Vídeo: Retas Paralelas e Concorrentes

Aprende a reconhecer e a indicar o nome de pares de ângulos em retas paralelas: correspondentes, alternos-internos e externos e consecutivos interiores. Determina os ângulos em falta em imagens, incluindo questões em que é necessário estabelecer equações e resolvê-las.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver retas paralelas e concorrentes. Ou, mais especificamente, os ângulos criados e as relações entre eles.

Agora retas paralelas, lembre-se, são retas que nunca se cruzam, não importa o quão compridas sejam. Estão sempre exatamente à mesma distância uma da outra. Agora, uma reta concorrente é uma reta que interseta duas retas em dois pontos diferentes. Então, nestes diagramas de retas paralelas que eu tenho aqui, as retas verde e laranja que adicionei, são exemplos de retas concorrentes porque interseta as retas paralelas em dois lugares.

Agora esta reta concorrente cria oito ângulos. São estes oito ângulos aqui. E o que nos interessa são as relações que existem entre determinados pares de ângulos. Então, há quatro tipos diferentes de ângulos que vamos analisar. Vamos identificá-los e, em seguida, vamos ver a relação que existe entre eles.

O primeiro tipo de ângulos que estamos a ver chamam-se ângulos correspondentes. Agora, a maneira de reconhecê-los é que são ângulos que estão essencialmente no mesmo lugar, nos dois pontos em que a reta concorrente interseta as retas paralelas. Então, por exemplo, estes dois ângulos marcados a vermelho. Ambos estão acima das retas paralelas e à direita da concorrente. Da mesma forma, estes ângulos marcados a verde. Estão na mesma posição em ambos os lugares, onde a reta concorrente interseta as retas paralelas. Então, são outro par de ângulos correspondentes. Eu também poderia ter os dois ângulos marcados a azul, ou os dois ângulos marcados a laranja. Portanto, existem quatro pares de ângulos correspondentes no diagrama. Agora, o facto chave sobre isto é que os ângulos correspondentes são iguais entre si. Então, ambos os ângulos vermelhos são iguais, os ângulos azuis são iguais, e assim por diante. Então, os ângulos correspondentes são iguais, ou congruentes seria outra maneira de o dizer.

O segundo tipo de ângulos que vamos ver são os que chamamos de ângulos alternos-internos. Agora, ângulos alternos-internos são aqueles como estes aqui. Alternos significa que estão em lados opostos da reta concorrente e internos significa que estão dentro das retas paralelas. Então, outro exemplo disto seria o par que marquei a azul aqui. Agora, o facto chave sobre estes é que os ângulos alternos-internos também são iguais ou congruentes entre si. Então, este é o segundo tipo de ângulos. O terceiro tipo de ângulos que vamos ver são chamados de ângulos internos consecutivos.

Então, um exemplo destes seria estes dois ângulos aqui. Consecutivos significa que estão do mesmo lado da reta concorrente, é como um ao lado do outro. E internos novamente significa que estão dentro das retas paralelas. Mais uma vez, outro par de ângulos internos consecutivos será aquele que marquei a azul aqui. Então, o facto chave sobre estes, não são iguais entre si. De facto, podes ver que um é um ângulo agudo e outro é um ângulo obtuso, então certamente não são iguais. Mas são suplementares, o que significa que a soma destes dois ângulos é cento e oitenta graus. Então este é o terceiro tipo de ângulo. Os ângulos internos consecutivos são complementares entre si. O tipo final de ângulos que vamos ver aqui são os que se chamam de ângulos alternos-externos.

Então, talvez possas deduzir a partir do nome, o significado de alternos que estão em lados opostos da reta concorrente e externos, que significa que estão fora das retas paralelas. Então, este ângulo e este ângulo aqui seriam ângulos alternos-externos. Como alternativa, o par que eu marquei a azul também seria outro exemplo. Agora, o facto chave sobre estes é que também são um exemplo de ângulos que são iguais ou congruentes entre si. Então, este é o quarto tipo de ângulo que estamos a estudar.

Agora, precisas de te lembrar dos nomes específicos dos diferentes pares de ângulos. E também precisas de te lembrar se são congruentes ou se são complementares. Se estás sempre na luta para decidir se dois ângulos são congruentes ou complementares, repara no tipo de ângulos que são. Se ambos forem, por exemplo, ângulos agudos, serão congruentes. A mesma coisa, se ambos são ângulos obtusos. Considerando que, se um é obtuso e um agudo, bem, não podem ser iguais. Portanto, serão ângulos suplementares, neste contexto, se forem criados por uma reta concorrente que atravessa retas paralelas.

