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𝐴𝐵𝐶𝐷 é um losango em que 𝐷𝐵 é igual a 22.4 centímetros. Determine o comprimento de 𝐴𝐶 e a área de 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Então, nessa pergunta, somos solicitados a calcular duas coisas. Em primeiro lugar, o comprimento de 𝐴𝐶, que é uma das diagonais do losango. E em segundo lugar, a área do losango. Vamos pensar em como calcular o comprimento da linha 𝐴𝐶, primeiro de tudo. Começaremos enfocando o triângulo destacado em rosa, o triângulo 𝐷𝐸𝐶. Agora, este é de fato um triângulo retângulo em 𝐸, pois as diagonais de um losango se cruzam em ângulos retos. Nós sabemos o comprimento da hipotenusa deste triângulo. É o comprimento lateral do losango, 21.2 centímetros. Também nos é dito na questão que o comprimento da outra diagonal 𝐷𝐵 é de 22.4 centímetros. Isso significa que podemos calcular o comprimento do lado 𝐷𝐸, usando o fato de que as diagonais de um losango se cruzam ao meio. Portanto, o comprimento da linha 𝐷𝐸, que é a metade da diagonal 𝐷𝐵, é de 11.2 centímetros.
Agora temos um triângulo retângulo em que sabemos o comprimento de dois dos lados. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento do terceiro lado. Isso nos dará o comprimento do segmento de reta 𝐸𝐶. E para encontrar 𝐴𝐶, precisamos apenas dobrá-lo. Lembre-se, diagonais de um losango se dividem ao meio. Então, vamos lembrar o teorema de Pitágoras. Diz-nos que, num triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado da hipotenusa. Em nosso triângulo, isso significa que 𝐸𝐶 ao quadrado mais 𝐸𝐷 ao quadrado é igual a 𝐶𝐷 ao quadrado. Podemos substituir 𝐸𝐷 e 𝐶𝐷 com seus valores. E, portanto, temos a equação 𝐸𝐶 ao quadrado mais 11.2 ao quadrado é igual a 21.2 ao quadrado.
Agora queremos resolver essa equação para encontrar o comprimento de 𝐸𝐶. Calculando 11.2 ao quadrado e 21.2 ao quadrado dá 𝐸𝐶 ao quadrado mais 125.44 é igual a 449.44. Subtraindo 125.44 de ambos os lados, 𝐸𝐶 ao quadrado é igual a 324. O passo final na resolução de 𝐸𝐶 é tirar a raiz quadrada de cada lado da equação que dá 𝐸𝐶 é igual à raiz quadrada de 324, que é exatamente 18. Então agora sabemos o comprimento de 𝐸𝐶. Nós só precisamos dobrá-lo para encontrar o comprimento de 𝐴𝐶. O comprimento de 𝐴𝐶 é dois multiplicado por 18, que é 36. As unidades para isso, que escreveremos mais tarde, são centímetros.
Então, respondemos a primeira parte da pergunta. E agora precisamos encontrar a área desse losango. Portanto, precisamos lembrar a fórmula para fazer isso. A área de um losango pode ser calculada usando suas diagonais. Se as diagonais do losango são 𝑑 um e 𝑑 dois, então a área é igual a metade do seu produto. Nós sabemos o comprimento de ambas as diagonais deste losango. 𝐴𝐶, nós calculamos, são 36 centímetros. E 𝐷𝐵, lembre-se, foi dado na pergunta 22.4 centímetros. Portanto, nosso cálculo para a área é um meio multiplicado por 36 multiplicado por 22.4. Calculando isso dá 403.2.
Então, temos nossa resposta para o problema, agora com as unidades apropriadas para cada parte. O comprimento da diagonal 𝐴𝐶 é de 36 centímetros. E a área do losango 𝐴𝐵𝐶𝐷 é 403.2 centímetros quadrados.
