Vídeo: Discutindo a Continuidade de uma Função Definida por Partes em um Ponto

Discuta a continuidade da função 𝑓 em 𝑥 = −2, dado 𝑓(𝑥) = (𝑥³ + 8)/(𝑥² − 4) se 𝑥 ≠ −2 e 𝑓(𝑥) = −3 se 𝑥 = −2. [A] A função é descontínua em 𝑥 = −2 porque 𝑓(−2) ≠ lim_(𝑥 → −2) 𝑓(𝑥). [B] A função é contínua em 𝑥 = −2. [C] A função é descontínua em 𝑥 = −2 porque 𝑓(−2) é indefinida. [D] A função é descontínua em 𝑥 = −2 porque lim_(𝑥 → −2) 𝑓(𝑥) não existe.

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Discuta a continuidade da função 𝑓 para 𝑥 igual a menos dois, dado 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo mais oito sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro se 𝑥 não é igual a menos dois e for igual a menos três, se 𝑥 é igual a menos dois.

Então, há quatro opções e eu vou começar com a B, que é a função é contínua em 𝑥 é igual a menos dois. E as outras três opções dizem que a função é descontínua por várias razões. Então, A diz que é descontínuo neste ponto porque o valor da função 𝑓 de menos dois não é igual ao limite dessa função, com 𝑥 a tender para menos dois. A opção C diz que 𝑓 de menos dois não é definida. E a opção D diz que é descontínua porque o limite não existe.

Essas quatro opções fornecem quatro cenários diferentes. E acho que vale a pena pensar em qual o aspeto do gráfico de 𝑓 próximo de 𝑥 igual a menos dois para cada um deles. Portanto, na opção A, limite quando 𝑥 tende para menos dois de 𝑓 de 𝑥 existe, mas não é igual a 𝑓 de menos dois. E podemos ver esse cenário ilustrado no diagrama no canto inferior esquerdo.

Pode ver que o limite quando 𝑥 tende para menos dois existe. Eu vou destacá-lo; aí está; está algures talvez em torno de menos 1.5. Mas, infelizmente, ele não corresponde ao valor da função quando 𝑥 é menos dois, que é menos três. Então, esta é uma que coisa pode dar errado, uma coisa que pode fazer com que a função seja descontínua.

A opção B é muito semelhante, exceto que o limite quando 𝑥 tende para enos dois de 𝑓 de 𝑥 é agora menos três. E assim, este ponto está no lugar certo para preencher a lacuna nesta curva e a função é contínua.

A opção C é o que acontece quando não se define 𝑓 de menos dois. Eu acho que está bem claro que temos que descorir 𝑓 de menos dois; e na verdade, está aqui. Então, sabemos que 𝑓 de 𝑥 é menos três, se 𝑥 é menos dois, mas não tendo feito isto, é possível que esta coisa aqui não esteja definida e, portanto, a função não esteja definida.

E finalmente, a opção D onde o limite quando 𝑥 tende para menos dois, 𝑓 de 𝑥 não existe. E pode ver no diagrama que eu sugeri que só assim poderia ser porque há uma assíntota vertical em 𝑥 igual a menos dois. E assim a função é descontínua aqui mesmo que seja definida. 𝑓 de menos dois é igual a menos três, mas em todo o caso, a função está a ir para mais ou menos ∞. Claro, não precisa de ser uma assíntota. Poderia ser apenas uma lacuna, descontinuidade. De qualquer forma, é uma opção.

O primeiro passo é determinar o limite quando 𝑥 tende para menos dois de 𝑓 de 𝑥. E por que fazemos isso? Bem, se o limite existir, mas não for igual a 𝑓 de menos dois, o que dissemos ser menos três, então sabemos que a resposta é a opção A. Se, pelo contrário, existir o limite, mas for igual a menos três, então a função é contínua. E então a opção B é a nossa resposta. A opção C eu disse que podíamos descartar com segurança porque 𝑓 de menos dois está definida; é menos três. E se o limite não existir, então a nossa resposta é a opção D.

Queremos determinar este limite quando 𝑥 tende para menos dois e à medida que 𝑥 tende para menos dois nunca é realmente menos dois. E assim, o valor deste limite não depende do valor da função quando 𝑥 é igual a menos dois; só depende do valor da função quando 𝑥 não é igual a menos dois. E assim podemos utilizar esta fórmula com segurança na vez de 𝑓 de 𝑥. Então temos esta função racional aqui: 𝑥 ao cubo mais oito sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro.

E sabemos que, para uma função racional, é contínua onde quer que esteja definida. Então poderíamos tentar substituir menos dois nesta função racional. Espero que esteja definido lá. E se estiver, então o nosso valor também será o nosso limite pela definição de continuidade. Ok, então substituímos menos dois. E porque menos dois ao cubo é menos oito e porque menos dois ao quadrado é quatro, obtemos zero sobre zero que é uma indeterminação. Então não estamos com sorte; não podemos dizer qual é o limite disto. Mas o que podemos dizer por fatorização é que tanto o numerador quanto o denominador desta função racional têm um fator de 𝑥 mais dois. Então vamos dividir por isso.

