Vídeo: Classificando um Triângulo Utilizando os Comprimentos de seus Lados

Um triângulo tem vértices nos pontos 𝐴 (4, 2), 𝐵 (6, 2) e 𝐶 (5, −1). Ache os comprimentos dos lados do triângulo. Dê suas respostas como radicais na sua forma mais simples. Que tipo de triângulo é 𝐴𝐵𝐶?

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Um triângulo tem vértices nos pontos 𝐴: quatro, dois; 𝐵: seis, dois; e 𝐶: cinco, menos um. Em primeiro lugar, calcule os comprimentos dos lados do triângulo. Dê suas respostas como radicais na sua forma mais simples. Em segundo lugar, que tipo de triângulo é 𝐴𝐵𝐶?

Então, recebemos as coordenadas dos três vértices de um triângulo. E nossa primeira tarefa é calcular os comprimentos dos lados. Para fazer isso, precisamos lembrar a fórmula de distância para calcular a distância entre dois pontos em uma grade de coordenadas.

Isso nos diz a distância entre os dois pontos com as coordenadas 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois podem ser encontradas tomando a raiz quadrada de 𝑥 dois menos 𝑥 mais a raiz quadrada de 𝑦 dois menos 𝑦 um.

Esta é de fato uma aplicação do teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo, no qual o comprimento horizontal é 𝑥 dois menos 𝑥 um e o comprimento vertical é 𝑦 dois menos 𝑦 um.

Vamos agora aplicar isso ao cálculo dos comprimentos dos três lados desse triângulo. Vamos começar com o lado 𝐴𝐵. Agora, um fato real é que esse lado é horizontal como os dois pontos de mesma coordenada 𝑦. Portanto, seu comprimento é apenas a diferença entre suas coordenadas 𝑥. A diferença entre seis e quatro é dois. E então o comprimento de 𝐴𝐵 é dois.

Você poderia, claro, aplicar a fórmula da distância. E daria o mesmo resultado. Mas é uma complicação desnecessária. Em seguida, vamos calcular o comprimento do lado 𝐴𝐶. E vamos precisar da fórmula da distância aqui.

Substituindo as coordenadas de 𝐴 e 𝐶 na fórmula da distância, temos que o comprimento de 𝐴𝐶 é igual à raiz quadrada de cinco menos quatro ao quadrado mais um negativo menos dois ao quadrado. Isto dá a raiz quadrada de um ao quadrado mais três negativos ao quadrado.

Um ao quadrado é um. E menos três ao quadrado é nove. Então, temos a raiz quadrada de um mais nove, que é a raiz quadrada de 10. Agora, isso não pode ser simplificado ainda mais, pois 10 não têm nenhum fator quadrado. Portanto, este radical está na sua forma mais simples.

Agora nós consideramos o terceiro lado, 𝐵𝐶. A substituição das coordenadas por esses pontos dá a raiz quadrada de cinco menos seis ao quadrado mais um negativo menos dois ao quadrado. Isto é igual à raiz quadrada de um negativo ao quadrado mais três negativos ao quadrado. Um negativo ao quadrado é um. E menos três ao quadrado é nove. Portanto, temos a raiz quadrada de um mais nove, o que simplifica novamente para a raiz quadrada de 10.

Então, calculamos o comprimento dos três lados do triângulo. 𝐴𝐵 tem duas unidades. 𝐴𝐶 tem raiz de 10 unidades. E 𝐵𝐶 também tem raiz de 10 unidades. Agora vamos considerar a segunda parte: que tipo de triângulo é 𝐴𝐵𝐶? Bem, você deve ter notado, na elaboração da parte anterior, que dois dos lados desse triângulo têm o mesmo comprimento. 𝐴𝐶 é igual a 𝐵𝐶.

No entanto, o terceiro lado do triângulo, 𝐴𝐵, é diferente. Isso significa que o nosso triângulo tem dois lados iguais. E, portanto, deve ser um triângulo isósceles. Então vou responder às duas partes do problema. 𝐴𝐵 é igual a dois. 𝐴𝐶 é igual a raiz de 10. 𝐵𝐶 também é igual a raiz de 10. E 𝐴𝐵𝐶 é um triângulo isósceles.

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