Lesson Video: Princípios de Contagem: Regra da Adição

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Neste vídeo, aprenderemos como encontrar o número de todos os resultados possíveis de dois ou mais eventos juntos usando o princípio de contagem da adição.

Imagine que existem dois restaurantes no bairro, Pizza Shop e Soup Kitchen, nomes completamente originais, é claro. O Pizza Shop tem 10 pizzas diferentes em seu cardápio, enquanto o Soup Kitchen tem sete sopas em seu cardápio. Queremos encontrar o número de opções diferentes para o almoço se optarmos por comprar esse almoço em qualquer um desses restaurantes. E para fazer isso, simplesmente adicionamos o número de itens nos menus de ambos os restaurantes. São 10 mais sete, o que equivale a 17 opções diferentes de almoço.

Agora, é claro, isso só é verdade porque não há um item de almoço comum que seja vendido em ambos os restaurantes. Se o Soup Kitchen, por exemplo, decidisse que de repente venderia pizza de pepperoni, precisaríamos repensar um pouco nossos cálculos.

Vamos colocar isso em termos gerais. Lembre-se, um par de eventos é considerado mutuamente exclusivo se não houver um resultado comum dos dois eventos. No contexto do nosso exemplo anterior, esses eventos seriam a compra de um item de almoço na Pizza Shop e a compra de um item no Soup Kitchen. Se o Soup Kitchen, como dissemos, resolvesse vender pizza de pepperoni, esses dois eventos não seriam mutuamente exclusivos. Como antes, como cada evento não produz um resultado comum, eles são mutuamente exclusivos.

Portanto, se um par de eventos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos e há 𝑚 resultados distintos do evento 𝐴 e 𝑛 resultados distintos do evento 𝐵, o número total de resultados é 𝑚 mais 𝑛.

Agora vamos querer aplicar isso junto com as regras que temos para combinações e permutações. Uma combinação é encontrada quando estamos selecionando objetos de um grande grupo e a ordem não importa. Então, digamos que temos três objetos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Escolher 𝐴 e depois 𝐵 seria o mesmo que escolher 𝐵 e depois 𝐴. E para encontrar o número de maneiras de escolher 𝑟 itens de 𝑛 quando a ordem não importa, encontramos 𝑛C𝑟. Quando a ordem importa, é uma permutação. E o número de maneiras de escolher 𝑟 itens de 𝑛 neste caso é 𝑛P𝑟.

Então, com tudo isso em mente, vamos aplicar a regra de combinação e a regra de adição juntas.

Existem 10 meninos e seis meninas. Qual é a expressão numérica que nos permite calcular quantas maneiras existem para formar um grupo que consiste em três meninos ou duas meninas? É (A) 10 𝐶 três vezes seis 𝐶 dois? É (B) 10 𝐶 três mais seis 𝐶 dois? É (C) 10 𝑃 três vezes seis 𝑃 dois, (D) 10 𝑃 três mais seis 𝑃 dois ou (E) 10 𝐶 três menos seis 𝐶 dois?

Estamos formando um grupo que consiste em três meninos ou duas meninas. Então, na verdade, existem dois eventos. O primeiro evento, vamos chamar de evento 𝐴, é o evento em que escolhemos três meninos de um total de 10. O segundo evento, vamos chamar de 𝐵, é o evento em que escolhemos duas meninas de um total de seis. Não pode haver um resultado comum dos dois eventos. Portanto, eles devem ser mutuamente exclusivos. Isso nos diz que poderemos aplicar a regra de adição para responder a esse problema.

Isso diz que se dois eventos 𝐴 e 𝐵 são mutuamente exclusivos, onde 𝐴 tem 𝑚 resultados distintos e 𝐵 tem 𝑛 resultados distintos, o número total de resultados de qualquer um dos dois eventos é dado por 𝑚 mais 𝑛. Nós simplesmente somamos os números de resultados distintos dos dois eventos. Portanto, nosso trabalho agora é calcular o número de resultados de cada evento.

Estamos escolhendo três meninos de um total de 10. Agora não há indicação aqui de que a ordem é importante. Na verdade, digamos que temos o menino um, o menino dois e o menino três. Mudar a ordem em que escolhemos os dois primeiros meninos de modo que escolhemos o menino dois, depois o menino um e depois o menino três, na verdade, não importa. Nós ainda terminamos com os mesmos três meninos finais. E então estamos lidando com combinações. O número de combinações que existem, que é quando a ordem não importa, de escolher 𝑟 itens de 𝑛 é 𝑛C𝑟 ou 𝑛 escolher 𝑟.

