Vídeo: Taxas Relacionadas

Neste vídeo, aprenderemos como usar derivativos para encontrar a relação entre as taxas de duas ou mais quantidades nos problemas de taxas relacionadas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como podemos usar derivadas para encontrar a relação entre taxas de duas ou mais quantidades em problemas com taxas relacionadas. Em problemas de taxas relacionadas, a ideia é calcular a taxa de variação de uma quantidade em termos da taxa de variação de outra quantidade, que às vezes é mais facilmente medida.

Veremos como usar a derivação e as várias regras de derivação para conseguir isso antes de considerar como essas técnicas podem nos ajudar em exemplos mais complicados. Portanto, é importante que você tenha um bom entendimento das regras de derivação antes de assistir a este vídeo. Para problemas de taxas relacionadas, geralmente é melhor ir direto para um problema e ver como tudo funciona.

O raio de um círculo está aumentando a uma taxa de três milímetros por segundo. Encontre a taxa de variação da área do círculo quando o raio do círculo for 15 milímetros.

A primeira coisa que sempre devemos fazer nas perguntas de taxas relacionadas é identificar quais informações recebemos e o que estamos tentando encontrar. Dizem-nos que o raio do círculo aumenta a uma taxa de três milímetros por segundo. Sabemos que a taxa de variação é essencialmente a derivada de alguma função em relação ao tempo. Então, podemos dizer que d𝑟 por d𝑡, a derivada do nosso raio em relação ao tempo, é igual a três.

Nos pedem para encontrar a taxa de variação da área do círculo. Essa é a derivada da área em relação ao tempo. É d𝐴 por d𝑡. E, especificamente, queremos encontrar a taxa de variação da área do círculo quando o raio é igual a 15, quando 𝑟 é igual a 15. Então, como vinculamos essas três informações?

Aqui, temos que nos aprofundar nos recessos do nosso cérebro e relembrar a fórmula para a área de um círculo. É 𝜋 vezes o raio ao quadrado. Portanto, a derivada de 𝐴 em relação ao tempo é a mesma que a derivada de 𝜋𝑟 ao quadrado em relação ao tempo. Agora não podemos derivar 𝜋𝑟 ao quadrado em relação ao tempo usando as regras usuais para derivar um polinômio. Mas sabemos que o raio é essencialmente uma função no tempo. Então, na verdade, vemos que precisamos derivar uma função de uma função ou uma função composta. E usaremos a regra da cadeia para fazer isso.

A regra da cadeia diz que se 𝑦 é uma função em 𝑢 e 𝑢 é uma função em 𝑥, então d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 vezes d𝑢 por d𝑥. Podemos mudar um pouco isso e dizer que, bem, a derivada de nossa área em relação ao tempo pode ser encontrada multiplicando d𝐴 por d𝑟, a derivada da área em relação ao seu raio, pela derivada do raio em relação a tempo, d𝑟 por d𝑡.

Vimos que 𝐴 é igual a 𝜋𝑟 ao quadrado. Então, podemos dizer que a derivada de 𝐴 em relação a 𝑟 é duas vezes 𝜋𝑟. São dois 𝜋𝑟. Também vimos que a derivada de nosso raio em relação ao tempo, d𝑟 por d𝑡, é três. Então, podemos dizer que d𝐴 por d𝑡 é igual a dois 𝜋𝑟 vezes três. E você pode ver que encontramos uma fórmula para a taxa de variação da área do círculo em termos de 𝑟.

Simplificamos e vemos que d𝐴 por d𝑡 é igual a seis 𝜋𝑟. E há uma informação que ainda não usamos. Estávamos tentando encontrar a taxa de variação da área do círculo quando o raio era igual a 15. Então, vamos substituir 𝑟 igual a 15 na fórmula que criamos. Isso nos dá seis vezes 𝜋 vezes 15, que é igual a 90𝜋.

E é sensato recorrer à pergunta ao pensar em nossas unidades. O raio estava claramente em milímetros e o tempo em segundos, então nossa área será em milímetros quadrados. E a taxa de variação da área do círculo, quando o raio é igual a 15 milímetros, é de 90𝜋 milímetros quadrados por segundo. Neste exemplo, vimos como a regra da cadeia pode nos ajudar a responder a problemas com taxas relacionadas. Vamos agora considerar outro exemplo desse tipo.

Um balão esférico vaza hélio a uma taxa de 48 centímetros cúbicos por segundo. Qual é a taxa de variação de sua área de superfície quando seu raio é de 41 centímetros?

