Video Transcript
Fatorar quadráticas com o coeficiente de 𝑥 quadrado igual a um
Fatorar é a conversão de uma expressão para uma forma equivalente com um termo e é o oposto da propriedade distributiva. Então, como um lembrete, a propriedade distributiva é quando 𝑎 multiplicado por todos os 𝑏 mais 𝑐 é igual a 𝑎𝑏 mais 𝑎𝑐. Então, o oposto disso é a fatoração, então 𝑎𝑏 mais 𝑎𝑐 é igual a 𝑎 multiplicado por todos 𝑏 mais 𝑐, onde 𝑎 é o maior fator comum ou MFC, resumindo.
Então, isso nos leva de dois termos para um termo que está totalmente fatorado, vamos agora fatorar uma quadrática. Então, temos que fatorar a quadrática 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 mais doze. Então, precisamos nos lembrar primeiro de que toda quadrática vem na forma 𝑎𝑥 ao quadrado mais 𝑏𝑥 mais 𝑐 onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes. Então, neste caso, podemos ver que nosso 𝑎, nosso coeficiente, do 𝑥 ao quadrado é igual a um. Então não precisamos nos preocupar muito com isso. Mas, para fatorar uma quadrática, a primeira coisa que precisamos fazer é encontrar seus fatores. E para fazer isso, precisamos encontrar o que foi adicionado para obter um fator e o que foi multiplicado para obter o outro. Em outras palavras, qual é a soma deles e qual é o produto deles? Então precisamos de uma tabela.
E a soma deles será sempre 𝑏 enquanto o produto deles será 𝑎 multiplicado por 𝑐. Mas como eu disse há pouco, não precisamos nos preocupar muito com isso, porque é igual a um. Então, podemos ver por este exemplo, se fizermos uma tabela, sua soma seria 𝑏, que é sete, e 𝑐 sendo doze. Portanto, precisamos agora examinar os pares fatoriais de doze e ver qual deles podemos adicionar para obter sete. Então, primeiro de tudo, um e doze, não, isso não adiciona para obter sete. Então, que tal dois e seis? Não E então, finalmente, três e quatro.
Então, três mais quatro são sete, e tenho certeza de que muitos de vocês sabiam que esse par de fatores era o que procurávamos antes mesmo de você fazer qualquer coisa. Mas é sempre bom verificar. Então, porque 𝑎 é igual a um, podemos simplesmente escrever os parêntesis com os 𝑥s lá imediatamente. E nós dizemos 𝑥 mais três todos multiplicados por 𝑥 mais quatro.
Então, neste exemplo, tivemos apenas números positivos. Nos próximos dois exemplos, vamos ver como é diferente quando temos números negativos.
Então temos que fatorar 𝑥 ao quadrado menos quatro 𝑥 mais três. Sabemos que a primeira coisa que sempre precisamos fazer é dizer qual é o produto e qual é a soma. Então, o que isso significa para você? Bem, soma para obter menos quatro, e multiplica para obter três.
Então temos dois números que se multiplicam para dar um número positivo e que somam para dar um negativo, então sabemos que um negativo multiplicado por um negativo é igual a um positivo. Portanto, porque eles adicionam para dar um negativo e multiplicam para dar um positivo, então estaremos procurando por dois números negativos. Mas, de qualquer forma, vamos listar o único par de fatores de três, porque ele é primo, e isso é um e três.
Bem, se ambos são negativos, eles adicionam para dar quatro negativos. Então funciona, vamos escrever nossos parênteses de imediato, nossos parênteses, e colocar 𝑥 neles e depois nossos fatores. Então 𝑥 menos um todo multiplicado por 𝑥 menos três. Lá nós temos isso. Feito!
Ok, então há mais um tipo de números negativos quando você está fatorando, então vamos analisar isso, então precisamos fatorar ao 𝑥 quadrado menos 𝑥 menos trinta. Mais uma vez precisamos de uma tabela. Nós dizemos o que é preciso adicionar para conseguir e o que é preciso multiplicar para conseguir. Então, damos uma olhada no coeficiente na frente do 𝑥, parece que não há nada. Temos que lembrar que isso está escondendo o um. Então isso está escondendo o menos um 𝑥, então, neste caso, ele é a soma para obter nossos fatores; adicionar para obter menos um e, em seguida, multiplicar para obter menos trinta. Então, como temos dois fatores que se multiplicam para dar um número negativo, isso significa que um deles deve ser positivo e um deles deve ser negativo, pois um negativo multiplicado por um positivo é igual a um negativo.
Então, agora listando os pares de fatores de trinta, temos um e trinta. Agora estamos procurando uma diferença de um; um e trinta não têm diferença de um, então não serão eles. E depois dois em quinze vezes, e eles não têm a diferença de um. Três em dez vezes. Mais uma vez, não há diferença de um. Quatro não entra. Mas cinco sim, e cinco em seis vezes.
E felizmente, eles têm uma diferença de um. Mas agora precisamos descobrir qual deles será negativo. Então, quando eles somam, eles nos dão um número negativo, o que significa que o maior número, ou neste caso o seis, tem que ser negativo. Então, vamos colocar nossos parênteses diretamente, colocar os 𝑥s neles e então inserir os fatores. Então temos 𝑥 mais cinco todos multiplicados por 𝑥 menos seis.
E aí temos a resposta. Feito!
Portanto, devemos lembrar quando estamos considerando a quadrática, a primeira coisa que precisamos fazer é construir uma tabela. Então, o que é adicionado para conseguir e o que é multiplicado para conseguir? E depois de fazermos isso, precisamos nos concentrar em quais são os nossos negativos e positivos. Então, sabemos que o negativo multiplicado por um positivo é igual a um negativo e assim por diante. Listamos os pares de fatores, e finalmente, quais serão os negativos se lá tiver negativos, e então você os coloca diretamente dentro dos parênteses. Então, aprendemos a fatorar quando o coeficiente de 𝑥 ao quadrado é igual a um.