E a notação que usamos aqui não será necessariamente a notação a que você está acostumado. Dependendo de onde você está no mundo, você pode ver o 𝑛 e o 𝑟 como subscrito ou alternativamente como um par ordenado e às vezes até como um vetor de coluna. Então, com isso em mente, calcularemos o número de maneiras de escolher três meninos de um total de 10. São 10 escolher três. Da mesma forma, a ordem em que as meninas são escolhidas não importa. E estamos escolhendo dois de um total de seis. Então são seis escolher dois.

Como os eventos são mutuamente exclusivos, nós os adicionamos para encontrar o número total de resultados possíveis. E assim, o número de maneiras de formar um grupo que consiste em três meninos ou duas meninas é 10 escolher três mais seis escolher dois, que é a opção (B).

Agora demonstramos como aplicar a regra de adição a um par de eventos mutuamente exclusivos. Vamos agora ver como podemos generalizar isso para aplicá-lo a mais de dois.

Voltando ao nosso problema, em que estamos tentando decidir que almoço comprar. Imagine agora que abre um terceiro restaurante, o Sandwich Place. E esse restaurante tem cinco tipos diferentes de sanduíches. Os três eventos, que é escolher uma pizza ou escolher uma sopa ou escolher um sanduíche, ainda são mutuamente exclusivos. Não há itens comuns nesses menus. O número total de opções agora é a soma de 10 e sete e cinco. São 22 opções diferentes de almoço.

E assim podemos estender nossa regra de adição para eventos mutuamente exclusivos. Ou seja, o número de resultados distintos de uma coleção de eventos aos pares e mutuamente exclusivos é a soma do número de resultados distintos de cada evento. Vamos demonstrar isso em nosso próximo exemplo.

Qual é a expressão numérica que usaríamos para encontrar de quantas maneiras quatro bolas da mesma cor podem ser selecionadas de 10 bolas azuis, seis bolas verdes e sete bolas vermelhas. Suponha que nenhuma das bolas seja idêntica. (A) 10 𝐶 quatro vezes seis 𝐶 quatro vezes sete 𝐶 quatro, (B) 10 𝑃 quatro vezes seis 𝑃 quatro vezes sete 𝑃 quatro. É (C) 10 𝑃 quatro mais seis 𝑃 quatro mais sete 𝑃 quatro, (D) 10 𝐶 quatro mais seis 𝐶 quatro mais sete 𝐶 quatro, ou (E) 10 𝐶 quatro vezes seis 𝐶 quatro mais sete 𝐶 quatro?

Estamos selecionando quatro bolas de 10 azuis, seis verdes e sete vermelhas. Agora, o aspecto chave dessa pergunta, que nos ajudará a respondê-la, é que nenhuma das bolas será idêntica. Então, quando escolhemos quatro bolas, vamos escolher quatro azuis, quatro verdes ou quatro vermelhas. Como nenhum resultado é compartilhado pelo evento de escolha de quatro bolas azuis, quatro bolas verdes e assim por diante, os três eventos são considerados aos pares mutuamente exclusivos.

A regra de adição diz que o número de resultados distintos dessa coleção de eventos aos pares mutuamente exclusivos é a soma do número de resultados distintos de cada evento. Portanto, precisamos calcular o número de maneiras de escolher quatro bolas azuis de um total de 10, quatro bolas verdes de um total de seis e quatro bolas vermelhas de um total de sete. E então vamos adicionar esses valores.

Agora, como a ordem em que essas bolas são escolhidas não importa - escolher, digamos, quatro bolas azuis resultará no mesmo resultado final, independentemente da ordem em que elas são escolhidas - sabemos que temos combinações. Em outras palavras, o número de maneiras de escolher 𝑟 itens de um total de 𝑛 itens distintos quando a ordem não importa é 𝑛 escolher 𝑟. Portanto, o número de maneiras de escolher as quatro bolas azuis de um total de 10 é 10 escolher quatro. O número de maneiras de escolher quatro bolas verdes de um total de seis é seis escolher quatro. E escolher quatro bolas vermelhas de um total de sete é sete escolher quatro.