Então, vamos analisar a nossa primeira questão sobre isto. Temos um diagrama e somos solicitados determinar a medida do ângulo 𝐴, que está marcada no diagrama aqui. Temos o ângulo de cento e vinte graus mais acima.

Agora, existem muitas maneiras diferentes de responder a esta questão. Por isso, farei dois métodos diferentes, para que possamos ver algumas das diferentes rotas que podes seguir. Agora, olhando para os ângulos que estão marcados, os dois ângulos lá, não se enquadram em nenhuma das categorias que vimos anteriormente, o que significa que precisarei de duas etapas de trabalho, ou talvez mais, em vez de apenas uma, porque não posso referir-me a eles imediatamente como um tipo específico de ângulo.

Certo. Então, método um, vou pensar neste ângulo aqui, em primeiro lugar, para o qual vou atribuir a letra 𝐵. Agora, se olhares para o diagrama e te lembrares dos diferentes nomes que tínhamos para diferentes pares de ângulos antes, verás que este ângulo 𝐵 corresponde ao ângulo de cento e vinte graus, pois ambos estão na mesma posição, mas em dois lugares diferentes onde a reta concorrente interseta as retas paralelas. Então, se te lembras de antes, se dois ângulos são correspondentes, então são congruentes entre si, o que significa que a medida do ângulo 𝐵 deve ser de cento e vinte graus. Portanto, a primeira etapa do meu trabalho é escrever a medida do ângulo 𝐵 e explicar por que é este o caso.

Agora, para determinar o ângulo 𝐴, na verdade, não precisamos de factos sobre ângulos e retas paralelas. Só precisamos de factos mais básicos sobre ângulos em retas, que é que somam cento e oitenta graus, ou suplementares. Então, se eu sei que o ângulo 𝐵 é cento e vinte, posso calcular o ângulo 𝐴 subtraindo-o de cento e oitenta. Então tenho uma amplitude do ângulo 𝐴, cento e oitenta graus menos cento e vinte graus, que é sessenta graus. E o meu raciocínio para isto é que, a soma dos ângulos que formam uma reta.

Então, esta é uma abordagem que poderíamos tomar para resolver este ângulo. Outra abordagem pode ser trabalhar primeiro este ângulo, ou seja, este ângulo que chamarei de ângulo 𝐶. Agora o ângulo 𝐶 está numa posição especial em relação ao de cento e vinte graus. E, novamente, não é um facto sobre ângulos e retas paralelas. É um facto geral sobre ângulos, que é que o ângulo 𝐶 é verticalmente oposto a este ângulo. E quando dois ângulos são verticalmente opostos, são congruentes, o que significa que o ângulo 𝐶 também deve ser de cento e vinte graus.

Então, isto pode ser a primeira etapa do meu trabalho. Agora, se eu observar o ângulo 𝐶 e o ângulo 𝐴, verei que são um tipo específico de ângulo que identificámos no slide anterior. Estão dentro das retas paralelas e no mesmo lado da reta concorrente, então são ângulos internos consecutivos. Agora, se te recordares, o facto chave sobre ângulos internos consecutivos é que são complementares, isto é, somam cento e oitenta graus. Assim, poderíamos calcular a amplitude do ângulo 𝐴 subtraindo a amplitude do ângulo 𝐶 de cento e oitenta. Então, novamente, isto dá-nos sessenta graus para o ângulo 𝐴. E a razão, lembra-te que dissemos, é que são ângulos internos consecutivos.

Então, vês que os cálculos envolvidos são idênticos nestes dois métodos, mas o raciocínio é diferente dependendo de que ângulos tentamos descobrir primeiro. E há outras maneiras que poderia ter seguido também. Existem muitos métodos diferentes que poderias utilizar para responder a uma questão como esta.

OK. Na próxima questão, temos um diagrama, novamente, com retas paralelas e uma reta concorrente, e somos solicitados determinar o valor de 𝑥. E olhando para o diagrama, podemos ver que 𝑥 é utilizado para descrever a amplitude de dois destes ângulos aqui.

Então, não sabemos qual é o valor de 𝑥. Frequentemente, questões como esta envolvem o estabelecimento e a resolução de uma equação. E é exatamente isso que vamos fazer aqui. Em primeiro lugar, precisamos de identificar o tipo de ângulos que temos. Então, olhando atentamente para o diagrama, os dois ângulos que temos estão dentro das retas paralelas e no mesmo lado da concorrente. Portanto, são ângulos internos consecutivos. Lembre-se, o facto chave sobre estes é que são complementares, ou seja, somam cento e oitenta graus. Então, o que isto significa é que podemos escrever a nossa equação. Se somarmos estes dois ângulos, devemos obter cento e oitenta. Então, temos esta equação aqui, quatro 𝑥 menos dez mais dois 𝑥 mais dez igual a cento e oitenta.

