Vídeo: Módulo de um Número Complexo

Neste vídeo, vamos aprender a utilizar a fórmula genérica para calcular o módulo de um número complexo.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender a calcular o módulo de um número complexo. Vamos aprender o que queremos dizer com o termo módulo antes de deduzir uma fórmula que possamos utilizar para todos os casos. Vamos a seguir considerar as propriedades do módulo em relação às operações em números complexos — como adição, multiplicação e divisão — antes de resolver equações simples que envolvem o módulo de um número complexo.

Vimos que podemos representar números complexos num plano bidimensional. Chamamos a este plano o diagrama de Argand ou o plano de Argand, com o nome do matemático amador que o descobriu no início do século XIX. Podemos utilizá-lo para representar graficamente um número complexo da forma 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖, cuja parte real é 𝑎 e cuja parte imaginária é 𝑏. Para o fazer, localizamos a parte real 𝑎 no eixo real. Este é o eixo horizontal. E a seguir movemos para cima ou para baixo para localizar a parte imaginária, isto é 𝑏, no eixo imaginário, o eixo vertical. O nosso número complexo pode, portanto, ser representado pelo ponto 𝑎, 𝑏 como apresentado.

Adicionamos uma reta que liga este ponto à origem. E podemos ver que agora podemos calcular informações extra. Podemos calcular o comprimento deste segmento de reta. Chamamo-lo de módulo do número complexo. E é denotado como apresentado. Então, como calculamos o comprimento deste segmento de reta? Bem, podemos criar um triângulo retângulo com este lado como hipotenusa. A base deste triângulo é 𝑎 unidades de comprimento. E a altura do triângulo é de 𝑏 unidades de comprimento.

É um triângulo retângulo. Assim, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da hipotenusa. Isto indica que, para um triângulo retângulo com comprimentos laterais 𝑎, 𝑏 e 𝑐, onde 𝑐 é a hipotenusa, 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. Dissemos que o comprimento da hipotenusa no nosso triângulo é o módulo de 𝑧. Assim, o módulo de 𝑧 ao quadrado deve ser igual a 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Vamos resolver isto para o módulo de 𝑧 calculando a raiz quadrada de ambos os membros. E vemos que criamos uma fórmula para o módulo de 𝑧 dado por 𝑎 mais 𝑏𝑖. É a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado.

Às vezes, chamamo-lo de valor absoluto de 𝑧. E, claro, uma vez que representa um comprimento, sabemos que o módulo de 𝑧 será sempre maior que zero. Agora, na verdade, muitas vezes também é chamada de norma do número complexo devido à interpretação geométrica de um número complexo como um vetor. Agora vamos considerar um exemplo de aplicação desta fórmula.

Qual é o módulo do número complexo três mais sete 𝑖?

A definição do módulo de um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖 é a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. 𝑎 é a parte real do número complexo, enquanto 𝑏 é a parte imaginária. Vamos comparar esta forma com a do nosso número complexo três mais sete 𝑖. Este número complexo tem uma parte real de três e uma parte imaginária de sete. Não a confunda com sete 𝑖. A parte imaginária é basicamente o coeficiente de 𝑖. Podemos substituir estes valores na fórmula do módulo. E obtemos a raiz quadrada de três ao quadrado mais sete ao quadrado. Três ao quadrado é nove e sete ao quadrado é 49. Assim, o módulo é a raiz quadrada de 58.

Normalmente tentamos simplificar este irracional. No entanto, não existem fatores de 58 que também sejam quadrados perfeitos. Portanto, acabámos, está na sua forma mais simples. E podemos dizer que o módulo do número complexo três mais sete 𝑖 é a raiz 58. No nosso próximo exemplo, veremos a relação entre o módulo de um número complexo e o módulo do seu conjugado. À medida que avançamos, veja se pode recordar a relação entre a representação de um número complexo e o seu conjugado no plano de Argand.

Considere o número complexo 𝑧 igual a menos quatro, mais 𝑖 raiz de cinco. Parte um: calcule o módulo de 𝑧. Parte dois: calcule o módulo do conjugado de 𝑧. Parte três: determine o produto de 𝑧 com o seu conjugado.

Para a parte um, temos um número complexo. E pediram-nos para determinar o seu módulo. Lembre-se, para um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖, o módulo é determinado pela raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. 𝑎 é a parte real do número complexo, enquanto 𝑏 é a parte imaginária. Vamos comparar esta forma com a do nosso número complexo, menos quatro e 𝑖 cinco raiz.

