Vídeo: Raízes Cúbicas da Unidade

Neste vídeo, aprenderemos como usar o teorema de Moivre para encontrar as raízes cúbicas da unidade e explorar suas propriedades.

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Neste vídeo, aprenderemos como encontrar as raízes cúbicas da unidade e explorar suas propriedades. Começaremos aprendendo o que queremos dizer com as raízes cúbicas da unidade e como calculá-las. Aprenderemos a calcular produtos e potências negativas dessas raízes da unidade e sua soma e diferença. Por fim, aprenderemos a simplificar expressões usando as propriedades dessas raízes. Considere a equação 𝑧 ao cubo igual a um.

Encontre todos os valores de 𝑧 para os quais 𝑧 cubo é igual a um.

Aqui temos uma equação 𝑧 cubo é igual a um, onde 𝑧 é um número complexo. Existem várias maneiras de resolver essa equação. Uma é lembrar o teorema de De Moivre para as raízes. A outra é reorganizar essa equação e resolver 𝑧 cubo menos um igual a zero. Para fazer isso, precisaríamos localizar uma raiz e usar o teorema do fator, seguido por divisão polinomial ou coeficientes de equação para encontrar as outras raízes. Vamos ver como podemos resolver isso usando o teorema de De Moivre.

Usaremos o teorema de De Moivre para um número complexo escrito em forma polar. Isso é 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, em que 𝑟 é o módulo e 𝜃 é o argumento do número complexo em radianos. Isto diz que podemos calcular 𝑧 para a potência de um sobre 𝑛 encontrando 𝑟 à potência de um sobre 𝑛 multiplicado por cos de 𝜃 mais dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen 𝜃 mais dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 quando 𝑘 é igual a zero todo o caminho até 𝑛 menos um. Vamos começar então expressando o número um na forma polar. Sua parte real é um. E sua parte imaginária é zero. Então, é um número bastante fácil de representar na forma polar.

Se representarmos um em um diagrama de Argand, vemos que ele pode ser representado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são um, zero. O módulo deste número é o comprimento do segmento de reta que une este ponto à origem. Isso é claramente um. O argumento é a medida do ângulo que esse segmento de reta faz com o eixo real positivo. E isso é medido no sentido anti-horário. Então podemos ver que é zero. Na forma polar, então, um é o mesmo que um multiplicado pelo cos de zero mais 𝑖 sen de zero. E se substituirmos isso de volta em nossa equação, veremos que 𝑧 cubo é, portanto, igual a um vezes cos de zero mais 𝑖 sen de zero.

Como vamos resolver essa equação, precisamos calcular o valor de 𝑧. E para fazer isso, encontramos a raiz cúbica de cada lado da equação. Agora, se compararmos isso com o teorema de De Moivre, podemos ver que 𝑛, no nosso caso, são três. Então, 𝑧 deve ser igual a um para a potência de um terço multiplicado por cos de zero mais dois 𝜋𝑘 sobre três mais 𝑖 sen zero mais dois 𝜋𝑘 sobre três. E, claro, podemos simplificar isso um pouco. Sabemos que um elevado a um terço é simplesmente um. E o nosso argumento zero mais dois 𝜋𝑘 sobre três pode ser simplesmente escrito como dois 𝜋𝑘 sobre três.

Agora vamos aplicar a parte final do teorema de De Moivre. Como nosso valor de 𝑛 é três, substituiremos 𝑘 é igual a zero, um e dois nessa equação. Se substituirmos 𝑘 é igual a zero, obtemos 𝑧 igual a cos de zero mais 𝑖 sen de zero. Agora, cos de zero é um. E 𝑖 sen de zero é zero. Portanto, a primeira solução para nossa equação é 𝑧 é igual a um. Nós então substituímos 𝑘 é igual a um. E o argumento se torna dois 𝜋 multiplicado por um sobre três, o que é simplesmente dois 𝜋 sobre três. E a nossa segunda solução é cos de dois 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de dois 𝜋 sobre três.

Nossa solução final é encontrada quando 𝑘 é igual a dois. Nós obtemos 𝑧 é igual a cos de quatro 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de quatro 𝜋 sobre três. Agora, o argumento dessa solução está fora do intervalo do argumento principal. E isso é 𝜃 é maior que menos 𝜋 e menor ou igual a 𝜋. Podemos adicionar e subtrair múltiplos de dois 𝜋 a quatro 𝜋 sobre três, para que possamos expressar essa solução com seu argumento principal.

