Lesson Video: Taxas de Variação Média e Instantânea

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Neste vídeo, aprenderemos como determinar a taxa média de variação de uma função entre dois valores de 𝑥 e utilizar limites para determinar a taxa instantânea de variação. Aprenderemos como a taxa média de variação se relaciona com o declive de uma reta e utilizaremos isto para deduzir uma fórmula para determinar a taxa média de variação de uma função antes de considerar as aplicações dessa fórmula. Dizemos que a taxa média de variação de uma função 𝑓 de 𝑥 num intervalo entre dois pontos dados por 𝑎, 𝑓 de 𝑎 e 𝑏, 𝑓 de 𝑏 é o declive da eta secante que une esses dois pontos.

Também devemos lembrar que a fórmula para nos ajudar a determinar o declive de uma reta é dada pela variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥. Bem, neste caso, a variação em 𝑦 será dada pela diferença entre o valor da função em 𝑏 e o valor da função em 𝑎. Isto é 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎, enquanto a variação em 𝑥 é simplesmente 𝑏 menos 𝑎. E assim, o declive da nossa reta secante e, portanto, a taxa média de variação da nossa função é dada por 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. Mas digamos que realmente queremos definir o segundo ponto, que é 𝑏, 𝑓 de 𝑏, pela sua relação com o primeiro ponto.

Digamos que a distância horizontal entre esses dois pontos é ℎ. Então, definimos 𝑏 como sendo igual a 𝑎 mais ℎ e 𝑓 de 𝑏, podemos dizer, é igual a 𝑓 de 𝑎 mais ℎ. A taxa média de variação agora pode ser escrita como 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 sobre ℎ. A função taxa média de variação é chamada às vezes de 𝐴 de ℎ. Esta última fórmula é a que vamos analisar principalmente neste vídeo. E agora, vamos ver como podemos aplicá-la a um problema simples de taxa média de variação.

Determine a função média da taxa de variação 𝐴 de ℎ para 𝑓 de 𝑥 igual a quatro 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais dois em 𝑥 igual a um.

Lembre-se, a taxa média de variação de uma função 𝑓 de 𝑥 entre dois pontos definidos por 𝑎, 𝑓 de 𝑎 e 𝑎 mais ℎ, 𝑓 de 𝑎 mais ℎ é 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 tudo sobre ℎ. Podemos ver nesta questão que 𝑓 de 𝑥 está definida. É quatro 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais dois. Queremos determinar a função taxa média de variação de 𝑓 de 𝑥 em 𝑥 igual a um. Então, seja 𝑎 igual a um. Na verdade, não sabemos quanto é ℎ, mas tudo bem. Esta questão está a pedir-nos essencialmente para deduzir uma função que nos permita determinar a taxa média de variação para qualquer valor de ℎ nesta função. Vamos repartir isto e começar por calcular quanto é 𝑓 de 𝑎 mais ℎ.

Dissemos que 𝑎 é igual a um, então, na verdade, procuramos determinar 𝑓 de um mais ℎ. Voltamos à nossa função 𝑓 de 𝑥, e cada vez que vemos um 𝑥, substituímos por um mais ℎ. Assim, 𝑓 de um mais ℎ é quatro vezes um mais ℎ ao quadrado mais três vezes um mais ℎ mais dois. Vamos desembaraçar os nossos parênteses. Um mais ℎ tudo ao quadrado é um mais dois ℎ mais ℎ ao quadrado e três vezes um mais ℎ é três mais três ℎ. Podemos então desembaraçar estes parênteses e obtemos quatro mais oito ℎ mais quatro ℎ ao quadrado. Finalmente, juntamos os termos semelhantes e obtemos quatro ℎ ao quadrado mais 11ℎ mais nove.

Em seguida, trabalhamos 𝑓 de 𝑎. Bem, é claro, sabemos que isto é 𝑓 de um. Isto é um pouco mais direto que 𝑓 de um mais ℎ. Simplesmente substituímos 𝑥 por um. E temos quatro vezes um quadrado mais três vezes um mais dois. E isto é igual a nove. Agora estamos prontos para substituir tudo na fórmula da taxa média de variação. Temos 𝑓 de um mais ℎ menos 𝑓 de um e está tudo sobre ℎ. Bem, nove menos nove é zero e, a seguir, podemos dividir por ℎ. E simplifica muito bem para quatro ℎ mais 11. E assim, a função da taxa média de variação 𝐴 de ℎ para 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais dois em 𝑥 igual a um é quatro ℎ mais 11.