Então poderá reconhecer que o denominador é a diferença de dois quadrados. E então este fator aqui será 𝑥 menos dois. E quanto ao outro fator do numerador? Bem, parece que poderia ser uma expressão quadrática. Assim, poderíamos escrever a forma geral de uma quadrática e determinar os coeficientes. Ok, esta é a forma geral de uma expressão quadrática. Deixe-me agora multiplicar os parêntesis no numerador.

Multipliquei os parêntesis no numerador. E, claro, quero terminar com 𝑥 mais oito, o que, afinal de contas, é o que estamos a tentar fatorizar. E agora vou comparar coeficientes. O coeficiente de 𝑥 ao cubo à esquerda é 𝑎 e à direita está escondido; é um. Então eu posso dizer que 𝑎 é igual a um. O coeficiente de 𝑥 ao quadrado à esquerda é dois 𝑎 mais 𝑏 ou, como sabemos, 𝑎 é um; é dois mais 𝑏. E à direita, é zero. Não há um termo 𝑥 ao quadrado explicitamente escrito. Então, vemos que dois 𝑎 mais 𝑏 é igual a zero. Como dissemos antes, 𝑎 é um, então dois mais 𝑏 é igual a zero e 𝑏 é igual a menos dois.

É uma história muito semelhante para o coeficiente de 𝑥, que é dois 𝑏 mais 𝑐 à esquerda e não está presente à direita, zero. Resolvendo isto dá 𝑐 igual a quatro e, a seguir, a nossa última equação, o coeficiente de 𝑥 elevado a zero ou o termo constante à esquerda é dois 𝑐, à direita é oito, dois 𝑐 é oito; que concorda com o que temos, 𝑐 igual a quatro. Então, temos consistência, o que é bom e nossos coeficientes. Então vamos colocá-los. Ok, lá vamos nós.

E agora eu digo que posso anular estes dois fatores de 𝑥 mais dois. Por que posso fazer isso? Bem, eu estou a dizer que nenhum destes fatores é zero porque 𝑥 não é igual a menos dois, porque estamos a considerar o limite quando 𝑥 tende para menos dois, o que significa evitar explicitamente valores de 𝑥 que sejam menos dois.

Ok, então temos o limite quando 𝑥 tende para menos dois de uma expressão racional um pouco mais simples, que podemos pensar como uma função racional. E vamos pensar em calculá-la em menos dois, como tentámos antes. E desta vez, vamos esperar que não tenhamos zero sobre zero. Em vez da indeterminação, esperamos obter um número real adequado, porque se obtivermos um número real, quando calcularmos a expressão, sabemos que também será o limite desta expressão, para 𝑥 a tender para menos dois.

Então, aqui, acabei de substituir por menos dois. Agora vamos calcular. Ora, simplificamos o numerador para descobrir que é 12 e o denominador para descobrir que é menos quatro. E 12 dividido por menos quatro é menos três. E porque não é uma indeterminação ou não definido, sabemos que este é o nosso limite. Certo, ótimo! Este é o primeiro passo, concluído. O que fazemos agora?

Vamos olhar para as opções. Lembre-se que já descartámos a opção C porque sabíamos que 𝑓 de menos dois está definida. Agora, descobrimos que o limite de 𝑓 de 𝑥 com 𝑥 a tender para menos dois é menos três. Sabemos que o limite de 𝑓 de 𝑥 existe. Então, essa opção D não pode ser verdadeira, então esta também é eliminada como uma opção.

Então, isto deixa duas opções: a opção A e a opção B. E, como discutido anteriormente, estas dependiam de 𝑓 de menos dois ser igual ao limite de 𝑓 de 𝑥, com 𝑥 a tender para menos dois. Bem, claro, podemos ver o que 𝑓 de menos dois é claramente. Disseram-nos que é menos três.

Então, comparando isso com o limite, quando 𝑥 tende para menos dois de 𝑓 de 𝑥, vemos que são iguais. Então isso elimina a opção A, que diz que eles são diferentes e não iguais, quando na verdade são iguais a menos três. Então, a única opção que nos resta e, claro, a opção que faz sentido, é que a função é contínua em 𝑥 é igual a menos três.

E isso faz sentido, claro, porque esta é a definição de continuidade de uma função num ponto. Para que uma função seja contínua num ponto, ela deve estar definida nesse ponto. E mais que isso, a definição da função nesse ponto tem que ser igual ao limite da função com 𝑥 a aproximar-se desse ponto. Portanto, a nossa resposta é B. A função é contínua em 𝑥 é igual a menos dois.

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