor que 𝑠 é menor ou igual a 30 representa a frequência em vez da densidade de frequência.
Agora podemos recapitular o que aprendemos neste vídeo. Vimos que os histogramas são como gráficos de barras. Em vez disso, os histogramas têm densidade de frequência no eixo 𝑦. Podemos encontrar a frequência encontrando a área das barras. Para desenhar um histograma, podemos usar a fórmula para densidade de frequência. Para calcular a frequência de um histograma, poderíamos usar essa fórmula para encontrar a frequência.