Agora, o que é que isto realmente nos diz? Bem, vamos voltar ao nosso gráfico. Dado qualquer outro ponto do gráfico, podemos calcular o declive da reta secante entre esse ponto e o ponto em 𝑥 igual a um. E isso, por sua vez, diz-nos a taxa média de variação da função. Agora, embora tenhamos utilizado uma fórmula, podemos definir a função da taxa média de variação para um dado 𝑓 de 𝑥 como sendo 𝑓 de 𝑥 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 tudo sobre ℎ. E se a utilizarmos, esta dar-nos-á uma função que podemos utilizar para qualquer 𝑥 e ℎ. Vamos agora considerar um exemplo que nos levará a calcular a taxa média de variação num determinado intervalo.

Calcule a taxa média de variação de 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de dois 𝑥 menos um quando 𝑥 varia de cinco para 5.62.

Lembre-se, a taxa média de variação de uma função 𝑓 de 𝑥 quando varia de 𝑥 igual a 𝑎 para 𝑥 igual a 𝑎 mais ℎ é 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 tudo sobre ℎ. Nesta questão, somos informados de que 𝑓 de 𝑥 é a raiz quadrada de dois 𝑥 menos um e que 𝑥 varia de cinco para 5.62. Então, seja 𝑎 igual a cinco e ℎ é a quantidade em que varia 𝑥. Então, é 5.62 menos cinco, que é 0.62. Depois de definirmos tudo isto, resta apenas substituir cada valor na nossa fórmula. Precisamos de 𝐴 de ℎ, que é 𝐴 de 0.62. É a taxa média de variação da nossa função, já que 𝑥 varia em 0.62. E isso é, obviamente, igual a 𝑓 de cinco mais 0.62 menos 𝑓 de cinco tudo sobre 0.62. Vamos simplificar isto para 𝑓 de 5.62 menos 𝑓 de cinco sobre 0.62.

Claramente, precisamos de calcular 𝑓 de 5.62 e 𝑓 de 5. Portanto, 𝑓 de 5.62 é determinado substituindo 𝑥 por 5.62. Portanto, é a raiz quadrada de dois vezes 5.62 menos um. Esta é a raiz quadrada de 10.24, que é igual a 3.2. 𝑓 de cinco é a raiz quadrada de dois vezes cinco menos um, que é a raiz quadrada de nove, que sabemos ser igual a três. 𝐴 de 0.62 é, portanto, 3.2 menos três sobre 0.62, que é 10 sobre 31. Como 𝑥 varia de cinco a 5.62, a taxa média de variação da própria função, a função 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de dois 𝑥 menos um, é 10 sobre 31.

Agora, o que é ótimo nesta fórmula é que ela também funciona muito bem para aplicações à vida real, principalmente na física e especificamente no movimento. Podemos aplicar a fórmula a uma função deslocamento para nos ajudar a determinar a taxa média de variação do deslocamento, por exemplo, que acaba por nos dar a função velocidade. Também podemos utilizá-la em problemas geométricos, como veremos agora.

Uma lâmina com forma de um triângulo equilátero dilata-se enquanto mantém a sua forma. Determine a taxa média de variação da sua área quando as suas arestas mudarem de 12 centímetros para 14 centímetros.

Nesta questão, procuramos determinar a taxa média de variação da área do triângulo equilátero. Agora, para uma função 𝑓 de 𝑥 que varia de 𝑥 igual a 𝑎 a 𝑥 igual a 𝑎 mais ℎ, a taxa média de variação é dada por 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 sobre ℎ. Mas o que é 𝑓 de 𝑥 aqui? Bem, lembre-se, estamos interessados ​​na taxa de variação da área. Então, precisamos de uma função que descreva a área do nosso triângulo. Então, vamos esboçar o triângulo. Podemos definir o comprimento lateral de 𝑥 ou 𝑥 centímetros. Esta é a nossa variável. Sabemos que o triângulo é equilátero, então os seus ângulos interiores são todos de 60 graus. E então, podemos utilizar a fórmula: a área de um triângulo é um meio 𝑎𝑏 sen 𝐶. E a seguir, neste caso, a função da área será um meio vezes 𝑥 vezes 𝑥 vezes sen 60.