Agora só precisamos de resolver esta equação. Assim, olhando para o lado esquerdo, temos quatro 𝑥 mais dois 𝑥, que é seis 𝑥 e temos menos dez mais dez, que se anulam. Então isto deixa-nos com seis 𝑥 igual a cento e oitenta. O passo final na solução desta equação é que precisamos de dividir os dois lados por seis. E isso dá-nos 𝑥 é igual a trinta, que é a nossa resposta para este problema.

Portanto, esta questão envolve apenas olhar atentamente para o diagrama, identificando o tipo de ângulos que nos foi dado utilizando o facto de que sabíamos sobre estes, que era que eram suplementares e, em seguida, estabelecer e resolver uma equação para determinar este valor 𝑥.

OK. Esta é a última questão que vamos analisar. Temos um diagrama e somos solicitados calcular a amplitude do ângulo 𝐶𝐷𝐸. Então, olhando para o diagrama, este é o ângulo criado quando nos movemos de 𝐶 para 𝐷 para 𝐸, então é este ângulo que marquei a verde.

Então, podes querer dar uma vista de olhos no diagrama e planear a abordagem que podes tomar. Não é imediatamente óbvio como vamos calcular o ângulo 𝐶𝐷𝐸. Então, o que eu faria, é analisar e ver, existem outros ângulos que eu possa calcular imediatamente? E o que notarás é que 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um quadrilátero e conheço três dos ângulos. Eu também sei que ângulos num quadrilátero somam trezentos e sessenta, o que significa que posso calcular este ângulo final, o ângulo 𝐵𝐴𝐷, utilizando este facto. Então, é assim que vou começar. A amplitude deste ângulo 𝐵𝐴𝐷 é trezentos e sessenta menos oitenta e cinco menos cento e quarenta menos cinquenta. E isto dá-me oitenta e cinco graus para este ângulo. E como dissemos o raciocínio por trás disto, é que os ângulos num quadrilátero somam trezentos e sessenta graus.

Agora vamos ver como isto ajuda a calcular este ângulo 𝐶𝐷𝐸. Bem, eu tenho um par de retas paralelas no diagrama. Eu posso ver isto por causa das setas nelas. E isto pode ajudar apenas a prolongar um pouco estas duas retas. Agora, ao fazê-lo, talvez possas ver o que está a acontecer com mais facilidade. E talvez possas ver que há uma relação entre este ângulo aqui e os oitenta e cinco graus que acabámos de resolver, aquele marcado a azul. Se olhares atentamente para o diagrama, podes identificar que são de facto ângulos alternos-internos. E, portanto, devem ser congruentes entre si. Talvez seja útil inclinar a cabeça. Ou, se estiveres a utilizar um tablet ou algo assim, inclina o ecrã para veres isto com mais facilidade. Então, o que me diz é que a amplitude deste ângulo 𝐴𝐷𝐹, agora 𝐹 é o ponto onde eu prolonguei esta reta paralela, a amplitude daquele ângulo também é oitenta e cinco graus porque, como dissemos, são ângulos alternos-internos. Então posso identificar estes oitenta e cinco graus no meu diagrama também. Agora, como um à parte neste ponto, o facto de haver mais oitenta e cinco graus neste quadrilátero, isto é coincidência. Nem sempre será o caso de que isto seria verdade.

Agora, finalmente, quero resolver este ângulo 𝐶𝐷𝐸. E o que podes ver nesta parte do diagrama aqui é que estes três ângulos, o ângulo azul, os cinquenta graus e o ângulo verde estão juntos formando uma reta. E, portanto, a soma destes três ângulos deve ser de cento e oitenta graus. Assim, posso calcular a amplitude deste ângulo 𝐶𝐷𝐸, fazendo cento e oitenta menos cinquenta menos oitenta e cinco. E se eu fizer isto, dá-me quarenta e cinco graus para a amplitude deste ângulo, com o raciocínio, lembra-te, sendo que a soma dos ângulos que formam uma reta é de cento e oitenta graus.

Então, nesta questão, não conseguimos resolver imediatamente o ângulo pretendido. Tivemos que trabalhar alguns outros ângulos dentro do diagrama primeiro, depois utilizar as nossas propriedades de ângulos em retas paralelas para calcular o ângulo que originalmente nos pediram.

Então, para resumir, vimos quatro tipos diferentes de ângulos em retas paralelas, que precisamos de ser capazes de reconhecer e identificar. E vimos como aplicar propriedades sobre estes tipos de ângulos para determinar ângulos em falta em diferentes figuras.

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