Vídeo: Utilizando a Lei dos Senos Para Calcular um Comprimento Desconhecido

Na figura apresentada, 𝐵𝐶 = 11, 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 44° e 𝑚∠𝐵𝐴𝐶 = 100°. Determine o comprimento de 𝐴𝐵. Apresente a resposta com duas casas decimais.

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Transcrição do vídeo

Para a figura dada, 𝐵𝐶 é 11, a amplitude do ângulo 𝐴𝐶𝐵 é de 44 graus e a medida do ângulo 𝐵𝐴𝐶 é de 100 graus. Determine o comprimento de 𝐴𝐵. Apresente a resposta com duas casas decimais.

Vamos colocar as informações do enunciado da questão no diagrama. É-nos dito que 𝐵𝐶 é 11, a amplitude do ângulo 𝐴𝐶𝐵 é de 44 graus e a amplitude do ângulo 𝐵𝐴𝐶 é de 100 graus. É-nos pedido o comprimento de 𝐴𝐵 que vou chamar de 𝑐. Podemos resolver esta questão utilizando a lei dos senos que diz que para qualquer triângulo 𝐴𝐵𝐶 — onde o comprimento do lado oposto ao vértice 𝐴 é 𝑎 minúsculo, o comprimento do lado oposto ao vértice 𝐵 é 𝑏 minúsculo e o comprimento do lado oposto ao vértice 𝐶 é 𝑐 minúscula — temos que o seno da amplitude do ângulo no vértice 𝐴, ou apenas seno de 𝐴 maiúsculo para abreviar, dividido por 𝑎 minúsculo é igual ao seno de 𝐵 maiúsculo dividido por 𝑏 minúsculo que é igual ao sen de 𝐶 maiúsculo dividido por 𝑐 minúsculo.

Assim, para todos os três vértices, o seno da amplitude do ângulo no vértice dividido pelo comprimento do lado oposto ao vértice é o mesmo. E o mesmo é verdade para o inverso 𝑎 sobre o sen 𝐴 é igual a 𝑏 sobre o sen 𝐵 é igual a 𝑐 sobre o sen 𝐶. Pode obter esta versão da lei dos senos reorganizando simplesmente a versão anterior.

Então, que informação nos foi dada na questão? Bem, temos o valor de 𝐴 grande ou 𝐴 maiúsculo e 𝑎 pequeno, o 𝑎 minúsculo. Então, esta é a amplitude do ângulo no vértice 𝐴, assim como o comprimento do lado oposto ao vértice 𝐴. Temos o valor de 𝐶 grande e é-nos pedido determinar o valor de 𝑐 pequeno. Assim, a forma da lei dos senos que queremos é 𝑐 sobre sen 𝐶 é igual a 𝑎 sobre o sen 𝐴.

Substituímos os valores que temos do nosso diagrama. Sabemos que o valor de 𝐶 grande é de 44 graus, o valor de 𝑎 pequeno é ​​11 e o valor de 𝐴 grande é de 100 graus. Multiplicando ambos os membros pelo seno de 44 graus, obtemos 𝑐 igual a sen 44 graus vezes 11 sobre sen 100 graus. E colocando isto nas nossas calculadoras, certificando-nos primeiro que estamos no modo grau, obtemos 𝑐 igual a 7.759 reticências, as casas decimais continuam.

E assim, a duas casas decimais, conforme pedido, o valor de 𝑐, que obviamente era o comprimento do lado 𝑎𝑏, é de 7.76.

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