Vídeo: Calculando a Soma de uma Série Geométrica Infinita

Calcule ∑ (de 𝑟 = 8 a ∞) de (35/4) (−1/2)^(𝑟 − 1).

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Transcrição do vídeo

Calcule o ∑ de 𝑟 é igual a oito a ∞ de trinta e cinco quartos vezes menos um meio elevado a 𝑟 menos um.

Essa notação sigma pode ser usada para representar séries infinitas. Se a sequência vai ao infinito, continua sem fim; não para. O símbolo infinito é colocado acima do símbolo da soma para indicar que a série é infinita e o número na parte inferior é o que nós substituímos primeiro à nossa expressão. Então 𝑟 é igual a oito e depois qualquer número depois de oito, continuamos substituindo. Portanto, não estamos substituindo nenhum número menor que oito.

Então vamos pensar, por exemplo, se não foi ao infinito; digamos que foi para 10. Então vai de 𝑟 é igual a 8 até 𝑟 é igual a 10. Então podemos substituir oito, pegar um número, substituir nove, pegar um número e substituir 10, pegar um número e adicioná-los. E esse seria nosso somatório. Mas como isso vai para o infinito, não podemos simplesmente inserir vários números. Nós vamos ter que usar uma fórmula. A fórmula que precisaríamos usar seria 𝑎 sub um dividido por um menos 𝑟. 𝑎 sub um seria o primeiro termo que teríamos quando substituíssemos nosso primeiro 𝑟, que é 𝑟 igual a oito.

Então, sempre que inserirmos oito, descobriremos qual seria nosso primeiro termo, 𝑎 sub um. E então 𝑟 no denominador é diferente de 𝑟 igual a oito; que nos diz o primeiro número a ser substituído. Este 𝑟 está localizado aqui. Então vamos começar primeiro encontrando 𝑎 sub um. E faremos isso substituindo o primeiro número permitido a nós; isto é, oito. Trinta e cinco quartos vezes menos um meio elevado a oito menos um e oito menos um é sete. Portanto, precisamos tomar menos um meio elevado a sétima potência, o que significa que tomamos menos um a sétima potência e dois a sétima potência, o que resulta em menos um sobre 128.

E agora multiplicamos essas frações. E quando multiplicamos frações, multiplicamos os numeradores, o que dá menos 35, e multiplicamos os denominadores, que dá 512. Assim, podemos substituir menos 35 sobre 512 em 𝑎 sub um. E nós já sabemos o que 𝑟 deveria ser; é menos um meio. Então nós substituímos 𝑎 sub um e substituímos 𝑟. Assim, no denominador, um menos menos um meio significa que estamos adicionando um e um meio, que é um e meio, o que para ser escrito como uma fração imprópria, seria de três meios.

Agora, ao dividir as frações, nós realmente mudamos isso para multiplicação e multiplicamos pelo inverso do denominador. Então, invertemos o denominador. E antes de multiplicar, dois cabe em 512 256 vezes. Agora, podemos multiplicar porque nada mais simplifica. Então, o dois cabe em si uma vez, então menos 35 vezes um para o numerador, que é menos 35. E nosso denominador 256 vezes três seria 768. Portanto, essa seria nossa resposta final.

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