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Vídeo: Realizando Aritmética com Números Complexos

Aprenda como adicionar, subtrair e multiplicar números complexos, lidando com as partes real e imaginária separadamente com adição e subtração e combinando-as conforme necessário com a multiplicação. Além disso, aprenda a usar o fato de que 𝑖² = −1 para simplificar o resultado.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver como realizar aritmética com números complexos. Então, vamos ver como adicionar, subtrair e multiplicar números complexos. A divisão de números complexos será feita como parte de outro vídeo.

Então, vamos começar analisando a adição de números complexos. E a pergunta que eu tenho na tela aqui, eu quero somar o número complexo dois mais quatro 𝑖 e o número complexo três mais sete 𝑖. Agora, antes de fazermos isso, apenas um rápido lembrete sobre a estrutura de um número complexo, um número complexo é composto de uma parte real e uma parte imaginária. E se eu olhar para este primeiro número complexo, dois mais quatro 𝑖, então a parte real deste número complexo é dois, e a parte imaginária do número complexo é o mais quatro 𝑖. Portanto, somar esses dois números complexos é realmente muito simples. E o que temos que lembrar é que só precisamos lidar com as partes real e imaginária separadamente. Então, primeiro de tudo, se eu olhar para as partes reais, então eu tenho dois para o primeiro número complexo, e estou adicionando isso a três para o segundo número complexo, dando-me uma parte real geral de cinco. Agora, se eu olhar para as partes imaginárias, tenho quatro positivo 𝑖 - o primeiro número complexo e sete positivo 𝑖 - o segundo. E se eu adicionar os dois, isso me dá uma parte imaginária geral de mais onze 𝑖. Portanto, a resposta a essa soma é cinco mais onze 𝑖.

Agora, vamos considerar um exemplo de como subtrair dois números complexos e funciona exatamente da mesma maneira que com a adição. Então, a pergunta que eu quero fazer é, cinco mais seis 𝑖, e então eu estou subtraindo o número complexo três menos dois 𝑖. Então, exatamente da mesma maneira que fizemos com a adição, primeiro olhe para as partes reais. Então, para o primeiro número complexo, eu tenho cinco e, no segundo, eu tenho três, então estou apenas fazendo cinco menos três, o que me dá dois como a parte real desse número complexo. Agora, se eu olhar para a parte imaginária, tenho seis positivo 𝑖, e então estou subtraindo dois negativo 𝑖. Então, se eu estou subtraindo dois negativos 𝑖, eu irei adicionar dois 𝑖 no geral, me dando uma parte imaginária de oito positivo 𝑖. Assim, lidar com as partes real e imaginária do número complexo separadamente me dá um resultado de dois mais oito 𝑖 para essa subtração.

Agora vamos ver uma questão um pouco mais complicada. Então, o que tenho aqui são dois números complexos a serem somados, mas ambos envolvem parênteses. Então, o primeiro é dois vezes um mais três 𝑖 e depois estou adicionando a quatro vezes dois negativos mais seis 𝑖. Então, o primeiro passo aqui é que eu só preciso expandir os parênteses. Então, se eu fizer isso com cuidado, terei dois mais seis 𝑖 para o primeiro número complexo, e então terei oito negativos mais vinte e quatro 𝑖 para aquele segundo. Quando eu expandi os parênteses, o quatro e menos dois fazem um menos oito lá.

Tendo expandido os parênteses, agora só preciso agrupar as partes real e imaginária, como fizemos nos exemplos anteriores. Então, se eu olhar para as partes reais, eu tenho dois e menos oito, dando uma parte real de menos seis. E se eu olhar para as partes imaginárias, seis 𝑖 mais vinte e quatro 𝑖, tenho uma parte geral imaginária de trinta 𝑖, dando um resultado global de menos seis mais trinta 𝑖. Então, o que fizemos lá, apenas para lembrá-lo, expandimos os parênteses primeiro e depois agrupamos os termos real e imaginário como fizemos nos exemplos anteriores.