A regra de adição diz que o número total de resultados é a soma deles. Portanto, a expressão numérica que usaremos é 10 𝐶 quatro mais seis 𝐶 quatro mais sete 𝐶 quatro. E essa é a opção (D).

Agora, uma propriedade poderosa da regra de adição é que ela pode ser usada juntamente com o princípio fundamental de contagem. Às vezes, isso também é chamado de regra de multiplicação ou regra do produto para contagem. Enquanto a regra de adição, como vimos, requer que os eventos sejam mutuamente exclusivos, o princípio fundamental da contagem requer que os eventos sejam independentes. Em outras palavras, um resultado específico de um evento não altera o número de resultados possíveis do outro.

O princípio fundamental da contagem diz que se temos dois eventos 𝐴 e 𝐵 e o número de resultados possíveis para o evento 𝐴 é 𝑚 e o número para o evento 𝐵 é 𝑛, o número total de resultados possíveis distintos desses dois eventos juntos é 𝑚 vezes 𝑛. Vamos demonstrar como podemos usar o princípio fundamental de contagem ao lado da regra de adição.

Um copo contém 10 bolinhas de gude azuis, seis bolinhas de gude verdes e sete bolinhas de gude vermelhas. Nenhuma das bolinhas de gude no copo é idêntica. De quantas maneiras quatro bolinhas de gude podem ser escolhidas do copo para que exatamente três delas sejam da mesma cor?

Vamos começar identificando os diferentes eventos que levarão a um resultado de quatro bolinhas de gude, onde exatamente três delas são iguais. Podemos selecionar quatro bolinhas de gude, então exatamente três delas são azuis. Podemos selecionar quatro onde exatamente três são verdes ou quatro onde exatamente três são vermelhas. Agora notamos que nenhum resultado é compartilhado pelos diferentes eventos. Então, dizemos que esses eventos são mutuamente exclusivos.

Nesse caso, podemos usar a regra de adição. Isso diz que o número de resultados distintos de uma coleção de eventos aos pares mutuamente exclusivos é a soma do número de resultados distintos de cada evento. Então, precisamos calcular o número de resultados em cada evento. Vamos começar com a primeira, que é escolher três bolinhas de gude azuis. Essencialmente, neste caso, estamos escolhendo três bolinhas de gude azuis e uma que não é azul. Agora, de fato, esses dois eventos são independentes; um resultado específico de um não afeta o número de resultados possíveis do outro. E assim podemos usar o princípio fundamental da contagem. Isso nos diz que o número de resultados dos dois eventos juntos é encontrado multiplicando o número de resultados de cada evento.

Existem 10 bolinhas de gude azuis, e há seis mais sete bolinhas de gude que não são azuis. São 13. Isso significa que existem 13 maneiras de escolher uma bolinha de gude que não seja azul. É um pouco mais complicado quando se trata de escolher três bolinhas de gude de um total de 10. A ordem em que escolhemos essas bolinhas de gude não importa. E assim dizemos que há 10 𝐶 ou 10 escolheer três maneiras de escolher três bolinhas de gude de um total de 10. O princípio fundamental da contagem nos diz então o número de maneiras de selecionar quatro bolinhas de gude para que exatamente três delas sejam azuis é 13 vezes 10 escolher três.

Vamos agora passar para as bolinhas de gude verdes. Existem seis bolinhas de gude verdes no total e 17 que não são verdes. Portanto, há seis opções de três maneiras de escolher três bolinhas de gude verdes de um total de seis. E então, pelo princípio fundamental da contagem, o número de maneiras de selecionar quatro para que exatamente três delas sejam verdes é 17 vezes seis escolher três.

Finalmente, temos as bolinhas de gude vermelhas. Sete são vermelhas e 16 não são vermelhas. Isso significa que há sete opções para escolher essas três bolinhas de gude vermelhas de um total de sete. Existem 16 maneiras de escolher uma bolinha de gude que não seja vermelha. E assim, o princípio fundamental da contagem diz que o número de maneiras de selecionar quatro bolinhas de gude de modo que exatamente três delas sejam vermelhas é 16 vezes sete escolher três.

Finalmente, aplicamos a regra da adição. Portanto, o número de maneiras diferentes pelas quais quatro bolinhas de gude podem ser escolhidas do copo, de modo que exatamente três delas sejam da mesma cor, é a soma delas. É 13 vezes 10 escolher três mais 17 vezes seis escolher três mais 16 vezes sete escolher três. Essa é a opção (C).

