Vídeo: Volumes de Prismas Oblíquos

Aprende a calcular o volume de um prisma oblíquo com base no princípio de Cavalieri. Aplica o teu conhecimento ao cálculo de volumes de prismas retangulares, quadrangulares e hexagonais oblíquos e cilindros oblíquos.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, veremos como calcular o volume de prismas oblíquos. Então, primeiro precisamos de esclarecer o que significa o termo prisma oblíquo. E há um diagrama no ecrã aqui para nos ajudar a entender isto. Talvez já estejas familiarizado com o que é chamado de “um prisma direito”, que desenhei à esquerda no ecrã. E o que notas nisto é que, no prisma direito, as faces laterais são perpendiculares às bases. Marquei uma das faces laterais a laranja e a base a verde. E podes ver que são perpendiculares ou fazem um ângulo reto, que é onde o nome “prisma reto” vem.

Agora, se olhares para o prisma oblíquo e se eu fizer o mesmo sombreado novamente, a base está marcada a verde e uma das faces laterais está a laranja, verás que, desta vez, não são perpendiculares. Então, há a diferença entre estes dois tipos de prisma. No prisma direito, como eu disse, as faces laterais são perpendiculares às bases, enquanto no prisma oblíquo não é esse o caso. Bem, isto também significa que no prisma direito as faces laterais são retângulos, enquanto no prisma oblíquo as faces laterais são paralelogramos. Agora, já viste como calcular o volume de um prisma direito. Neste vídeo vamos concentrar-nos nos prismas oblíquos. Então, para pensar sobre o volume de prismas oblíquos, precisamos de confiar num princípio chamado “princípio de Cavalieri”. E diz o seguinte: se dois sólidos têm a mesma altura e a mesma área na secção transversal em todos os níveis, então têm o mesmo volume.

Então dá uma olhadela no diagrama. Estes dois prismas, um é um prisma direito e um é um prisma oblíquo. Têm a mesma área na base marcada a verde. E por serem prismas, terão a mesma área em todos os níveis ao longo da sua altura. E também têm a mesma altura identificada com ℎ. Agora, uma coisa importante a saber é que é a altura perpendicular. Portanto, no caso do prisma direito, esta é apenas a sua altura habitual e, no caso do prisma oblíquo, é aquela altura que é perpendicular à base; vês que eu desenhei um ângulo reto numa continuação desta linha da base aqui.

O princípio de Cavalieri diz-nos que o volume destes dois prismas é igual. Uma maneira talvez de ajudar a visualizar isto é pensar numa pilha de moedas. Então, num caso, temos estas moedas empilhadas diretamente umas sobre as outras como no prisma direito, enquanto no outro, nós temo-las numa espécie de pilha diagonal, se conseguires que se equilibrem assim — como num prisma oblíquo. E se fizesses isto, verias que a altura destas duas pilhas de moedas é igual. E, claro, o volume é igual, porque são apenas as mesmas moedas dispostas numa configuração diferente. Isso dá uma demonstração física útil deste princípio.

O que tudo isto significa então, no caso de calcular o volume de um prisma oblíquo, é que podemos essencialmente tratá-los exatamente da mesma forma que fazemos com os prismas direitos determinando a área da secção transversal e, a seguir, multiplicando-a pela altura do prisma. Portanto, podemos tratar estes dois tipos de prismas exatamente da mesma maneira. A única ressalva com o prisma oblíquo é que precisamos de ter certeza de que estamos a utilizar a altura perpendicular e não a altura inclinada.

Então, vamos analisar isto na nossa primeira questão. Pedem-nos para calcular o volume do prisma retangular oblíquo em baixo. Portanto, lembra-te da discussão anterior de que o volume deste prisma oblíquo será a área da secção transversal ou a base multiplicada pela altura. Então, vou utilizar 𝐵 para representar a base e ℎ para representar a altura nas minhas fórmulas aqui. Então, olhando para o prisma, a base ou, neste caso, a parte superior que estou a sombrear é um retângulo com dimensões dois e cinco. Portanto, seria bom calcular esta área. Então, precisamos apenas de pensar cuidadosamente na altura do prisma. Porque te deram duas alturas diferentes: temos os seis metros, que é a altura inclinada, e quatro metros, a altura perpendicular. E lembra-te que é a altura perpendicular que precisamos. Então, nesta questão, na verdade, temos mais informações do que a necessárias para testar se realmente entendemos o método de cálculo do volume de um prisma oblíquo. Ora, o nosso cálculo, o volume é a área de base. Bem, como dissemos, é um retângulo com dimensões dois e cinco. Então, dois vezes cinco multiplicado pela altura e devemos utilizar esta medida de quatro metros, a altura perpendicular. Portanto, resolver isto dá-nos um volume de quarenta metros cúbicos para este prisma retangular oblíquo.