Agora, vamos ver um exemplo de como multiplicar dois números complexos. Então, vamos ver como multiplicar quatro mais dois 𝑖 pelo número complexo um mais três 𝑖. Agora, quando fizermos isso, precisaremos usar um fato essencial que é absolutamente fundamental para números complexos, e é o fato de que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Então eu escrevi isso no lado direito da tela em uma caixa vermelha. Preciso me referir a isso durante o nosso exercício.

Então, o primeiro passo é simplesmente expandir esse par de parênteses, e há vários métodos diferentes que você pode usar para isso. Algumas pessoas usam o acrônimo “peiu”, que significa primeiro, externo, interno e último para lembrá-los de todos os diferentes pares. Cabe a você como você faz isso, mas só precisa se certificar de multiplicar todos os termos no primeiro parêntese por cada termo no segundo parêntese.

Então foi o que eu fiz aqui. Expandi os parênteses e tenho quatro termos: quatro mais doze 𝑖 mais dois 𝑖 mais seis 𝑖 ao quadrado. Agora, pensando no fato-chave de que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, isso significa que eu poderei simplificar esse último termo aqui. Porque se 𝑖 ao quadrado é igual a menos um, então seis 𝑖 ao quadrado deve ser igual a menos seis. Então eu posso substituir o último termo por menos seis, então eu vou ter quatro mais doze 𝑖 mais dois 𝑖. E agora vou ter menos seis. Agora só se torna um caso de agrupar os resultados. Assim como fizemos nos exemplos anteriores, agrupamos as partes real e imaginária, então partes reais quatro tiram seis, eu acabarei com menos dois. E doze 𝑖 mais dois 𝑖, eu vou ter catorze 𝑖 total, dando-me um resultado final de menos dois mais catorze 𝑖 para esta multiplicação.

Então, apenas um lembrete do que fizemos. Primeiro, nós expandimos os parênteses usando qualquer método que você se sinta confortável, então você se lembra deste fato chave que 𝑖 ao quadrado é igual a menos um e usa isso para simplificar o termo final. E finalmente, combinamos as partes reais e combinamos as partes imaginárias para dar um resultado geral para essa multiplicação.

Uma última maneira em que você pode usar multiplicação com números complexos é se você está elevando um número complexo ao quadrado. Então, um exemplo, podemos ver que temos um número complexo três mais 𝑖 e queremos elevar isso ao quadrado. Agora, ao elevar um número complexo ao quadrado ou, na verdade, qualquer expressão com dois termos, a melhor maneira de fazer isso é escrever os parênteses duas vezes. Então, lembre-se de que você não está apenas elevando os termos individuais ao quadrado, mas na verdade está expandindo um par de parênteses. Então, três mais 𝑖 ao quadrado é equivalente a três mais 𝑖 multiplicado por três mais 𝑖 novamente.

Agora posso aplicar exatamente o mesmo método que falamos no exemplo anterior. Então eu posso expandir esses parênteses para me dar quatro termos. E lá estão eles, nove mais três 𝑖 mais três 𝑖 mais 𝑖 ao quadrado. Então eu preciso lembrar que esse 𝑖 ao quadrado pode ser simplificado para menos um, usando aquele resultado chave para números complexos. Então, substituindo 𝑖 ao quadrado por menos um, agora tenho nove mais três 𝑖 mais três 𝑖 menos um. E então eu posso apenas agrupar as partes reais e as partes imaginárias como nos exemplos anteriores, dando-me um resultado final de oito mais seis 𝑖 para essa multiplicação.

Então, o passo fundamental para lembrar foi nesta fase aqui onde eu escrevi os parênteses duas vezes, a fim de me certificar de que eu lembrava que eu precisava multiplicar tudo no primeiro parêntesis por tudo no segundo parêntesis. Então você tem isso. Há um resumo de como podemos fazer aritmética com números complexos. Analisamos como adicionar, subtrair e multiplicar. A divisão de números complexos será feita em outro vídeo.