Vídeo: Encontrando o Limite de uma Função Racional no Infinito

Encontre lim_(𝑥 → ∞) (−2𝑥³ + 7𝑥² + 8𝑥 + 2)/(4𝑥⁴ + 𝑥³ − 2𝑥² − 6𝑥 + 7).

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Encontre o limite quando 𝑥 tende a infinito de menos dois 𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 mais dois sobre quatro 𝑥 elevado a quatro mais 𝑥 ao cubo menos dois 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 mais sete.

Nosso primeiro passo é dividir o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥 que podemos ver. Nesse caso, isso é 𝑥 elevado a quatro. E tendo feito isso, podemos dividir as frações no numerador e no denominador. E agora podemos usar as propriedades de potência para simplificar os termos. Assim, por exemplo, menos dois 𝑥 ao cubo sobre 𝑥 elevado a quatro se tornam menos dois sobre 𝑥. Feito isso, podemos usar a propriedade de quociente de limites, ou seja, o limite de um quociente é igual ao quociente dos limites, desde que o denominador seja diferente de zero.

Agora podemos calcular os limites no numerador e no denominador separadamente. Então, começando com o numerador, usamos o fato de que o limite de uma soma de funções é igual à soma dos limites das funções. E isso não é verdade apenas para a soma de duas funções. É verdade para a soma de qualquer número de funções. Agora temos muitos mais limites em nosso numerador. Mas esperamos que cada um deles seja mais simples de calcular. Também usamos a propriedade da constante de limites, que o limite de uma constante da função é igual àquela constante do limite da função. Por exemplo, podemos usar essa propriedade para reescrever o primeiro limite no numerador, considerando que 𝐾 seja menos dois e 𝑓 de 𝑥 seja um sobre 𝑥. Isso se torna menos duas vezes o limite quando 𝑥 tende ao infinito de um sobre 𝑥. O menos dois vêm fora do limite.

Fazemos essa alteração e fazemos o mesmo para os outros termos no numerador. Então agora todos os limites no numerador são da forma: limite quando 𝑥 tende ao infinito de um sobre 𝑥 elevado a 𝑛, para algum número inteiro 𝑛. E podemos usar a propriedade de potência dos limites para escrever todos esses limites em termos de limites da função inversa. Com 𝑓 de 𝑥 sendo a função inversa um sobre 𝑥 e 𝑛 sendo dois, o limite destacado se torna o limite quando 𝑥 tende ao infinito de um sobre 𝑥 ao quadrado.

E podemos fazer algo semelhante para os dois termos subsequentes. Então agora todos os quatro limites no numerador são o limite quando 𝑥 tende ao infinito de um sobre 𝑥. E ainda outra propriedade de limites nos diz o valor deste limite. O limite quando 𝑥 tende a infinito da função inversa um sobre 𝑥 é zero. Esse limite é zero. E assim, menos duas vezes esse limite é zero. E assim podemos nos livrar deste termo. É uma história semelhante para o próximo termo. O limite é zero. E então o quadrado do limite é zero. E então sete vezes o quadrado do limite é zero. E nos livramos desse termo também. É exatamente a mesma história com os outros dois termos. Eles são ambos zero. E assim, nosso numerador inteiro é zero.

Voltamos nossa atenção para o denominador. E aplicamos as propriedades da soma, da constante e da potência como no numerador para obter isso. Como no numerador, todos os termos que envolvem o limite quando 𝑥 tende ao infinito da função inversa um sobre 𝑥 desaparecem. Mas ao contrário do numerador, ainda temos um termo à esquerda, o limite quando 𝑥 tende ao infinito de quatro. Precisamos de outra propriedade de limite, que o limite quando 𝑥 tende ao infinito de uma função constante é constante. Na verdade, isso é verdade, o que quer que seja, assim como a propriedade de potência. De qualquer forma, vemos que o limite quando 𝑥 tende ao infinito de quatro é então quatro. E assim nossa fração se torna zero sobre quatro.

É uma boa notícia que o denominador é diferente de zero. Porque, caso contrário, teríamos uma forma indeterminada. E a propriedade do quociente que usamos anteriormente só é válida se o valor do limite no denominador for diferente de zero. E como zero sobre quatro é apenas zero, o valor do limite que estávamos procurando, o limite quando 𝑥 tende a infinito de menos dois 𝑥 ao cubo mais sete 𝑥 ao quadrado mais oito 𝑥 mais dois sobre quatro 𝑥 elevado a quatro mais 𝑥 ao cubo menos dois 𝑥 ao quadrado menos seis 𝑥 mais sete, é apenas zero.

O principal truque para resolver esta questão foi dividir o numerador e o denominador por 𝑥 elevado a quatro, que era a maior potência de 𝑥 que podíamos ver. Depois disso, tivemos que aplicar muitas das propriedades dos limites: propriedades do quociente, da soma, da constante e da potência. E então usamos dois limites conhecidos: o limite quando 𝑥 tende a infinito da função inversa e o limite de uma função constante. Podemos usar as mesmas técnicas para provar um resultado mais geral, que o limite quando 𝑥 tende ao infinito de uma função racional, cujo denominador tem um grau maior que seu numerador, é zero.

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