A sua parte real é menos quatro e a sua parte imaginária é a raiz quadrada de cinco. Substituindo estes valores na fórmula do módulo, vemos que o módulo de 𝑧 é determinado pela raiz quadrada de menos quatro ao quadrado mais a raiz quadrada de cinco ao quadrado. Menos quatro ao quadrado é 16. E a raiz quadrada de cinco ao quadrado é cinco. Então, vemos que o módulo de 𝑧 é a raiz quadrada de 21.

Para a parte dois, é-nos solicitado determinar o módulo do complexo conjugado de 𝑧. Agora, para determinar o conjugado, trocamos o sinal da parte imaginária. Neste exemplo, o conjugado de 𝑧 é menos quatro menos 𝑖 raiz cinco. Desta vez, a parte real do nosso número é menos quatro. E a parte imaginária é a raiz negativa de cinco. Substituindo estes valores na nossa fórmula do módulo, vemos que o módulo do conjugado é a raiz quadrada de menos quatro ao quadrado e raiz negativa de cinco ao quadrado. Agora, de facto, o menos quatro ao quadrado é, novamente, 16. E a raiz negativa de cinco ao quadrado é cinco. Assim, vemos que o módulo do conjugado de 𝑧 é também raiz de 21.

Para a parte três, é-nos solicitado determinar o produto de 𝑧 com seu conjugado. Vimos que o conjugado de 𝑧 era menos quatro menos 𝑖 raiz de cinco. Assim, o produto de 𝑧 com o seu conjugado é menos quatro mais 𝑖 raiz de cinco multiplicado por menos quatro menos 𝑖 raiz de cinco. E podemos utilizar a manipulação algébrica de binómios para determinar o produto. Podemos utilizar uma tabela ou a propriedade distributiva. Vamos ver o método da tabela.

Começamos por multiplicar menos quatro por menos quatro, e é 16. Depois, multiplicamos menos quatro por 𝑖 raiz de cinco. E ficamos com menos quatro 𝑖 raiz de cinco. E pode escrever isto numa ordem diferente. Mas eu escolhi colocar a raiz quadrada de cinco no final deste termo, para que fique claro que não estamos a determinar a raiz quadrada de 𝑖 também. Em seguida, multiplicamos menos 𝑖 raiz de cinco por menos quatro. E temos quatro 𝑖 raiz de cinco. E quando multiplicamos os dois termos restantes, obtemos um menos 𝑖 ao quadrado multiplicado pela raiz quadrada de cinco ao quadrado.

Bem, na verdade, a raiz quadrada de cinco ao quadrado é simplesmente cinco. E 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Assim, temos menos menos um multiplicado por cinco. E isto simplifica para cinco. Em seguida, juntamos os termos semelhantes. E notamos que, quando o fazemos, adicionamos quatro 𝑖 raiz de cinco e menos quatro 𝑖 raiz de cinco. E, na verdade, temos zero. Assim, a nossa expressão se torna seis [16] mais cinco, o que equivale a 21. E o produto do nosso número complexo com seu conjugado é 21.

Neste exemplo, vimos que não apenas o módulo de um número complexo é igual ao módulo do seu conjugado, mas também que o quadrado do módulo de um número complexo é igual ao produto de um número complexo com seu conjugado. Agora, na verdade, mais cedo, eu disse para pensar sobre a relação entre a representação de um número complexo e o seu conjugado no plano de Argand.

E quando o fazemos, vemos que esta primeira regra faz muito sentido. Representa uma reflexão no eixo O𝑥 ou no eixo real. E podemos, portanto, ver que o comprimento do segmento de reta que une 𝑧 à origem é exatamente o mesmo que o comprimento do segmento de reta que une o conjugado de 𝑧 à origem. E isto confirma que o módulo de 𝑧 deve ser igual ao módulo do conjugado de 𝑧. Agora veremos a relação entre adição e o módulo de um número complexo.

Considere dois números complexos, 𝑤 igual a menos um mais sete 𝑖 e 𝑧 igual a cinco menos três 𝑖. Parte um: calcule o módulo de 𝑤 mais o módulo de 𝑧 com duas casas decimais.

E há duas outras partes para esta questão que consideraremos em breve. A primeira parte está a pedir-nos para determinar o módulo de 𝑤 e o módulo de 𝑧. E, em seguida, determinar a soma destes dois valores. Lembre-se, a definição do módulo de um número complexo da forma 𝑎 mais 𝑏𝑖 é a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Se compararmos isto com o nosso primeiro número complexo 𝑤, podemos ver que 𝑎, a parte real, é negativa. E vemos que 𝑏, a parte imaginária, é sete.