A primeira coisa que devemos fazer em questões com taxas relacionadas, como essa, é identificar quais informações recebemos e o que estamos tentando encontrar. Nos disseram que o balão tem a forma de uma esfera. E está vazando hélio a uma taxa de 48 centímetros cúbicos por segundo. Agora, outra maneira de pensar sobre isso é que o volume do balão está diminuindo a uma taxa de 48 centímetros cúbicos por segundo.

Isso nos diz duas coisas. Primeiro, o volume é uma função do tempo e a taxa de variação, que é simplesmente a derivada em relação a 𝑡, é menos 48. E é negativa porque o balão está vazando, o volume está diminuindo. Portanto, podemos dizer que d𝑣 por d𝑡 é igual a menos 48. Estamos tentando encontrar a taxa de variação da área da superfície. Vamos chamar de 𝐴. E estamos tentando encontrar a derivada de nossa área em relação ao tempo.

Também sabemos que há um ponto em que o raio do balão é igual a 41 centímetros. Agora, será sensato configurar uma equação para a área da superfície da nossa esfera. A fórmula padrão para a área de superfície de uma esfera com raio 𝑟 é quatro 𝜋𝑟 ao quadrado. Portanto, a derivada de 𝐴 em relação ao tempo é igual à derivada de quatro 𝜋𝑟 ao quadrado em relação ao tempo. 𝐴 é uma função em 𝑟. Mas, na verdade, sabemos que o raio será uma função em 𝑡.

E isso significa que, para derivar 𝐴 em relação ao tempo, usaremos a regra da cadeia. Isto diz que se 𝑦 é uma função em 𝑢 e 𝑢 é uma função em 𝑥, então d𝑦 por d𝑥 é igual a d𝑦 por d𝑢 vezes d𝑢 por d𝑥. Vamos mudar isso um pouco para corresponder à nossa pergunta. E vemos que d𝐴 por d𝑡 deve ser igual a d𝐴 por d𝑟, a derivada da área em relação ao raio, multiplicada por d𝑟 por d𝑡, que é a derivada de 𝑟 em relação a 𝑡.

A área da superfície da esfera é de quatro 𝜋𝑟 ao quadrado. Portanto, podemos derivar 𝐴 em relação a 𝑟 como duas vezes quatro 𝜋𝑟, que é oito 𝜋𝑟. Mas e d𝑟 por d𝑡? Na verdade, não recebemos um valor de d𝑟 por d𝑡. Então, vamos usar d𝑣 por d𝑡 para nos ajudar. Também usaremos o fato de o volume da esfera com um raio 𝑟 é quatro terços 𝜋𝑟 ao cubo. Portanto, podemos dizer que a derivada de quatro terços de 𝜋𝑟 ao cubo em relação a 𝑡 é igual a menos 48.

A regra da constante nos diz que podemos tirar o múltiplo de quatro terços fora da derivada e focar na derivação da própria função. Portanto, temos quatro terços vezes a derivada de 𝑟 ao cubo em relação a 𝑡 é igual a menos 48. Dividimos então por quatro terços e vemos que d por d𝑡 de 𝑟 ao cubo é menos 36. Mas precisamos de d𝑟 por d𝑡 não d de 𝑟 ao cubo por d𝑡.

Mas como 𝑟 é uma função de 𝑡, também podemos usar a regra da cadeia aqui. Desta vez, podemos dizer que a derivada de 𝑟 ao cubo em relação a 𝑡 é igual à derivada de 𝑟 ao cubo em relação a 𝑟 vezes a derivada de 𝑟 em relação a 𝑡. E vemos que a derivada de 𝑟 ao cubo em relação a 𝑟 é três 𝑟 ao quadrado. Portanto, temos três 𝑟 ao quadrado vezes d𝑟 por d𝑡 igual a menos 36.

Podemos dividir os dois lados desta equação por três 𝑟 ao quadrado. E agora temos d𝑟 por d𝑡. São menos 12 sobre 𝑟 ao quadrado. Vamos substituir isso de volta em nossa expressão d𝐴 por d𝑡. E temos oito 𝜋𝑟 vezes menos 12 sobre 𝑟 ao quadrado. Podemos simplificar por esse fator comum de 𝑟. E agora podemos ver que d𝐴 por d𝑡, a fórmula para a taxa de variação da área de superfície em relação ao tempo, é dada como menos 96𝜋 sobre 𝑟.

