Vídeo: Encontrando o Limite de uma Função Racional no Infinito

Encontre lim_(𝑥 → ∞) (−5𝑥 − 9)/(−2𝑥² + 5).

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Transcrição do vídeo

Encontre o limite de menos cinco 𝑥 menos nove sobre menos dois 𝑥 ao quadrado mais cinco quando 𝑥 tende ao ∞.

Vamos anotar esse limite novamente. Estamos procurando o que acontece com a função quando 𝑥 se aproxima de ∞ - assim como 𝑥 fica maior e maior sem barreira. E uma maneira de ver o que essa função faz quando 𝑥 fica maior e maior é olhar para o gráfico.

Olhando para o gráfico, podemos ver que, à medida que 𝑥 aumenta, o valor da função representada pela coordenada 𝑦 diminui ficando cada vez mais próxima de zero. E imaginamos que essa tendência continue à medida que 𝑥 aumenta sem limite, embora esteja fora do gráfico. Assim, podemos supor que o valor do limite que procuramos é zero e estaria correto. Mas esse método depende de termos um computador ou uma calculadora gráfica à mão e também se baseia no gráfico que o computador ou a calculadora gráfica produz seja preciso e que podemos interpretá-lo com precisão.

E, mais especificamente, isso não nos diz por que é limitado em zero ou nos dá uma visão geral dos limites. Para isso, vamos precisar de um método algébrico. O truque para encontrar algebricamente o valor desse limite é dividir o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥 que você pode ver.

A maior potência de 𝑥 no nosso caso é 𝑥 ao quadrado. Nós dividimos o numerador e o denominador por 𝑥 ao quadrado. E então, podemos simplificar. Por exemplo, no numerador, dividimos menos cinco menos nove sobre 𝑥 ao quadrado na diferença de duas frações. E então, notamos que podemos simplificar a primeira dessas frações contando um fator comum de 𝑥 no numerador e no denominador. E isso nos dá o que vemos. E fazemos algo semelhante no denominador também.

Podemos então aplicar uma de nossas propriedades de limites: que o limite de um quociente de funções é o quociente dos limites das funções, desde que o limite no denominador seja diferente de zero. Temos dois limites agora: um no numerador e um no denominador. E você pode adivinhar quais são esses limites.

Mas para convencer um cético, precisamos usar mais propriedades de limites: que o limite de uma soma de funções seja igual à soma dos limites das funções. E o mesmo é verdade para a diferença de funções. Agora, temos quatro limites para calcular. Um deles é o limite de uma função constante conforme 𝑥 se aproxima de ∞. O limite de uma função constante como menos dois é apenas essa constante. Então, neste caso, o limite é menos dois. Os outros três limites são todos limites da forma de 𝑐 sobre 𝑥 elevado a 𝑛 conforme 𝑥 tende ao ∞.

E sabemos de alguma outra propriedade de limites que o limite de um múltiplo constante de uma função quando 𝑥 se aproxima de algum valor é apenas aquele múltiplo constante do limite da função. Este limite, o limite de um sobre 𝑥 elevado a 𝑛 para algum número inteiro 𝑛 conforme 𝑥 se aproxima do ∞, podemos relacionar com o limite da função recíproca usando ainda outra propriedade de limite - que o limite da potência de uma função é apenas a potência do limite da função. Então tudo o que precisamos agora é o limite de um sobre 𝑥, a função recíproca, conforme 𝑥 se aproxima do ∞.

E podemos tomar isso com outra propriedade de limites que o valor deste limite é apenas zero. E assim o limite de algo da forma 𝑐 sobre 𝑥 elevado a 𝑛 quando 𝑥 tende ao ∞ é 𝑐 vezes zero elevado a 𝑛 que é apenas zero. Conseguimos calcular todos os quatro limites em nossa última linha: um deles foi encontrado antes e três deles são da forma que discutimos e, portanto, são iguais a zero. Por fim, calculando essa expressão, descobrimos que o limite que procuramos é zero.

Claro, você pode dizer que você pode ver isso imediatamente no gráfico da função em questão. Mas você teria sido capaz de convencer um cético de que o valor desse limite era zero e não 0.00001 ou que a função não começou a crescer novamente para valores de 𝑥 além dos valores mostrados no gráfico? Com o método algébrico, desde que o cético aceite todas as propriedades dos limites que usamos e todas essas propriedades possam ser justificadas, teremos que concordar que o valor do limite que procuramos é zero.

Além disso, não é muito difícil ver as etapas que usamos para se aplicar a qualquer função racional, em que o grau do numerador é menor que o do denominador. E assim, para qualquer função racional, em que o grau do numerador é menor que o do denominador, o limite quando 𝑥 tende ao ∞ é apenas zero. Teria sido muito difícil chegar a essa conclusão apenas olhando o gráfico da única função racional em nosso exemplo.

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