Então, o módulo de 𝑤 é determinado pela raiz quadrada de menos um ao quadrado mais sete ao quadrado. O menos um ao quadrado é um e sete ao quadrado é 49. Assim, o módulo de 𝑤 é a raiz quadrada de 50. E, na verdade, calcularemos a nossa resposta com duas casas decimais. Então, não importa se escrevemos isto na sua forma mais simples ou não. Mas se o fizéssemos, veríamos que o módulo de 𝑤 é cinco raiz de dois.

Vamos repetir este processo para o módulo de 𝑧. A parte real de 𝑧, é 𝑎, é cinco. E a parte imaginária é menos três. Então o módulo de 𝑧 é a raiz quadrada de cinco ao quadrado mais menos três ao quadrado. Esta é a raiz quadrada de 25 mais nove, que é a raiz de 34. Portanto, a soma destes dois números é cinco raiz de dois mais raiz de 34, que é 12.9020 e assim por diante. Arredondado a duas casas decimais, é 12.90.

Parte dois: calcule o módulo de 𝑧 mais 𝑤 com duas casas decimais.

Desta vez, precisamos adicionar os números complexos primeiro e depois determinar o módulo da sua soma. Para adicionar dois números complexos, adicionamos as suas partes reais e adicionamos, separadamente, as suas partes complexas. Isto é um pouco como juntar termos semelhantes. Cinco mais menos um é quatro e menos três mais sete é quatro. Então, temos quatro mais quatro 𝑖. A parte real deste número é quatro. E a parte imaginária também é quatro. Então, o módulo é a raiz quadrada de quatro ao quadrado mais quatro ao quadrado, que é a raiz quadrada de 32. E se fizermos isto na calculadora, vemos que o módulo da soma destes dois números complexos é 5.66, arredondado a duas casas decimais.

Parte três: quais das seguintes relações são satisfeitas por 𝑤 e 𝑧? a) O módulo de 𝑤 mais o módulo de 𝑧 é igual ao módulo de 𝑧 mais 𝑤. b) O módulo de 𝑤 mais o módulo de 𝑧 é maior ou igual ao módulo de 𝑧 mais 𝑤. c) É menor ou igual ao módulo de 𝑧 mais 𝑤. d) É igual a duas vezes o módulo de 𝑧 mais 𝑤. E e, a raiz quadrada do módulo de 𝑤 mais o módulo de 𝑧 é igual ao módulo de 𝑧 mais 𝑤.

É claro que estes dois números não são iguais. Então podemos imediatamente descartar a. De facto, vemos que o módulo de 𝑤 mais o módulo de 𝑧 é de facto maior que o módulo de 𝑧 mais 𝑤. Então parece que a opção b está correta. Vamos verificar os outros três. Claramente, vimos que c não pode estar correto. E, de facto, se fizermos o dobro do módulo de 𝑧 mais 𝑤, obteremos 11.32. Então d tem que estar incorreto. E se determinarmos a raiz quadrada da soma dos seus módulos, é 3.59, o que mais uma vez nos mostra que e também está incorreto. Então, a resposta correta é b.

Na verdade, esta afirmação vale para todos os números complexos. Podemos dizer que, para dois números complexos 𝑧 um e 𝑧 dois, a soma dos seus módulos sempre será maior ou igual ao módulo da sua soma. E quanto à multiplicação e à divisão? Vamos ver a relação entre a multiplicação e a divisão e o módulo de um número complexo.

Considere os números complexos 𝑧 igual a três menos quatro 𝑖 e 𝑤 igual a menos 15 mais oito 𝑖. Parte um: determine o módulo de 𝑧 e o módulo de 𝑤.

E há duas outras partes para esta questão que consideraremos em breve. Lembre-se, para um número complexo 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖, o módulo de 𝑧 é a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado. Se compararmos isto com o nosso primeiro número complexo, vemos que ele tem uma parte real de três e uma parte imaginária b de menos quatro. Então, o módulo de 𝑧 é a raiz quadrada de três ao quadrado e menos quatro ao quadrado. A raiz quadrada de três ao quadrado mais menos quatro é a raiz quadrada de 25, que é simplesmente cinco. 𝑤 tem uma parte real de menos 15 e uma parte imaginária de oito. Então, o módulo de 𝑤 é a raiz quadrada de menos 15 ao quadrado mais oito ao quadrado. Esta é a raiz quadrada de 289, que é 17.

Parte dois: calcule o módulo de 𝑧𝑤. Como é que se compara ao módulo de 𝑧 multiplicado pelo módulo de 𝑤?

Desta vez, precisamos de calcular o produto dos números complexos 𝑧 e 𝑤. Podemos utilizar a manipulação algébrica de binómios para calcular três menos quatro 𝑖 multiplicado por menos 15 mais oito 𝑖. Poderíamos utilizar o método da tabela ou propriedade distributiva. Vamos ver a propriedade distributiva.

