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Vídeo: Multiplique Monômios por Polinômios

Por meio de uma série de exemplos cada vez mais complicados, aprendemos a usar a propriedade distributiva para multiplicar monômios (expressões que têm apenas um termo, como 3) por polinômios (expressões que têm mais de um termo, como 2𝑥 ‒ 7).

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Transcrição do vídeo

Multiplicação de monômios por polinômios. Podemos ver que isso é um monômio, pois temos o número três. Um monômio significa basicamente um termo. E estamos multiplicando por um polinômio dentro dos parênteses, o que significa basicamente mais de um termo. Bem, o que vamos fazer é aplicar a propriedade distributiva, onde 𝑎 multiplicado por todos 𝑏 mais 𝑐 é igual a 𝑎𝑏 mais 𝑎𝑐. Então, o que queremos dizer com isso é que vamos pegar o três ou pegar o 𝑎 e multiplicá-lo pelo primeiro termo. Então, neste caso, será três multiplicado por dois 𝑥. E depois vamos adicionar a isso três multiplicado pelo segundo termo. Então, três multiplicado por menos sete. E agora precisamos simplificá-lo. Então nós sabemos que três multiplicado por dois são seis e então podemos colocar um 𝑥 depois dele, porque há um 𝑥 lá também. Portanto, seis 𝑥 e, depois, três multiplicado por menos sete é menos vinte e um. Tão legal e simples, tudo o que fizemos lá foi pegar um monômio e multiplicá-lo pelo primeiro termo entre parênteses e depois acrescentamos isso à multiplicação do nosso monômio pelo segundo termo dos parênteses.

Vamos dar uma olhada em um exemplo diferente. Então, podemos ver aqui com este próximo exemplo, que temos algumas coisas diferentes. Primeiro de tudo, o monômio do lado de fora dos parênteses não é apenas uma constante. Tem uma variável e também é negativo. A outra coisa que podemos ver é dentro dos parênteses, temos três termos. Bem, isso não importa para nós, porque vamos usar exatamente o mesmo método para expandir esses parênteses. Nós vamos usar a propriedade distributiva. Então, primeiro de tudo, para começar, vamos pegar o monômio e multiplicá-lo pelo nosso primeiro termo. E depois vamos adicionar a esse monômio, menos cinco 𝑥 multiplicado pelo nosso segundo termo. Tenha cuidado! No nosso segundo termo, não podemos esquecer o menos na frente do dois, porque é sempre o sinal em frente que é válido. Então temos menos cinco 𝑥 multiplicado por menos dois 𝑥. E então precisamos multiplicar o último termo, então teremos menos cinco 𝑥 multiplicado por menos oito.

Então vamos tentar simplificar. Nós temos menos cinco. Nós multiplicamos por três. Temos menos quinze e sabemos que 𝑥 multiplicado por 𝑥 ao quadrado é o mesmo que 𝑥 multiplicado por 𝑥 multiplicado por 𝑥. Então temos menos quinze 𝑥 elevado a três ou 𝑥 ao cubo. Então olhe os sinais para o próximo. Então temos dois negativos multiplicados. Então isso vai cancelar. E vamos ter um positivo. Agora temos cinco multiplicado por dois, que são dez, e 𝑥 multiplicado por 𝑥, que é 𝑥 ao quadrado. Então, estamos adicionando dez 𝑥 ao quadrado.

Agora, novamente, vamos ver os sinais. Primeiro, temos um negativo multiplicado por um negativo, o que nos dá um resultado positivo. Então temos cinco multiplicado por oito, que são quarenta. Então nós temos um 𝑥, assim adicionamos quarenta 𝑥. Então só temos isso. Nós multiplicamos completamente esse conjunto de parênteses. Nós multiplicamos esse monômio por esse polinômio. Para o nosso próximo exemplo, vamos dar uma olhada quando não temos apenas 𝑥, mas também 𝑦.