Agora podemos calcular isso no ponto em que o raio do nosso balão é igual a 41 centímetros. Isso é menos 96𝜋 sobre 41. E como essa é a taxa de variação da área da superfície e, nesse caso, a área da superfície será medida em centímetros quadrados, nossa resposta é menos 96𝜋 sobre 41 centímetros quadrados por segundo. Neste exemplo, precisamos aplicar a regra da cadeia duas vezes. Em nosso próximo exemplo, veremos como as outras regras de derivação podem nos ajudar com problemas de taxas relacionadas.

O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de 15 centímetros por segundo e sua largura a uma taxa de 13 centímetros por segundo. Determine a taxa na qual a área do retângulo aumenta quando o comprimento do retângulo é de 25 centímetros e sua largura é de 12 centímetros.

Lembre-se de que devemos sempre tentar identificar quais informações recebemos e quais são solicitadas a encontrar. Sabemos que o comprimento do retângulo está aumentando a uma taxa de 15 centímetros por segundo. Isso nos diz duas coisas. Em primeiro lugar, o comprimento é uma função do tempo. Também nos diz que a taxa de variação, que é simplesmente a derivada em relação ao tempo, é 15. Portanto, podemos dizer que d𝑙, onde 𝑙 é o comprimento, por d𝑡 é igual a 15.

Da mesma forma, somos informados de que a largura do retângulo está aumentando a uma taxa de 13 centímetros por segundo. Portanto, a largura também é uma função do tempo. E como a taxa de variação é a derivada em relação ao tempo, d𝑤, onde 𝑤 é a largura, por d𝑡 é igual a 13.

Agora, procuramos encontrar a taxa em que a área está aumentando. Então, usamos duas informações. Primeiramente, sabemos que a área de um retângulo é dada por sua largura multiplicada pelo seu comprimento. Mas estamos tentando encontrar a taxa de variação da área, que é d𝐴 por d𝑡. Digamos que a área seja 𝑤𝑙, largura vezes o comprimento, então podemos dizer que d𝐴 por d𝑡 é a derivada de 𝑤 vezes 𝑙 em relação ao tempo.

Estamos tentando encontrar a derivada de um produto de duas funções de 𝑡. Portanto, podemos usar a regra do produto para calcular a taxa de variação da área do nosso retângulo. Isto diz que se 𝑢 e 𝑣 são funções deriváveis, então a derivada de 𝑢 vezes 𝑣 em relação a 𝑥 é igual a 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥. E o que isso significa para a derivada da área em relação ao tempo?

Bem, podemos dizer que é 𝑤 vezes d𝑙 por d𝑡 mais 𝑙 vezes d𝑤 por d𝑡. E, na verdade, temos todas essas coisas. Queremos encontrar a taxa na qual a área do retângulo aumenta quando sua largura é 12. Então, 𝑤 vezes d𝑙 por d𝑡 é 12 vezes 15. E queremos encontrar a taxa de variação da área quando o comprimento é 25. Assim, 𝑙 vezes d𝑤 por d𝑡 é 25 vezes 13. 12 multiplicado por 15 mais 25 multiplicado por 13 é 505.

Como a largura e o comprimento do retângulo são medidos em centímetros, e a taxa de variação dessas medidas é de centímetros por segundo, sabemos que a taxa na qual a área do retângulo aumenta quando o comprimento do retângulo é de 25 centímetros e sua largura é de 12 centímetros é de 505 centímetros quadrados por segundo. No próximo exemplo, veremos como a derivação implícita pode ser usada em problemas de taxas relacionadas.

Uma partícula está se movendo ao longo da curva seis 𝑦 ao quadrado mais dois 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais cinco 𝑦 menos 13 é igual a zero. Se a taxa de variação de sua coordenada 𝑥 em relação ao tempo, conforme ela passa pelo ponto menos um, três é dois, encontre a taxa de variação de sua coordenada 𝑦 em relação ao tempo no mesmo ponto.

Vamos dar uma olhada no que sabemos e o que estamos tentando descobrir. A equação seis 𝑦 ao quadrado mais dois 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais cinco 𝑦 menos 13 é igual a zero descreve o movimento da partícula. Disseram-nos que a taxa de variação de sua coordenada 𝑥 é dois, então 𝑥 é uma função no tempo. E sabemos que 𝑦 em si é uma função de 𝑥. Então, usaremos a derivação implícita para derivar toda a equação em relação a 𝑡.