Bem, sabemos que o sen de 60 graus é igual à raiz quadrada de três sobre dois. Então, isto fica a raiz quadrada de três sobre quatro vezes 𝑥 ao quadrado. Disseram-nos que o comprimento da aresta muda de 12 centímetros para 14 centímetros. Então, seja 𝑎 igual a 12 e, em seguida, ℎ é a quantidade em que 𝑥 varia; é 14 menos 12, o que é igual a dois. E assim, agora podemos substituir tudo o que temos na nossa fórmula pela taxa de variação. É 𝐴 de ℎ, então aqui é 𝐴 de dois e, é claro, isto será igual a 𝑓 de 12 mais dois menos 𝑓 de 12 tudo sobre dois. Simplificamos 𝑓 de 12 mais dois para 𝑓 de 14.

E agora precisamos de calcular 𝑓 de 14 menos 𝑓 de 12. É a raiz quadrada de três sobre quatro vezes 14 ao quadrado menos a raiz quadrada de três sobre quatro vezes 12 ao quadrado. Estes valores são obtidos simplesmente substituindo 𝑥 igual a 14 e 𝑥 igual a 12 na nossa função. Fatorizamos a raiz de três sobre quatro e depois a dividimos por dois para obter a raiz de três sobre oito. 14 ao quadrado é 196 e 12 ao quadrado é 144. E assim, isto fica raiz de três sobre oito vezes 52. E, em seguida, simplificamos dividindo por quatro para nos dar 13 raiz de três sobre dois. E assim, a taxa média de variação da sua área é de 13 raiz de três sobre dois. E podemos dizer que é 13 raiz de três sobre dois centímetros ao quadrado por centímetro.

Agora, veremos o inverso deste processo.

A taxa média de variação de 𝑓 quando 𝑥 varia de dois para 2.6 é menos 1.67. Se 𝑓 de dois é igual a menos 13, quanto é 𝑓 de 2.6?

Lembre-se, a taxa média de variação de uma função 𝑓 quando 𝑥 varia de 𝑎 para 𝑎 mais ℎ é dada por 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 sobre ℎ. Agora, nesta questão, na verdade não sabemos quanto é 𝑓 de 𝑥. Mas vemos que 𝑥 varia de dois para 2.6. Então, seja 𝑎 igual a dois. E a seguir, ℎ é a quantidade em que 𝑥 varia. É 2.6 menos dois, que é 0.6. Queremos determinar a função da taxa média de variação, que é 𝐴 de ℎ, que é 𝐴 de 0.6. E assim, de acordo com a nossa fórmula, é 𝑓 de dois mais 0.6 menos 𝑓 de dois sobre 0.6. Isto simplifica para 𝑓 de 2.6 menos 𝑓 de dois sobre 0.6.

Disseram-nos, no entanto, que isto é igual a menos 1.67 e também que 𝑓 de dois é igual a menos 13. Portanto, descobrimos que menos 1.67 deve ser igual a 𝑓 de 2.6 menos menos 13 sobre 0.6. Para determinar 𝑓 de 2.6 como esta questão nos está a pedir, precisamos de resolver esta equação em ordem a 𝑓 de 2.6. Começaremos por multiplicar por 0.6. E isso dar-nos-á menos 1.002 à esquerda. E, à direita, ficamos com 𝑓 de 2.6 menos menos 13, o que é, obviamente, 𝑓 de 2.6 mais 13. Em seguida, subtraímos 13 de ambos os membros e descobrimos que 𝑓 de 2.6 é menos 14.002. Arredondado às unidades, 𝑓 de 2.6 é menos 14.