Quatro 𝜋 sobre três menos dois 𝜋 é menos dois 𝜋 sobre três. E podemos ver que as raízes cúbicas de um são 𝑧 é igual a um. 𝑧 é igual a cos de dois 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de dois 𝜋 sobre três. E 𝑧 é igual a cos de menos dois 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de menos dois 𝜋 sobre três. Estas são as raízes cúbicas da unidade, assim chamadas porque são todos os valores possíveis para a raiz cúbica de um.

Nós podemos realmente expressar isso em forma algébrica também. A primeira solução ainda é simplesmente um. A segunda solução é menos um meio mais a raiz de três sobre dois 𝑖. E a terceira solução é menos um meio menos raiz de três sobre dois 𝑖. Vamos agora olhar para um exemplo que demonstrará as propriedades dos produtos das raízes cúbicas da unidade.

Seja 𝑧 um igual a 𝑒 elevado a 𝑖 dois 𝜋 sobre três e 𝑧 dois igual a 𝑒 elevado a menos 𝑖 dois 𝜋 sobre três sejam as raízes cúbicas complexas da unidade. 1) Calcule 𝑧 um ao quadrado. Como isso se compara com 𝑧 dois? 2) Calcule 𝑧 dois ao quadrado. Como isso se compara com 𝑧 um?

Observe como 𝑧 um e 𝑧 dois são as soluções complexas para 𝑧 ao cubo igual a um, escritas na forma exponencial. Isso significa que podemos usar o teorema de De Moivre para calcular 𝑧 um ao quadrado. Isto diz que, para um número complexo da forma 𝑧 é igual a 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, 𝑧 para a potência de 𝑛 é igual a 𝑟 à potência de 𝑛 vezes 𝑒 elevado a 𝑖𝑛𝜃. Lembre-se, 𝑟 é o módulo e 𝜃 é o argumento. Podemos ver que o módulo de 𝑧 um é simplesmente um. E o argumento de 𝑧 um é dois 𝜋 sobre três. Então, 𝑧 um ao quadrado é um ao quadrado vezes 𝑒 elevado a 𝑖 dois 𝜋 sobre três vezes dois.

Um ao quadrado é um. E dois 𝜋 sobre três multiplicado por dois é quatro 𝜋 sobre três. Assim, podemos ver que 𝑧 um quadrado é igual a 𝑒 elevado a 𝑖 quatro 𝜋 sobre três. O argumento de 𝑧 um ao quadrado está fora do intervalo do argumento principal. Então vamos subtrair dois 𝜋. E descobrimos que o argumento principal de 𝑧 um ao quadrado é menos dois 𝜋 sobre três. E agora podemos ver que 𝑧 um ao quadrado é igual a 𝑧 dois.

Vamos repetir esse processo para a pergunta dois. Vamos começar fazendo uma previsão. Vimos que 𝑧 um ao quadrado é igual a 𝑧 dois. Então, pode parecer que 𝑧 dois ao quadrado será igual a 𝑧 um. Mas vamos checar. Mais uma vez, o módulo de 𝑧 dois é um. Mas desta vez, seu argumento é menos dois 𝜋 sobre três. Menos dois 𝜋 sobre três multiplicado por dois é menos quatro 𝜋 sobre três. Mais uma vez, o argumento de 𝑧 dois ao quadrado está fora do intervalo do argumento principal.

Desta vez, vamos adicionar dois 𝜋. Lembre-se de que podemos adicionar ou subtrair qualquer múltiplo de dois 𝜋 para alcançar um argumento que esteja dentro do intervalo do argumento principal. Desta vez, o argumento de 𝑧 dois ao quadrado é dois 𝜋 sobre três. E agora vemos que 𝑧 dois ao quadrado é igual a 𝑧 um como previmos. Então, 𝑧 um ao quadrado é igual a 𝑧 dois. E 𝑧 dois ao quadrado é igual a 𝑧 um, onde 𝑧 um e 𝑧 dois são as raízes cúbicas complexas da unidade. E, de fato, podemos estender essa ideia para potências superiores das raízes cúbicas complexas da unidade.

Podemos dizer que, para um inteiro positivo 𝑛, 𝑧 um para a potência de 𝑛 é igual a um quando qualquer zero módulo três. Em outras palavras, há um resto de zero quando 𝑛 é dividido por três. É igual a 𝑧 um quando 𝑛 é um módulo três. Há um resto de um quando 𝑛 é dividido por três. E é igual a 𝑧 dois quando 𝑛 é dois módulo três. E isso nos fornece uma maneira útil de formar uma definição das raízes cúbicas da unidade.