Ok, a próxima questão diz para calcular o volume de um prisma hexagonal oblíquo com uma altura perpendicular de dez centímetros e uma área base de sessenta e cinco centímetros quadrados. Então, vamos lembrar a fórmula do volume que precisamos. E é claro que é esta fórmula em que o volume é igual à base multiplicada pela altura perpendicular. Então, temos estas duas medidas, nós só precisamos de substituí-las nesta fórmula. Portanto, no caso deste prisma hexagonal, a área de base é sessenta e cinco; a altura perpendicular é dez. Então, para calcular o volume, estamos a multiplicar sessenta e cinco por dez. E isso dá-nos uma resposta de seiscentos e cinquenta centímetros cúbicos.

A próxima questão pede-nos para determinar o volume de um prisma quadrado oblíquo com altura de sete virgula dois milímetros e aresta da base de comprimento de quatro vírgula cinco milímetros. Então, como sempre, precisamos de nos lembrar desta fórmula de volume, que é a área base multiplicada pela altura. Agora, temos a altura; és ete vírgula dois milímetros. E como este é um prisma quadrado oblíquo, podemos calcular a área da base multiplicando estes dois lados, então quatro vírgula cinco vezes quatro vírgula cinco. Assim, o nosso cálculo do volume é de apenas quatro vírgula cinco multiplicado por quatro vírgula cinco para dar a área de base multiplicada por sete vírgula dois, que é a altura. Isso dá-nos uma resposta de cento e quarenta e cinco vírgula oito milímetros cúbicos. Então, em cada uma destas questões, a única consideração real até agora tem sido a forma da base, porque é claro que afeta o cálculo que fazemos para determinar a sua área. No caso de um quadrado ou retângulo, é relativamente simples. Lembra-te, claro, se é um triângulo, tens que dividir por dois ou se é outro tipo de forma bidimensional, basta registar a fórmula relevante para calcular a sua área.

Certo, a última questão pede-nos para determinar o volume do cilindro oblíquo apresentado. Então, precisamos, é claro, da nossa fórmula do volume. E no caso do cilindro, a base é, naturalmente, um círculo. Portanto, também precisamos de lembrar a fórmula para determinar a área do círculo, que, lembra-te, é 𝜋𝑟 ao quadrado, onde 𝑟 representa o raio do círculo. Então, utilizando estas duas fórmulas, vamos calcular o volume deste cilindro oblíquo. Portanto, a área da base, em primeiro lugar, é 𝜋𝑟 ao quadrado. Bem, se olharmos para o diagrama, não temos o raio; temos o diâmetro do círculo, que é de seis centímetros. Então, precisamos de dividi-lo por dois para determinar o raio. Multiplicamos 𝜋 por três ao quadrado para a área da base. E precisamos de multiplicar pela altura, multiplicada por cinco. Isso dá-nos uma resposta de quarenta e cinco 𝜋. E poderíamos deixar a nossa resposta assim, se não tivéssemos uma calculadora ou se quiséssemos uma resposta exata ou se, na verdade, nos fosse solicitada, mas eu continuarei e calcularei esta resposta como uma casa decimal. E isso dá-me uma resposta de cento e quarenta e um vírgula quatro centímetros cúbicos que foi arredondado com uma casa decimal.

Então, para resumir, ao trabalhar com prismas oblíquos devido ao princípio de Cavalieri, podes tratá-los da mesma forma que fazes com prismas direitos, e pode calcular os seus volumes calculando a área da base e multiplicando-a pela altura. Certifica-te apenas de estares a utilizar a altura perpendicular em oposição a uma altura inclinada do prisma.

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