Vídeo: Deveras Um Padrão Curioso

Deveras Um Padrão Curioso

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Transcrição do vídeo

Escolhe dois pontos de uma circunferência e desenha uma linha reta. O espaço que foi cercado pela circunferência foi dividido em dois. Neste ponto, adiciona um terceiro, o que nos dá mais duas cordas. O espaço no qual estas linhas atravessam foi fissurado em quatro. Continua com um quarto ponto e mais três linhas desenhadas a direito. Agora, a contagem destas regiões reunidas soma, no total, oito. Um quinto ponto e as suas quatro linhas suportam este padrão adquirido. Contando as secções, adivinha-se que existem agora 16.

Este padrão aqui de duplicação parece ser robusto. Mas mais um passo e é preocupante é o sexto dá 31. Espera! O quê? Um, dois, quatro, oito, 16, 31? O que está a acontecer aqui? Por que é que o padrão começa como potências de dois, apenas para ficar um aquém na sexta iteração?

Isto parece arbitrário. Por que não um, dois, quatro, oito, 16, 32, 63 ou um, dois, quatro, oito, 15? Se continuares, o número de secções se desviará ainda mais de potências de dois, exceto quando atingir 256.

Mas isto apenas levanta a questão de “o que é que o padrão realmente é e por que ele namora com potências de dois? Nos próximos vídeos, explicarei o que está a acontecer, o que incluirá uma das minhas demonstrações favoritas. Mas problemas interessantes merecem ser partilhados, ponderados e discutidos antes que os seus segredos sejam revelados apressadamente. Então, enquanto eu trabalho para fazer as animações da minha explicação, encorajo-te a pensares por ti mesmo.

Para ser claro, a questão é esta: se considerares um conjunto de pontos de uma circunferência, ligares cada par deles por uma linha, em quantas partes essas linhas dividem o círculo? Importa onde estes pontos estão? E por que é que a resposta coincide com as potências de dois, para menos de seis pontos?

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