Então, nossa definição, existem três raízes cúbicas de unidade. Minúscula 𝜔 é usada para representar a raiz primitiva. Essa é a raiz com o menor argumento estritamente positivo, um argumento de dois 𝜋 sobre três. 𝜔 é portanto 𝑒 elevado a 𝑖 dois 𝜋 sobre três na forma exponencial. Na forma polar, é cos de dois 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de dois 𝜋 sobre três. E na forma algébrica, é menos um meio mais a raiz de três sobre dois 𝑖. E todas as três raízes podem ser definidas como um, 𝜔 e 𝜔 ​​ao quadrado. Podemos representar a propriedade cíclica com relação à multiplicação das raízes cúbicas da unidade, como mostrado. Vamos agora considerar as propriedades das raízes cúbicas da unidade quando elevadas a um expoente negativo.

Seja 𝜔 a raízes cúbica primitiva da unidade. 1) Encontre 𝜔 elevado a menos um. Como isso está relacionado com as outras raízes cúbicas da unidade? 2) Encontre 𝜔 elevado a menos dois. Como isso está relacionado com as outras raízes cúbicas da unidade?

Vamos começar escrevendo 𝜔 em sua forma exponencial. É 𝑒 elevado a 𝑖 dois 𝜋 sobre três. Isto significa que 𝜔 elevado a menos um é 𝑒 elevado a 𝑖 dois 𝜋 sobre três elevado a menos um. E se aplicarmos as propriedades de potências, vemos que 𝜔 elevado a menos um é igual a 𝑒 elevado a menos 𝑖 dois 𝜋 sobre três. E é claro que é o mesmo que 𝜔 ao quadrado.

Vamos repetir esse processo para a parte dois. Desta vez, 𝜔 elevado a menos dois é 𝑒 elevado a 𝑖 dois 𝜋 sobre três, todos elevados a menos dois. E novamente, aplicando propriedades de potências, vemos que 𝜔 elevado a menos dois é igual a 𝑒 elevado a menos 𝑖 quatro 𝜋 sobre três. O argumento para esse número complexo está fora do intervalo do argumento principal. Então nós adicionamos dois 𝜋. E vemos que 𝜔 elevado a menos dois é igual a 𝑒 elevado a 𝑖 dois 𝜋 sobre três, que é igual a 𝜔. E como 𝜔 elevado a menos um é o inverso de 𝜔, podemos ver que as raízes cúbicas da unidade também formam um ciclo sob divisão.

Podemos até estender a representação visual das raízes cúbicas da unidade, representando-as em um diagrama de Argand. Podemos ver que elas estão uniformemente espaçadas sobre a origem. De fato, elas formam os vértices de um triângulo equilátero inscrito dentro de um círculo unitário. Mas vamos dar uma olhada nisso com cuidado.

A representação visual de 𝜔 e 𝜔 ​​ao quadrado no nosso diagrama de Argand é como uma reflexão no eixo real ou no eixo horizontal. E se nos lembrarmos, sabemos que o complexo conjugado de um número é representado por uma reflexão no eixo horizontal. Então isso significa que 𝜔 ao quadrado deve ser igual ao conjugado de 𝜔. Então, vimos as propriedades das raízes cúbicas da unidade sob multiplicação e divisão. Mas e quanto à adição e subtração?

Seja 𝜔 a raiz cúbica primitiva da unidade. 1) Encontre 𝜔 mais 𝜔 ao quadrado. 2) Encontre 𝜔 menos 𝜔 ao quadrado. 3) Quanto é 𝜔 mais um e como está relacionado com as outras raízes da unidade? 4) Quanto é 𝜔 ao quadrado mais um e como está relacionado às outras raízes da unidade?

Para responder à primeira parte, poderíamos tentar escrever 𝜔 e 𝜔 ​​ao quadrado de forma algébrica e encontrar a soma deles dessa forma. Alternativamente, lembramos que 𝜔 ao quadrado é o mesmo que o conjugado de 𝜔. E isso significa que 𝜔 mais 𝜔 ao quadrado é igual a 𝜔 mais o conjugado de 𝜔. Isso tem sua própria propriedade. Sabemos que a soma de um número complexo e seu conjugado é duas vezes a parte real desse número complexo. Então 𝜔 mais o conjugado de 𝜔 é duas vezes a parte real de 𝜔.