Agora, gostaria de voltar ao nosso diagrama original. Gostaria que pensássemos no que acontece à medida que ℎ diminui. À medida que ℎ diminui, o declive da reta secante se aproxima do declive da curva no ponto 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Isso significa que, em vez de determinar a taxa média de variação num determinado intervalo, na verdade estamos a determinar a taxa de variação nesse exato ponto. Chamamos isto de taxa instantânea de variação da função. E como esta é determinada ao considerar que ℎ diminua, definimos como igual ao limite quando ℎ tende para zero da taxa média de variação. Dizemos que a taxa instantânea de variação de uma função 𝑓 de 𝑥 num ponto 𝑥 igual a 𝑎 é o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 tudo ℎ. Vamos agora ver como isso pode funcionar.

Determine a taxa instantânea de variação de 𝑓 de 𝑥 igual à raiz quadrada de 𝑥 em 𝑥 igual a 𝑥 um, que é maior que zero.

Lembre-se, a taxa instantânea de variação de uma função 𝑓 de 𝑥 num ponto 𝑥 igual a 𝑎 é determinada considerando-se o limite quando ℎ tende para zero da função da taxa média de variação. Este é o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 tudo ℎ. Neste caso, sabemos que 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 e queremos determinar a taxa instantânea de variação em 𝑥 igual a 𝑥 um. Então, seja 𝑎 igual a 𝑥 um. Vamos substituir o que sabemos na nossa fórmula. Queremos calcular o limite quando ℎ tende para zero de 𝑓 de 𝑥 um mais ℎ menos 𝑓 de 𝑥 um tudo sobre ℎ. Precisamos de determinar o limite quando ℎ tende para zero da raiz quadrada de 𝑥 um mais ℎ menos a raiz quadrada de 𝑥 um tudo sobre ℎ.

Agora, não podemos fazer isso com substituição direta. Se o fizermos, acabamos dividindo por zero e sabemos que isso é indefinido. E depois, multiplicamos o numerador e o denominador da função pelo conjugado do numerador, pela raiz quadrada de 𝑥 mais um mais ℎ mais a raiz quadrada de 𝑥 um. No denominador, simplesmente temos ℎ vezes a raiz quadrada de 𝑥 um mais ℎ mais a raiz quadrada de 𝑥 um. Então, no numerador, temos a raiz quadrada de 𝑥 um mais ℎ vezes a raiz quadrada de 𝑥 um mais ℎ, que é simplesmente 𝑥 um mais ℎ. Em seguida, multiplicamos a raiz quadrada de 𝑥 um mais ℎ pela raiz quadrada de 𝑥 e menos a raiz quadrada de 𝑥 um vezes a raiz quadrada de 𝑥 um mais ℎ. Quando encontramos a sua soma, obtemos zero.

Então, tudo o que resta a fazer é multiplicar menos raiz quadrada de 𝑥 um pela raiz quadrada de 𝑥 um. E obtemos simplesmente 𝑥 um. 𝑥 um menos 𝑥 um é zero. E então, dividimos por ℎ. E assim, isto fica o limite quando ℎ tende para zero de um sobre a raiz quadrada de 𝑥 um mais ℎ mais a raiz quadrada de 𝑥 um. E agora podemos calcular isto quando ℎ tende para zero. Ficamos com um sobre a raiz quadrada de 𝑥 um mais a raiz quadrada de 𝑥 um, que é um sobre dois vezes a raiz quadrada de 𝑥 um. A função da taxa de variação instantânea de 𝑓 de 𝑥 é igual à raiz quadrada de 𝑥 é, portanto, um sobre dois vezes a raiz quadrada de 𝑥 um.

Neste vídeo, aprendemos que a taxa média de variação de uma função 𝑓 de 𝑥 num intervalo entre dois pontos dados por 𝑎, 𝑓 de 𝑎 e 𝑎 mais ℎ, 𝑓 de 𝑎 mais ℎ é o declive da reta secante que une esses dois pontos. Geralmente, definimos isto como 𝐴 de ℎ e é dado por 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 tudo ℎ. Também vimos que a taxa instantânea de variação de uma função é determinada quando ℎ tende para zero. É o limite quando ℎ tende para zero de 𝐴 de ℎ, de 𝑓 de 𝑎 mais ℎ menos 𝑓 de 𝑎 tudo ℎ.