Vamos ver mais um exemplo, mas desta vez não usaremos combinações.

Escreva o cálculo que usaríamos para calcular o número de maneiras pelas quais podemos estacionar dois carros e, em seguida, pelo menos dois caminhões em cinco vagas de estacionamento seguidas. É cinco 𝑃 dois vezes três 𝑃 três mais cinco 𝑃 dois vezes três 𝑃 dois, cinco escolher dois vezes três escolher três mais cinco escolher dois vezes três escolher dois? São cinco 𝑃 dois mais três 𝑃 três mais cinco 𝑃 dois mais três 𝑃 dois? É a opção (D) cinco escolher dois mais três 𝑃 três mais cinco 𝑃 dois mais três 𝑃 dois ou a opção (E) cinco 𝑃 dois vezes cinco 𝑃 três mais cinco 𝑃 dois vezes cinco 𝑃 dois?

Vamos identificar os diferentes eventos que nos darão o resultado descrito. Poderíamos ter dois carros e três caminhões estacionados, ou poderíamos ter dois carros e dois caminhões estacionados. E os eventos não compartilham um resultado comum, então eles são mutuamente exclusivos. A regra de adição para dois eventos diz que, se os eventos forem mutuamente exclusivos, o número de resultados desses dois eventos é a soma do número de resultados distintos de cada evento.

Então, vamos encontrar o número de resultados. Vamos começar com o evento onde estacionamos dois carros e três caminhões. Agora dividimos isso individualmente em mais dois eventos, ou seja, estacionar dois carros e três caminhões. Como um resultado específico de um evento não afeta o número de resultados possíveis do outro, eles são eventos independentes. Mais especificamente, se estacionarmos dois carros em qualquer vaga, ainda haverá três vagas para os caminhões.

E assim podemos usar o princípio fundamental da contagem. O número de resultados dos dois eventos juntos é o produto do número de resultados de cada evento. Agora, como a ordem em que estacionamos os carros e a ordem em que estacionamos os caminhões são importantes, estamos falando de permutações. O número de maneiras de escolher 𝑟 itens de um total de 𝑛 itens quando a ordem importa é 𝑛P𝑟.

Portanto, neste caso, o número de maneiras de estacionar os dois carros nas cinco vagas de estacionamento possíveis é cinco 𝑃 dois. Depois de estacionar os carros, restam apenas três vagas de estacionamento. Portanto, existem três maneiras diferentes de organizar os três caminhões nos pontos restantes. São três 𝑃 três. Como esses eventos são independentes, o princípio fundamental da contagem nos diz que o número total de resultados é o produto deles. Então são cinco 𝑃 dois vezes três 𝑃 três.

Vamos agora repetir esse processo para dois carros e dois caminhões. A primeira parte é a mesma. São cinco 𝑃 dois. Estamos escolhendo dois de um total de cinco. Mas o número de maneiras de organizar os dois caminhões nos três espaços restantes é três 𝑃 dois. O número total de resultados pelo princípio fundamental da contagem é o produto deles. São cinco 𝑃 dois vezes três 𝑃 dois.

Agora, como estacionar dois carros e três caminhões é mutuamente exclusivo, com o estacionamento de dois carros e dois caminhões, o número total de resultados, o número de maneiras pelas quais podemos estacionar dois carros e, em seguida, pelo menos dois caminhões em cinco vagas de estacionamento, é encontrado adicionando essas duas expressões. Então é cinco 𝑃 dois vezes três 𝑃 três mais cinco 𝑃 dois vezes três 𝑃 dois. E podemos ver que é a opção (A).

Vamos agora recapitular os pontos principais desta aula. Neste vídeo, aprendemos que se 𝐴 e 𝐵 são eventos mutuamente exclusivos em que 𝐴 tem 𝑚 resultados distintos e 𝐵 tem 𝑛 resultados distintos, há um total de 𝑚 mais 𝑛 resultados distintos de 𝐴 ou 𝐵. E essa regra pode ser estendida para se aplicar a mais de dois eventos mutuamente exclusivos. Também vimos que ela pode ser aplicada juntamente com o princípio fundamental da contagem para resolver problemas mais complicados.