Bem, a parte real da raiz cúbica primitiva da unidade é menos um meio. E duas vezes menos um meio é menos um. Assim, podemos ver que 𝜔 mais 𝜔 ao quadrado é igual a menos um. Isso também significa que 𝜔 ao quadrado mais 𝜔 mais um é igual a zero. Note que estas são as três raízes cúbicas da unidade. E nós mostramos que a soma delas é igual a zero.

Vamos repetir esse processo para a parte dois. Mais uma vez, expressamos 𝜔 ao quadrado como o conjugado de 𝜔. Mas desta vez, a diferença entre um número complexo e seu conjugado é dois 𝑖 vezes a parte imaginária daquele número complexo. A parte imaginária de 𝜔 é a raiz de três sobre dois. Portanto, a diferença entre 𝜔 e 𝜔 ​​ao quadrado é 𝑖 raiz de três ou raiz de três 𝑖. E podemos usar o que calculamos aqui para calcular 𝜔 mais um para a parte três e 𝜔 ao quadrado mais um para a parte quatro. Vimos que 𝜔 ao quadrado mais 𝜔 mais um é igual a zero. Então, vamos subtrair 𝜔 ao quadrado de ambos os lados dessa equação. Quando o fazemos, vemos que 𝜔 mais um é igual a menos 𝜔 ao quadrado. Da mesma forma, também podemos deduzir que 𝜔 ao quadrado mais um é igual a menos 𝜔.

Portanto, as raízes cúbicas da unidade têm três propriedades realmente importantes. Sabemos que 𝜔 ao quadrado é igual ao conjugado de 𝜔. Sabemos que a soma das três raízes cúbicas é igual a zero. E sabemos que 𝜔 menos 𝜔 ao quadrado é igual a 𝑖 raiz de três. Vamos dar uma olhada em uma pergunta que demonstrará como aplicar essas propriedades.

Calcule nove menos 𝜔 ao quadrado mais nove 𝜔 à potência de quatro todos ao quadrado mais seis mais seis 𝜔 ao quadrado mais seis 𝜔 à potência de quatro todos ao quadrado.

Vamos começar usando o ciclo de multiplicação das raízes cúbicas da unidade para substituir 𝜔 pela potência de quatro. 𝜔 para a potência de quatro é o mesmo que 𝜔 ao quadrado multiplicado por 𝜔 e depois multiplicado por 𝜔 novamente. Então podemos dizer que 𝜔 elevado a quatro deve ser o mesmo que 𝜔. E podemos reescrever nossa expressão como mostrado. Em seguida, vamos fatorar cada expressão. Nos primeiros parênteses, vamos procurar um fator de nove e, no segundo parênteses, um fator de seis. E por que queremos fazer isso? Bem, sabemos que a soma de 𝜔 ao quadrado e 𝜔 e um é zero. E podemos reorganizá-lo para mostrar que um mais 𝜔 é igual a menos 𝜔 ao quadrado.

Assim, nossa expressão pode ser simplificada para nove multiplicado por menos 𝜔 ao quadrado menos 𝜔 ao quadrado todos ao quadrado mais seis vezes zero todos ao quadrado. E, claro, seis vezes zero todos ao quadrado é simplesmente zero. Então, isso simplifica ainda mais para menos 10𝜔 ao quadrado ao quadrado. Menos 10 ao quadrado é 100. E 𝜔 ao quadrado ao quadrado é 𝜔 elevado a quatro. Mas nós já vimos que 𝜔 elevado a quatro é simplesmente 𝜔. Então nossa expressão é simplesmente 100𝜔.

Nesta lição, aprendemos que há três raízes cúbicas da unidade, denotadas por um, 𝜔 e 𝜔 ​​ao quadrado. E chamamos 𝜔 a raiz cúbica primitiva da unidade. É 𝑒 elevado a 𝑖 dois 𝜋 sobre três ou, na forma polar, cos dois 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de dois 𝜋 sobre três ou, em forma algébrica, menos um meio mais raiz de três sobre dois 𝑖. Ambas as potências positivas e negativas de 𝜔 formam um ciclo fechado. Para qualquer valor inteiro de 𝑛, 𝜔 à potência de três 𝑛 é um. 𝜔 elevado a três 𝑛 mais um é 𝜔. E 𝜔 elevado a três 𝑛 mais dois é 𝜔 ao quadrado.

Também vimos que elas têm três propriedades importantes. E essa é a soma das três raízes cúbicas da unidade é igual a zero. 𝜔 ao quadrado é igual ao conjugado de 𝜔. E 𝜔 menos 𝜔 ao quadrado é igual a 𝑖 raiz de três. E podemos usar essas propriedades para simplificar expressões de aparência mais complicadas.

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