Começamos por multiplicar o primeiro termo de cada parêntesis. Isto é menos 45. Quando multiplicamos os termos exteriores, três multiplicado por oito 𝑖 é 24𝑖. Menos quatro 𝑖 multiplicado por menos 15 é 60𝑖. E quando multiplicamos os dois últimos termos, obtemos o resultado menos 32𝑖 ao quadrado. Mas, claro, 𝑖 ao quadrado é igual a menos. Então, menos 32𝑖 ao quadrado é o mesmo que mais 32. E vemos então que o produto de 𝑧𝑤 é menos 13 mais 84𝑖. E isto significa que o módulo do seu produto é a raiz quadrada de menos 13 ao quadrado mais 84 ao quadrado, que é 85.

Agora, se compararmos isto com os módulos que calculamos anteriormente, se os multiplicarmos, obteremos cinco multiplicado por 17, que também é 85. E podemos dizer que o módulo de 𝑧𝑤 é o mesmo que o módulo de 𝑧 multiplicado pelo módulo de 𝑤. Vamos abrir algum espaço e ver a parte três.

Calcule o módulo de 𝑧 dividido por 𝑤. Como é que se compara com o módulo de 𝑧 dividido pelo módulo 𝑤?

Desta vez, precisamos de trabalhar 𝑧 dividido por 𝑤. Isto é três menos quatro 𝑖 dividido por menos 15 mais oito 𝑖. Assim como racionalizar o denominador de uma fração que tem um radical como parte do denominador, podemos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador desta fração pelo conjugado do denominador. Para determinar o conjugado, mudamos o sinal da parte imaginária. Então, o conjugado aqui é menos 15 menos oito 𝑖. E mais uma vez, multiplicamo-los normalmente.

No numerador, obtemos menos 45 menos 24𝑖 mais 60𝑖 mais 32𝑖 ao quadrado, que se torna menos 32 porque 𝑖 ao quadrado é igual menos um. E obtemos 77 menos 36𝑖 como o nosso numerador simplificado. No denominador, temos 225 mais 120𝑖 menos 120𝑖 menos 64𝑖 ao quadrado, que é 289. O módulo é a raiz quadrada de menos 77 sobre 289 ao quadrado mais 36 sobre 289 ao quadrado. E podemos simplificar isto tirando um fator de 289 ao quadrado. E quando o fazemos, ficamos com um sobre 289, porque precisamos de raiz quadrada, multiplicada pela raiz quadrada de 5929 mais 1296. Isto torna-se 85 sobre 289. Isto simplifica para cinco dezassete avos.

E, na verdade, se olharmos com cuidado, se dividíssemos o módulo de 𝑧 pelo módulo de 𝑤, teríamos cinco dezassete avos. E vemos que o módulo de 𝑧 dividido pelo módulo de 𝑤 é o mesmo que o módulo de 𝑧 dividido por 𝑤. Terminaremos, analisando um breve exemplo de como as propriedades que analisámos nos podem ajudar a resolver equações que envolvam o módulo.

Se 𝑧 é igual a um sobre o conjugado de 𝑧, onde 𝑧 é um número complexo, qual é o módulo de 𝑧?

Para resolver esta equação, começaremos por determinar o módulo de ambos os membros. E sabemos que o módulo do quociente de dois números complexos é o mesmo que o quociente dos seus respetivos módulos. Assim, o primeiro membro desta equação torna-se o módulo de um dividido pelo módulo do conjugado de 𝑧. Agora, de facto, sabemos que o módulo de um é um. E também sabemos que o módulo de um número complexo 𝑧 é o mesmo que o módulo do conjugado de 𝑧. Portanto, temos o módulo de 𝑧 igual a um dividido pelo módulo de 𝑧. Vamos multiplicar ambos os membros desta equação pelo módulo de 𝑧. E assim determinaremos a raiz quadrada de ambos os membros.

Normalmente, teríamos a raiz quadrada positiva e negativa. Mas o módulo representa um comprimento e, portanto, deve ser sempre positivo. Assim, podemos dizer que o módulo de 𝑧 é igual à raiz quadrada de um que é, obviamente, apenas um.

Neste vídeo, vimos que podemos determinar o módulo de um número complexo, tomando a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária deste número. E representa a distância de 𝑧 da origem. E aprendemos várias propriedades sobre o módulo de 𝑧. E, de facto, há mais um. Podemos estender a propriedade para multiplicação para ver que o módulo de 𝑧 elevado a 𝑛 é o mesmo que o módulo de 𝑧 elevado a 𝑛.

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