Então agora temos cinco 𝑥 ao quadrado todos multiplicados por três 𝑦 mais dois 𝑥 mais 𝑥𝑦. Então, novamente, podemos ver que temos alguns 𝑥s e alguns 𝑦s, mas poderíamos ter qualquer variável. Nós vamos fazer exatamente a mesma coisa de qualquer forma. Vamos tomar nosso primeiro termo e vamos multiplicá-lo por um monômio. Então, temos cinco 𝑥 ao quadrado multiplicado por três 𝑦. E então vamos adicionar aquele monômio no segundo termo, então cinco 𝑥 ao quadrado multiplicado por dois 𝑥. E então cinco 𝑥 ao quadrado multiplicado por 𝑥𝑦.

E nós só vamos calcular um termo de cada vez. Então, vamos fazer os números primeiro. Nós temos cinco multiplicado por três. Nós sabemos que são quinze. E então 𝑥 ao quadrado multiplicado por 𝑦, então é quinze 𝑥 ao quadrado 𝑦. Então, para o nosso próximo, são cinco multiplicado por dois e sabemos que são dez. E então, olhando para os 𝑥s, temos 𝑥 ao quadrado que é 𝑥 vezes 𝑥, então nós o multiplicamos por outro 𝑥. Então, isso nos dá dez 𝑥 ao cubo ou dez 𝑥 elevado a três. Então, para o último, temos cinco, porque é cinco vezes um. E então, olhando para as potências de 𝑥, temos cinco 𝑥 elevado a três e depois 𝑦. Então só temos isso. Nós também fizemos bem este exemplo. Tudo o que fizemos foi tomar o monômio e multiplicá-lo por cada termo individualmente. Vamos dar uma olhada no nosso exemplo final.

Então, antes de fazermos qualquer coisa para essa pergunta, quero que você dê uma olhada e pense qual será o primeiro passo para multiplicar este monômio. E agora espero que nenhum de vocês tenha pensado em dois mais três, porque não são dois mais três e depois multiplicados pelo resto. São dois mais três multiplicado por tudo. Então o dois é apenas para adicionar no final. Então o que vamos fazer e o que você sempre deve fazer nesses exercícios é antes de tudo escrever o termo sozinho, então você não fica tentado a fazer nada com ele.

E agora temos uma multiplicação simples e fácil de fazer e depois agrupamos os termos semelhantes. Então, temos três multiplicado pelo primeiro termo: três multiplicado por 𝑥 ao quadrado, em seguida, três por dois 𝑥 e, em seguida, três por menos sete. Então, tomando um termo de cada vez, nós apenas escrevemos dois novamente, não para fazer nada com ele. E nós adicionamos três multiplicado por 𝑥 ao quadrado que é três 𝑥 ao quadrado. Três multiplicado por dois 𝑥, bem três vezes dois é seis, então temos seis 𝑥. E então três multiplicado por menos sete, bem três multiplicados por sete são vinte e um. Verifique o negativo na frente dele, porque é um positivo e um negativo nos dá um negativo. Então temos menos 21.

Neste caso, ainda não terminamos e é porque temos alguns termos semelhantes que precisamos agrupar. Então, o que vamos fazer é menos vinte e um negativos e adicionar dois. Então, vamos ter três 𝑥 ao quadrado mais seis 𝑥 menos dezenove. E temos aí o resultado. Nós terminamos. Portanto, tenha cuidado pois, sempre que você tiver algo mais um monômio multiplicado por um polinômio, aquilo está lá para enganá-lo. Certifique-se de que você não o adicionou primeiro, ou no caso em que temos, digamos dois 𝑥 mais três todos multiplicados por 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 menos sete, que é pior você nem tentar fazer um binômio multiplicado por esse polinômio. Porque isso é muito mais difícil de resolver e você vai acabar perdendo muito tempo fazendo algo que não vai te dar nenhuma nota. Por isso tenha cuidado. Preste atenção aos parênteses para ter certeza de que você sabe exatamente o que está fazendo.