Agora, é claro, derivamos os dois lados em relação ao tempo, mas a derivada de zero é zero. Portanto, temos d por d𝑡 de seis 𝑦 ao quadrado mais dois 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais cinco 𝑦 menos 13 é igual a zero. Nesta fase, pode ser sensato separar a derivada. E então, usamos derivação implícita, que é essencialmente um caso especial da regra da cadeia, para derivar cada termo.

A derivada de seis 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑡 é igual à derivada de seis 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑦 vezes a derivada de 𝑦 em relação a 𝑡. Podemos derivar seis 𝑦 ao quadrado normalmente. São duas vezes seis 𝑦, que é 12 𝑦. Em seguida, derivamos dois 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑡. Desta vez, é a derivada de dois 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 vezes a derivada de 𝑥 em relação a 𝑡. A derivada de dois 𝑥 ao quadrado é duas vezes dois 𝑥, que é quatro 𝑥. Assim, d por d𝑡 de dois 𝑥 ao quadrado é quatro 𝑥 vezes d𝑥 por d𝑡.

Repetiremos esse processo com a derivada de menos dois 𝑥 em relação a 𝑡. É a derivada de menos dois 𝑥 em relação a 𝑥. Isso é menos dois vezes d𝑥 por d𝑡. Vimos então que d por d𝑡 de cinco 𝑦 é cinco vezes d𝑦 por d𝑡. E isso porque a derivada de cinco 𝑦 em relação a 𝑦 é apenas cinco. E, é claro, a derivada do nossa constante menos 13 é zero. E agora podemos calcular.

Sabemos que a taxa de variação de sua coordenada 𝑥 em relação ao tempo é dois. Então, podemos dizer que d𝑥 por d𝑡 é igual a dois. Também sabemos que ele passa pelo ponto menos um, três, então definiremos 𝑥 para ser menos um e 𝑦 para ser igual a três. E nossa equação se torna 12 vezes três vezes d𝑦 por d𝑡 mais quatro vezes menos um vezes dois mais menos dois vezes dois mais cinco vezes d𝑦 por d𝑡.

Nós podemos simplificar. E terminamos com 41 d𝑦 por d𝑡 menos 12 igual a zero. E então, adicionamos 12 aos dois lados. Então, 41 d𝑦 por d𝑡 é igual a 12. E isso significa que d𝑦 por d𝑡 é igual a 12 sobre 41. E isso significa que a taxa de variação da coordenada 𝑦 em relação ao tempo em menos um, três é 12, 41.

Em nosso exemplo final, veremos como precisamos tomar cuidado ao considerar as unidades de uma pergunta e como a derivação nem sempre é nosso primeiro ponto de partida quando se trata de responder perguntas sobre taxas relacionadas.

Dado que um foguete de massa 26 toneladas métricas, está queimando combustível a uma taxa constante de 80 quilogramas por segundo, encontre a massa do foguete 25 segundos após a decolagem?

Vamos começar identificando o que sabemos e o que estamos tentando encontrar. Sabemos que o foguete está queimando combustível a uma taxa de 80 quilogramas por segundo. Em outras palavras, supondo que o foguete não esteja perdendo massa de nenhum outro lugar, o que é uma suposição segura, sabemos que o foguete está perdendo 80 quilogramas de sua massa por segundo. Também sabemos que o foguete inicialmente, ou seja, quando 𝑡 é igual a zero, tem uma massa de 26 toneladas métricas. Uma tonelada métrica é igual a 1000 quilogramas, portanto a massa inicial do foguete deve ser igual a 26000 quilogramas.

Para encontrar a massa total do foguete 25 segundos após a decolagem, podemos encontrar a quantidade total de combustível perdida nesse período. Sabemos que ele perde 80 quilogramas por segundo. Então, depois de 25 segundos, ele terá perdido 80 vezes 25 quilogramas. São 2000 quilogramas em 25 segundos. A nova massa do foguete após 25 segundos será, portanto, 26000 menos 2000. São 24000 quilogramas, ou seja, 24 toneladas métricas. E assim, a massa do foguete após 25 segundos é de 24 toneladas métricas.

Neste vídeo, vimos como podemos usar derivadas para encontrar a relação entre as taxas de duas ou mais quantidades nos problemas de taxas relacionadas. Vimos como podemos usar a regra da cadeia e outras regras de derivação para nos ajudar a resolver problemas de taxas relacionadas. Vimos que precisamos ter cuidado, pois as derivadas nem sempre são o método mais eficiente para responder a essas perguntas.

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